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20836: Microeconomía I Soluciones Lista de ejercicios 1: ELEMENTOS DEL PROBLEMA: Preferencias, Funciones de Utilidad y Restricción Presupuestaria Universitat Pompeu Fabra 3r trimestre 2015/16 18 de abril de 2016

Preferencias 1. (*) Un día soleado Nasrudin comenzó a pensar qué cosas le gustaban y cuáles no. Para cada una de estas afirmaciones determina el tipo de preferencias y dibuja el mapa de curvas de indiferencia que las representa. ¿Qué piensas de sus preferencias? ¿Son regulares? Si no, indica qué propiedades no se cumplen. a) No me importa si es Solan de Cabras o Font Vella, para mí todas son agua. Bienes sustitutivos perfectos

Solan de Cabras

 ,   =  +  ;  = −

2

1

1 -

-

2

Font Vella

Son preferencias monótonas (cuanto más mejor y pendiente negativa) También son preferencias convexas no estrictas (cualquier punto promedio de un segmento trazado entre dos cestas de consumo de la misma curva de indiferencia será igual de preferida que los extremos) Por lo que las preferencias son regulares.

b) No me gustan ni la cerveza ni el vino. Los bienes son males (negativos para el consumidor)

Cerveza

2

1

1

2

Vino

-

-

Son preferencias no monótonas (cuanto menos mejor aunque tenga pendiente negativa) Son preferencias convexas estrictas (cualquier punto promedio de un segmento trazado entre dos cestas de consumo de la misma curva de indiferencia será más preferido que los extremos) Por lo que las preferencias no son regulares.

c) Me gusta leer y estudiar pero hasta un cierto punto; después ya estoy cansado. Son preferencias saciadas

Leer

4 Punto de saciedad 2

2 -

-

4

Estudiar

Hay cuadrantes en los que las preferencias son monótonas (cuanto más mejor y pendiente negativa) y otros en las que no. Hay cuadrantes en los que las preferencias son preferencias convexas estrictas (cualquier punto promedio de un segmento trazado entre dos cestas de consumo de la misma curva de indiferencia será más preferido que los extremos) y otros en los que no. Por lo que las preferencias no son regulares.

d) Me gusta el jamón pero no el pescado. Un bien y un mal

Pescado

1 -

2

Son preferencias no monótonas

Jamón

-

-

Son preferencias convexas no estrictas (cualquier punto promedio de un segmento trazado entre dos cestas de consumo de la misma curva de indiferencia será igual de preferida que los extremos) Por lo que las preferencias no son regulares.

e) Siempre me tomo el café con una cucharada de azúcar. Bienes complementarios perfectos

Azúcar

 ,   =  ,  

2

1

1 -

-

2

Café

Son preferencias monótonas (cuanto más mejor y pendiente negativa) También son preferencias convexas estrictas (cualquier punto promedio de un segmento trazado entre dos cestas de consumo de la misma curva de indiferencia será más preferida que los extremos) Por lo que las preferencias son regulares.

f) No me importa que me den el cambio con una moneda de un Euro o dos de 50 céntimos.  ,   =  +  ;  = −

Bienes sustitutivos perfectos

50 céntimos 4

2

1

-

2

1 euro Son preferencias monótonas (cuanto más mejor y pendiente negativa)

-

-

También son preferencias convexas no estrictas (cualquier punto promedio de un segmento trazado entre dos cestas de consumo de la misma curva de indiferencia será igual de preferida que los extremos) Por lo que las preferencias son regulares.

g) Me gustan el queso y las patatas fritas, pero no juntas.  ,   =  ;  = −∞

Bien neutral

Patatas

1 -

2

3 Queso

Son preferencias no monótonas Tampoco son preferencias convexas Por lo que las preferencias no son regulares.

2. Estudia tus propias preferencias. a) Indica si prefieres cada uno de estos bienes estricta, débilmente o te son indiferentes: i. Queso y huevos ii. Pan y manteca iii. Leche y azúcar iv. Queso y patatas v. Jamón y queso vi. Jamón y huevos vii. Patatas y huevos Dependerá de tus preferencias respecto a estos pares de bienes, por ejemplo:

-

Preferencia estricta: ℎ >  Preferencia débil:  ≥ ó Indiferencia: !""~ℎ

b) Verifica si tus preferencias son completas, transitivas y reflexivas. - Ver si tus preferencias son racionales o no. (ver propiedades completas, reflexivas y transitivas, en los apuntes de clase)

c) Indica para cada caso el tipo de bien (Nota: Aquí no hay una respuesta correcta; depende de tu gusto) y dibuja el mapa de curvas de indiferencia. Dependerá de tus gustos. Pueden ser dos bienes, un bien y un mal, relacionarlos como bienes complementarios perfectos, o sustitutivos perfectos,….. (ver ejercicio 1 visto corregido en seminarios para representar estas preferencias) d) Comprueba si tus preferencias son regulares. Dependerá de cómo hayas representado tus preferencias ante los pares de bienes. Recuerda que para que tus preferencias sean regulares has de cumplir que sean monótonas (pendiente negativa debido a que más es mejor) y que sean preferencias convexas (si trazas un segmento entre dos cestas de consumo de la misma curva de indiferencia, cualquier punto de este segmento es al menos igual o más preferido que los extremos) 3. Contesta las siguientes preguntas y da ejemplos: a) ¿Es posible la intersección entre las curvas de indiferencia de una misma persona? Sí que podrían cortarse pero no serían preferencias racionales. Si las preferencias son racionales, las curvas de indiferencia no se podrían cortan entre ellas, ya que incumplirían el principio de transitividad. Siempre han de ser paralelas entre ellas si son racionales. Ejemplo: Individuo 1 (complementarios perfectos) Jamón

2

1

1

2

Individuo 2 (sustitutivos perfectos) Jamón

2

1

1

2

Queso

Queso b) ¿Es posible que una curva de indiferencia interseccione con ella misma? Si, si las preferencias no son monótonas. Una curva de indiferencia puede tener en principio cualquier forma, y en particular, puede tener forma de 8. Si ocurriese esto no serían monótonas incumplirían el principio de no saturación.

c) ¿Qué pasa si las preferencias son monótonas? En el caso de preferencias monótonas no es posible que las curvas interseccionen con ellas mismas. Si las preferencias son monótonas, una cesta en la parte alta del ocho, es estrictamente preferida a una en la parte baja, lo que contradice que las dos cestas puedan formar parte de la misma curva de indiferencia. Si fuesen monótonas, las curvas de indiferencias tendrían pendiente negativa y cuanto más alejadas del origen estuviesen, mejor sería para el consumidor.

Funciones de Utilidad 4. Joan dice que la función de utilidad U1 representa sus preferencias sobre patatas, zapatos y libros pero no está seguro que U2 y U3 también las representen. ¿Le puedes ayudar? U1 U2 U3 Patatas 3 20 17 1 10 1 Zapatos Libros 2 30 15 Según U1: Patatas > Libros > Zapatos Según U2: Libros > Patatas > Zapatos Según U3: Patatas > Libros > Zapatos Por tanto, las preferencias de la U1 y la U3 representa las mismas preferencias , sin embargo, la U2 no representa las mismas preferencias que las U1 y la U3. 5. (Fácil) Propón una función de utilidad que represente tus preferencias del problema 2. Si tienes problemas con este ejercicio prueba utilizar tus respuestas del problema 1. La respuesta depende de las preferencias subjetivas que hayas elegido en la pregunta 2

6. Considera la siguiente función de utilidad $%, $&  = $% $& donde $% > 0()($& > 0. ¿Qué tipo de preferencias representa? Estas preferencias son del tipo Cobb-Douglas. Su pendiente (RMS) sería: *+ % =

, , = $2;(((*+ & = = $1 ,$1 ,$2

/+0$ %, $ &  = −

$2 $2 *+% =− =− *+ & $1 $1

¿Cuáles de las siguientes funciones de utilidad representan las mismas preferencias? Demuéstralo. Para que represente las mismas preferencias, la pendiente (RMS) tendría que ser igual a: ( *+% $2 $2 =− =− /+0$ %, $ &  = − *+ & $1 $1

a) $% , $&  = $% + $& No representa las mismas preferencias, ya que este tipo de función de utilidad representa preferencias de bienes sustitutivos perfectos. Lo comprobamos con la RMS: /+0$ %, $&  = −

1 *+% = − = −1 *+& 1

Observamos que la pendiente es constante e igual a (-1), por lo que representa curvas de indiferencias que son rectas (no curvas) b) $% , $&  = √$% + √$& = $%%/& + $&%/&

No representa las mismas preferencias. Lo comprobamos con la RMS: 1 3%/& 3%/& %/& $ *+% $ $ 2 % /+0$ %, $&  = − = − %3%/& = − &%/& =−1 3%/& *+ & $& $% $ 2 &

Observamos que la pendiente es diferente a las preferencias del enunciado, por lo que no representa las mismas preferencias.

c) $% , $&  = 0.5ln $% + 0.5 ln $& Representa las mismas preferencias. Lo comprobamos con la RMS: /+0$ % , $&  = −

*+% 0.5/$% $& =− =− *+ & 0.5/$&

%$Observamos que la pendiente es la misma que la de las preferencias del enunciado, por lo que representa las mismas preferencias (transformación monotónica).

d) $% , $&  = ln $% + ln $& Representa las mismas preferencias. Lo comprobamos con la RMS: /+0$ %, $ & = −

1/$% $ *+ % =− =− & *+ & 1/$&

%$Observamos que la pendiente es la misma que la de las preferencias del enunciado, por lo que representa las mismas preferencias (transformación monotónica). e) $% , $&  = 32 + $% $& 

*+ % $& =− *+&

%$Representa las mismas preferencias. Lo comprobamos con la RMS: /+0$ % , $&  = −

Observamos que la pendiente es la misma que la de las preferencias del enunciado, por lo que representa las mismas preferencias (transformación monotónica). 9

9

f) $% , $&  = 32 + 2√$% √$& = 32 + 2$:%$&:

Representa las mismas preferencias. Lo comprobamos con la RMS: 1 3%/& %/& 2 · · $% · $& *+% $& 2 ( =− /+0$ % , $ & = − 1 %/& 3%/& = − $% *+ & 2 · · $% · $& 2

Observamos que la pendiente es la misma que la de las preferencias del enunciado, por lo que representa las mismas preferencias (transformación monotónica). 7. Indica el tipo de bien y dibuja el mapa de curvas de indiferencia correspondiente para cada una de estas funciones de utilidad: a) u(x 1, x2 ) = (x 1 + x2)2 /+0$% , $&  = −

*+ % 2$% + 2$& = −1 =− *+ & 2$% + 2$&

La RMS es constante e igual a -1, por lo que son rectas con pendiente negativa. Preferencias correspondientes a bienes sustitutivos perfectos.

$&

Monótona y convexa no estricta



%$ $ (,((((A($% < $&C b) $% , $&  = min >$% , $& ? = @ % $& (,((((A($% > $& 1

= ∞(,((((A($1 < $2 *+ % C = D0 /+0$ % , $&  = − *+ & 0 1

La RMS es 0 o infinito.

= 0(,((((A($1 > $2

Son preferencias de bienes complementarios perfectos. X2

2

1

1

2

X1

c) $% , $&  = $& Son las preferencias de un bien neutral, donde la utilidad sólo depende del valor del bien 2 (independientemente del valor del bien 1) /+0$% , $ & = −

*+ % 0 = =0 *+ & 1

EF(A GAHF IA:((( = K = $&

X2

2

1

1

2

X1

d) $% , $&  = ln $% + $&

Es una función que muestra preferencias cuasilianeales, y el bien numerario es el bien 2. /+0$% , $&  = −

Curva indiferencia: X2

*+ % 1/$% 1 = −( =− *+ & $% 1

 = K = ln $% + $& ;((($& = K − ln

%$X1 8. Jaume tiene la siguiente función de utilidad $% , $&  = √$% + $& donde $% > 0()($& > 0. a) Deriva la expresión matemática para las dos curvas de indiferencia que dan un nivel de utilidad de U = 3 y de U = 6 en el espacio (x1; x2). Utiliza las dos para dibujar el mapa de las curvas de indiferencia. Las curvas de indiferencia son conjuntos de cestas de consumo para los cuales la utilidad es la misma. Por tanto, se ha de encontrar las curvas para un determinado nivel de utilidad (donde es una constante) de forma que: u f (x1 ,x 2 ) k para diferentes valores de . Considerando las constantes , obtenemos las siguientes ecuaciones, una para cada constante: x x 3⇒x 3 x 1

2

2

x1

x2

6 ⇒ x2

1

6

x1

Dibujando los puntos que solucionen estas tres ecuaciones obtenemos las curvas de indiferencia. X2

U=6 U=3

X1

b) Calcula la relación marginal de sustitución (RMS) de las combinaciones (cestas de consumo): (4,1) y (1,5) 3%/& , 1 12 $% ,$% /+0$%, $&  = − =− = − L 2√$% =− 1 *+&

*+%

/+04,1 = −

/+01,5 = −

L$&

1 1 1 =− =− 2√$% 4 2√4 1

2√

%$=−

1

2√1

=−

1 2

c) Comprueba si sus preferencias son convexas. Sí, estas preferencias son convexas. La forma gráfica de las curvas de indiferencia son curvas convexas, tal como las hemos representado en el apartado (a). $& = K − N$% = K − $% ,$& 1 = − · $%3%/& ,$% 2

%/&

1 1 3Q/& 1 1 , & $& = − O− P $% = · Q/& > 0,((((I $ & ,$% 2 2 4 $ %

9. (*) Para cada una de las funciones de utilidad siguientes, encuentra: -

La utilidad marginal del primer bien (UM1), La utilidad marginal del segundo bien (UM2) La relación marginal de substitución entre el primero y el segundo bien (RMS). [Pista: Han de ser funciones de las cantidades de los bienes, x1 y x2 ]. La RMS en el punto (4, 8), y dibuja la curva de indiferencia que pasa por este punto. Responde a las preguntas siguientes: ¿esta función de utilidad, representa preferencias monótonas? ¿Representa preferencias estrictamente convexas? a) $% , $&  = 2$% · $&

*+ % =

, , = 2 $2;(((*+ & = = 2 $1 ,$1 ,$2

$ $ % /+0$ %, $&  = − *+ = − 2 2 = − 2 *+& 2 $1 $1 /+04,8 = −

4,8 = 2$1 · $2 = 2 · 4 · 8 = 64

Curva de indiferencia:

$% 1 2 4 8 16 32

-

$& 32 16 8 4 2 1

EF(T GAHF IA(!F( AU( = 64:(((((64 =2$1 · $2;((($& =

$&

32

%$Monótona y estrictamente convexa



%$Es monótona, ya que la pendiente es negativa (RMS negativa). Podríamos desarrollar la primera derivada de la curva de indiferencia (pendiente) y comprobarlo. Curva de indiferencia: $& =

-

8 $2 = −( = −2 $1 4

Q& V9

;((((

WV : WV9

=−

Q&

V9:

: pendiente negativa

Es convexa, lo podemos ver de manera gráfica, pero analíticamente lo podemos demostrar, ya que si la segunda derivada de la curva de indiferencia es mayor que cero, la curva será convexa: E $:((

L & $& 64 = Q > 0, !F(U((("FAI" "(I $ L$%&

%$b) $% , $&  = $% + $& & *+% =

, , = 2$% + 2$ &;(((*+ & = = 2$ % + 2$ & ,$1 ,$2

/+0$% , $&  = −

*+ % 2$ + 2$& =− % = −1 *+ & 2$% + 2$&

/+04,8 = −1

4,8 = $% + $&& = 4 + 8& = 144

EF(T GAHF IA:(( = 144 = $% + $& & :(($& = 12 − $% (

$% 0 1 2 4 6 8

$& 12 11 10 8 6 4

$&

Monótona y convexa no estricta



%$Es monótona, ya que la pendiente es negativa (RMS negativa). Podríamos desarrollar la primera derivada de la curva de indiferencia (pendiente) y comprobarlo.

-

Curva de indiferencia: ($ & = 12 − $ %;((((

,$ 2 ,$ 1

= −1: pendiente negativa

Es convexa no estricta, ya que es una recta, lo podemos ver de manera gráfica, pero analíticamente lo podemos demostrar, ya que si la segunda derivada de la curva de indiferencia es cero, la curva será convexa no estricta:

-

E $:((

c) $% , $&  = $% & + $& &

L & $& = 0, !F(U(((I $( ("FAI" L$%&

*+% =

, , = 2$ %;(((*+ & = = 2$ & ,$1 ,$2

/+0$ % , $&  = −

*+ % $% =− *+& $&

1 4 /+04,8 = − = − 8 2

$% 0 4 8

$& 801/2 8 4

4,8 = $%& + $&& = 16 + 64 = 80

EF(T GAHF IA:(( = 80 = $%& + $&& :(($& = 80 − $%& %/& (

$&

Monótona y no convexa (cóncava)



%$ Es monótona, ya que la pendiente es negativa (RMS negativa). Podríamos desarrollar la primera derivada de la curva de indiferencia (pendiente) y comprobarlo.

-

Curva de indiferencia: pendiente negativa -

($ & = 80 − $%& %/& ;(((( ,$ 2 = · −2$1 X 80 − $21Y 2 ,$

*+ % =

$1

1

X 80−$21 Y 2

:

$& 14 12 10 8 6 0

*+ % 2 = − = −2 1 *+&

/+04,8 = −2

4,8 = 2$1 + $2 = 2 · 4 + 8 = 16 EF(T GAHF IA(!F( AU( = :(((((16 = 2$1 + $2;((($ & = 16 − 2$1

Curva de indiferencia:

$&

Monótona y convexa no estricta



%$Es monótona, ya que la pendiente es negativa (RMS negativa). Podríamos desarrollar la primera derivada de la curva de indiferencia (pendiente) y comprobarlo. Curva de indiferencia: ($ & = 16 − 2$ % ;((((

-

=−

, , = 2;(((*+ & = =1 ,$1 ,$2

/+0$% , $&  = −

-

2

No es convexa, sino que es cóncava, lo podemos ver de manera gráfica, pero analíticamente lo podemos demostrar, ya que si la segunda derivada de la curva de indiferencia es menor a cero, la curva será cóncava.

d) $% , $&  = 2$% + $&

$% 1 2 3 4 5 8

1

−1

1

,$ 2 ,$ 1

= −2: pendiente negativa

Es convexa no estricta, ya que es una recta, lo podemos ver de manera gráfica, pero analíticamente lo podemos demostrar, ya que si la segunda derivada de la curva de indiferencia es cero, la curva será convexa no estricta:

L & $& E $:(( L$ & = 0, !F(U(((I $( ("FAI" %

e) u(x 1, x2 ) = (x 1+2)(x2+10)

*+% =

, , = $ & + 10;(*+ & = = $ % + 2( ,$1 ,$2

/+0$ % , $ & = −

/+04,8 = −

*+ % $& + 10 =− *+& $% + 2

8 + 10 18 $& + 10 =− =− = −2 4+2 $% + 2 6

4,8 = $% + 2($ & + 10 = 4 + 2(8 + 10 ( = 108

EF(T GAHF IA:(( = 108 = $% + 2($ & + 10;( $& + 10 =

$% 0 4 8

$& 62 8 0.8

$&

108 108 ;(($ = − 10 $% + 2( & $ % + 2(

Monótona y convexa estricta

$% Es monótona, ya que la pendiente es negativa (RMS negativa). Podríamos desarrollar la primera derivada de la curva de indiferencia (pendiente) y comprobarlo. %Z[ %Z[ ,$ Curva de indiferencia: $& = V \&( − 10;(((( ,$ 2 = − V \&: pendiente negativa -

9

-

1

9

Es convexa estricta lo podemos ver de manera gráfica, pero analíticamente lo podemos demostrar, ya que si la segunda derivada de ...