Ejercicios resueltos de la guía de práctica 13 PDF

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Ejercicio 1:En los siguientes ejercicios, determine los intervalos de monotonía, los valores extremos relativos y bosqueje la gráfica de las funciones dadas.𝑎) 𝑓(𝑥)= 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 4𝑥 + 2Solución: Derivamos la función𝑓′(𝑥)= (𝑥 3 + 2𝑥 2 − 4𝑥 + 2)’𝑓′(𝑥)= 3𝑥 2 − 4𝑥 + 4𝑓′(𝑥) = 03𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 0(3𝑥 − 2)(𝑥...

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Ejercicio 1: En los siguientes ejercicios, determine los intervalos de monotonía, los valores extremos relativos y bosqueje la gráfica de las funciones dadas.

𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 4𝑥 + 2

Solución:

Derivamos la función 𝑓′(𝑥) = (𝑥 3 + 2𝑥 2 − 4𝑥 + 2)’ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 − 4𝑥 + 4 𝑓 ′ (𝑥) = 0

3𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 0

(3𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0 2 𝑥= ∧ x = −2 3

𝑓(−2) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

𝑓′ (𝑥) > 0

−2

2 𝑓 ൬ ൰ 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 relativo 3

𝑓′ (𝑥) < 0

2 3

𝑓′ (𝑥) > 0

Gráfico que verifica lo mencionado en el desarrollo:

Ejercicio 5 𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚 𝒚 = 𝒙𝒆−𝒙 , 𝟐

𝒉𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒃𝒔𝒄𝒊𝒔𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂

𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒂

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 −𝑥

2

Derivamos la función para obtener la pendiente

𝑚 = 𝑓′(𝑥) = (𝑥𝑒 −𝑥 )′ 2

𝑚 = 𝑥 ′ . (𝑒 −𝑥 ) + 𝑥. (𝑒 −𝑥 )′ 2

2

𝑚 = 𝑒 −𝑥 + 𝑥. (𝑒 −𝑥 )(−𝑥 2 )′ 2

2

𝑚 = 𝑒 −𝑥 + 𝑥. (𝑒 −𝑥 )(−2𝑥) 2

2

𝑚 = 𝑒 −𝑥 − 2𝑥 2 . 𝑒 −𝑥 = 𝑒 −𝑥 (1 − 2𝑥 2 ) 2

2

2

Derivamos la función para obtener la pendiente maximas

e igualamos a cero para hallar los valores crítico ( la abscisa)

(𝑒

−𝑥2

𝑚′ = 0

(1 − 2𝑥 2 ))′=0

(𝑒 −𝑥 )′(1 − 2𝑥 2 )+(𝑒 −𝑥 )(1 − 2𝑥 2 )′=0 2

2

𝑒 −𝑥 . (−𝑥 2 )′(1 − 2𝑥 2 )+(𝑒 −𝑥 )(1 − 2𝑥 2 )′=0 2

2

𝑒 −𝑥 . − 2𝑥. (1 − 2𝑥 2 )+(𝑒 −𝑥 ). −4 x =0 2

2

𝑒 −𝑥 . (4𝑥 3 − 2𝑥) − 4𝑥. 𝑒 −𝑥 =0 2

2

𝑒 −𝑥 (4𝑥 3 − 2𝑥 − 4𝑥)=0 2

𝑒 −𝑥 (4𝑥 3 − 6𝑥)=0 2

𝑒 −𝑥 = 0 𝑣 (4𝑥 3 − 6𝑥)=0 2

4𝑥 3 − 6𝑥 = 0

𝑥 (4𝑥 2 − 6) = 0

𝑥1 = 0 , 𝑥2 = −

√6 √6 , 𝑥3 = + 2 2

𝑆𝑖 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 3 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 "m" , el mayor valor entero

Sería con 𝑥1 = 0

𝑅𝑝𝑡: 𝑥 = 0

Ejercicio 12 Se considera un cilindro recto de base circular de radio “r” y altura “h” inscrito en una esfera de radio R dado. a) Determinar r y h para que el cilindro tenga volumen máximo

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:

Vcilindro = 𝜋𝑟 2 ℎ

𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠

ℎ 𝑅 2 = 𝑟 2 + ( )2 2 ℎ2 2 2 𝑟 =𝑅 − 4 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑟 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 Vcilindro = 𝜋(𝑅 2 −

ℎ2 ℎ3 ). ℎ = 𝜋(𝑅 2 ℎ − ) 4 4

𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 "ℎ" 3ℎ2 2 )=0 V′(h) = 𝜋(𝑅 − 4 3ℎ2 𝜋(𝑅 − )=0 4 2

𝑅2 =

3ℎ2 4

4𝑅2 = ℎ2 3

√

4𝑅2

±

3

2𝑅

√3

=ℎ

=ℎ

𝐶𝑜𝑚𝑜 "h" es una longitud tiene que ser positivo 2𝑅

√3

=ℎ

h

R

2r

r

h 2

𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 2𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎: 𝑉=−

3ℎ 4

; signo negativo, es máximo

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 ℎ 𝑒𝑛 𝑝𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑟 1 4𝑅2 𝑟 =𝑅 − . 4 3 2

2

𝑅2 𝑟 =𝑅 − 3 2

2

𝑟2 =

𝑟=√

2𝑅2 3

2𝑅2 3

2 𝑟 = ±√ 𝑅 3

h

𝐶𝑜𝑚𝑜 "r" es una longitud tiene que ser positivo 2 𝑟=√ 𝑅 3

R 2r

r

h 2

b) Determina las dimensiones r y h para que el cilindro tenga superficie lateral máxima

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: ALcilindro = 2𝜋𝑟ℎ 𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠

ℎ 𝑅 2 = 𝑟 2 + ( )2 2 ℎ2 2 2 𝑟 =𝑅 − 4

𝑟 = √𝑅 2 −

ℎ2 4𝑅2 − ℎ2 =√ 4 4

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 "𝑟" 𝑒𝑛 𝑒𝑙 Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐴𝑙 = 2𝜋. √

𝐴𝑙 = 2𝜋.

4𝑅2 − ℎ2 .ℎ 4

√4𝑅2 − ℎ2 . ℎ 2

𝐴𝑙 = 𝜋. √4𝑅2 − ℎ2 . √ℎ2 2

𝐴𝑙 = 𝜋. √4𝑅2 . ℎ2 − ℎ4

𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 "ℎ ′

𝐴𝑙 ′ (ℎ) = (𝜋. √4𝑅2 . ℎ2 − ℎ4 ) = 0

1 1 𝐴𝑙 ′ (ℎ) = 𝜋. (4𝑅2 . ℎ2 − ℎ4 )−2 . (4𝑅2 . ℎ2 − ℎ4 )′ = 0 2 1 1 𝜋. (4𝑅2 . ℎ2 − ℎ4 )−2 . (8𝑅2 . ℎ − 4ℎ3 ) = 0 2

1 𝜋. (4𝑅2 . ℎ2 − 2 2𝜋

1 ℎ4 )−2 2

. 4(2𝑅2 . ℎ − ℎ3 ) = 0

. (2𝑅2 . ℎ − ℎ3 ) = 0

h

R 2r

r

h 2

(2𝑅2 . ℎ − ℎ3 ) = 0 ℎ(2𝑅2 − ℎ2 ) = 0 2𝑅2 − ℎ2 = 0 2𝑅2 = ℎ2

√2𝑅2 = ℎ

±√2𝑅 = ℎ

𝐶𝑜𝑚𝑜 "h" es una longitud tiene que ser positivo √2𝑅 = ℎ

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 ℎ 𝑒𝑛 𝑝𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑟 ℎ2 𝑟 =𝑅 − 4 2

2

𝑟 2 = 𝑅2 −

1 . 2𝑅2 4

1 𝑟 2 = 𝑅2 − . 2𝑅2 4 𝑟 2 = 𝑅2 −

1 2 .𝑅 2

𝑅2 𝑟 = 2 2

𝑅2 𝑟=√ 2

𝑟=±

𝑅

√2

𝐶𝑜𝑚𝑜 "r" es una longitud tiene que ser positivo 𝑟=

𝑅

√2

La 2da derivada del Area Lateral: 𝒉

𝑨𝒍´´ = −(𝟒𝑹𝟐 −𝒉𝟐 ) c) ¿Qué porcentaje del volumen de la esfera ocupa el cilindro de máximo volumen?

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:

𝐷𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 "r" y "h" obtenidos en la pregunta "a" podemos hallar el volumen máximo del cilindro

2𝑅

2 2𝑅 2 2 𝑟=√ 𝑅 →𝑟 = 3 3

√3

Reemplazamos en:

Vcilindro = 𝜋𝑟 2 ℎ

2𝑅2 2𝑅 Vmáx = 𝜋. . 3 √3 Vmáx =

4𝑅3

3√3

𝜋

Recordemos el volumen de la esfera 4𝜋𝑅3 Vesfera = 3

x 4𝜋𝑅3 4𝑅3 𝜋 = . 100 3 3√3 100 % 𝑥= √3 𝑥 ≈ 57.7%

=ℎ...