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Ejercicios resueltos de Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información Fernando Perera Tallo Olga María Rodríguez Rodríguez

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Tema 1 Equilibrio general y fallos de mercado

Ejercicio 4: Considere una economía de intercambio puro con dos consumidores (1 y 2) y dos bienes (x e y). Las preferencias de los consumidores vienen dadas por las siguientes funciones de utilidad: u 1 (c x1 ,c y1 ) ln(cx1 ) ln(c y1); u 2(cx2, cy2)  2 ln(cx 2)  ln( cy 2) . La dotación de bienes de los consumidores es como sigue: el consumidor 1 tiene una unidad de cada bien, es decir q 1x , q 1y  1,1 ; el consumidor 2 tiene una unidad del bien x y tres del bien y, esto es

 q

2 x

,q y2

   1,3 .

a) Determine y represente la curva de contrato de esta economía. b) Defina y calcule el equilibrio Walrasiano, normalizando el precio del bien x a la unidad. c) Determine el vector de precios del equilibrio Walrasiano si normalizamos el precio del bien y a la unidad. Determine el vector de precios del equilibrio Walrasiano si 2 py p normalizamos de tal manera que el índice de precios x  sea uno. 3 3 d) Suponga que el concepto de equidad en esta sociedad es tal que la equidad se maximiza cuando la economía doméstica más pobre (la 1) está indiferente entre su cesta de consumo y la cesta de consumo de la economía doméstica más rica. Determine la asignación eficiente que maximizaría la equidad en esta sociedad. e) Explique si se podría implementar esta dotación como un equilibrio Walrasiano a través de una política redistributiva. En caso afirmativo, ¿cuál sería el vector de precios de equilibrio? f) Suponga que para implementar la asignación descrita en el apartado d) se pone un impuesto/subvención de suma fija a los dos consumidores. Defina de nuevo el equilibrio y calcule el impuesto/subvención que se le pondría a cada uno de los consumidores. Solución: a) Determine y represente la curva de contrato de esta economía.

Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información

Ejercicios resueltos del Tema 1

Para obtener la curva de contrato de esta economía debemos resolver el siguiente problema de optimización: Max lnc x1  ln c y1

c1x , c1y cx2 , cy2

2 2 2 s .a : 2 ln c x  ln c y  uˆ

cx1  cx2  qx1  qx2  qx  2 c 1y  c 2y  q1y  q 2y  q y  4 La función Lagrangiana correspondiente a este problema de maximización es la siguiente:   ln c x1  ln c y1   2 (2 ln cx2  ln c y2  uˆ 2 )  x (2  cx1 cx2) y (4  cy1  cy2) Las condiciones de primer orden para solución interior son las siguientes: 1    1  x  0  1 1 c y x c c  x  1 1 1 x RMS c c ( , )    x, y x y 1   1 y c x    y  0  c 1y c 1y  2    2 2   x  0  2 2c y2 x cx  cx  2 2 2   RMS x, y (c x , c y )  2   2 1 c x y       0 y 2  c1y cy  Las anteriores condiciones de 1er orden de la función Lagrangiana indican que, para cada uno de los consumidores de esta economía, la relación marginal de substitución entre el bien x y el bien y tiene que ser igual al precio (sombra) relativo entre ambos bienes. A partir de estas dos ecuaciones obtenemos la condición de eficiencia asignativa del consumo: cy1 2c y2 RMS x1, y (c1x , cy1 )  1  2  RMS x2, y (c x2 , c y2 ) cx cx

Sustituyendo las condiciones de factibilidad ( c1x  c x2  2 y c1y  c y2  4 ) se obtiene la curva de contrato: c 1y 2 4  c 1y 8c 1x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   c 2 c  c c  8 c  2 c c  2 c  c c  8 c   y y y x x y x y y x x 1 c1x 2  cx 2  c1x Para analizar la forma de esta curva de contrato, calculemos la pendiente y la curvatura:  c y1 82  cx1   8c x1 16 Pendiente: 1    0 : pendiente positiva. 2 c x 2  cx1  2  cx1 2





Curvatura:

 2 c1y

 

 c

1 2 x



32

2  c 

1 3 x

 0 : cóncava.

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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información

Ejercicios resueltos del Tema 1

La representación gráfica de la curva de contrato, en este caso, es la siguiente:

c1y 2

cx

r va Cu

de

ntr co

ato

c 1x c 2y

b) Defina y calcule el equilibrio Walrasiano, normalizando el precio del bien x a la unidad. Un equilibrio Walrasiano es una asignación (c x1 ,c y1 ,cx2 ,cy2 ) , llamada asignación de equilibrio, y un vector de precios ( p x , p y ) , llamado vector de precios de equilibrio, tal que:  Los consumidores maximizan su utilidad: c1 p RMS 1x ,y (c1x , c1y )  y1  x cx py (EW.1) p x c1x  p y c1y  px q1x  py q1y  px  py (EW.2) RMS x2 ,y ( c x2 , c y2 ) 

2 c y2 2 x

c



px py

(EW.3)

p x c 2x  p y cy2  px qx2  py qy2  px  3 py (EW.4)  Los mercados se vacían: c x1  c x2  q x1  q x2  q x  2 (EW.5) c1y  c y2  q1y  qy2  qy  4 (EW.6) Usando las ecuaciones (EW.1) y (EW.2) obtenemos los consumos de los bienes x e y por parte del consumidor 1: p Así, (EW.1)  c1y  x c1x py (1) http://bit.ly/8l8DDu Perera-Tallo y Rodríguez Rodríguez

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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información

Ejercicios resueltos del Tema 1

Sustituyendo (1) en la restricción presupuestaria del agente 1 (EW.2), obtenemos el consumo del bien x por parte del consumidor 1: px  py p p xc1x  p y x c1x  px  py  c1x  2 px py (2a) Sustituyendo la ecuación (2a) en (1) tenemos el consumo del bien y por parte del consumidor 1: p x  py p p  py 1 c1y  x x  cy  2 py p y 2 px (2b) Usando las ecuaciones (EW.3) y (EW.4) se obtienen los consumos de los bienes x e y por parte del consumidor 2, de manera análoga al caso del consumidor 1: p Así, (EW.3)  c y2  x cx2 2 py (3) Sustituyendo (3) en la restricción presupuestaria del agente 2 (EW.4), obtenemos el consumo del bien x por parte del consumidor 2: p p 2  px  3 p y  p xc 2x  p y x cx2  px  3 py  p xc 2x  x cx2  px  3 py  c 2x  (4a) px 3 2 2p y Sustituyendo la ecuación (4a) en (3) tenemos el consumo del bien y por parte del consumidor 2: p x  3p y p  2 p x  3p y  2 c 2y  x    cy  3p px 2 py  3 y  (4b) Usando los consumos del bien x por parte de los dos agentes (ecuaciones 2a y 4a) en la condición de vaciado del mercado del bien x (EW.5) y normalizando p x  1 obtenemos el precio de equilibrio del bien y: 1 2 (EW.5) es: c x  c x  2  1 py   2 7 5 py 1     2 py   2      2  py  6 2 3   2 2  3 (5) Substituyendo el precio de equilibrio del bien y en el consumo de los bienes x e y por parte de los dos agentes (ecuaciones 2a, 2b, 4a y 4b) y teniendo en cuenta que hemos normalizado el precio del bien x a la unidad ( p x  1 ), se obtienen c1x , c1y , c2x , c2y : 1 3  c1  2 ; x 3 2

1 3  c1  2 c1y  y 1 2 3

1 c1x 

1

1  1  3  4 3 2 c 2x    c 2x  ; 3 3 1

c 2y 

1 3

1 3  c2  2 y

1 3 Por lo tanto, el equilibrio Walrasiano viene dado por:  2 4   1   c 1x , c 1y , c x2 , c y2 ; ( px , p y )   ,2, ,2 ; 1,    3 3   3  





3



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4

Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información

Ejercicios resueltos del Tema 1

c) Determine el vector de precios del equilibrio Walrasiano si normalizamos el precio del bien y a la unidad. Determine el vector de precios del equilibrio Walrasiano si 2 py p normalizamos de tal manera que el índice de precios x  sea uno. 3 3 - Si normalizamos el precio del bien y a la unidad, el vector de precios de equilibrio es el siguiente: py  1   p y 1   p x  3  p x , p y   3,1  px 3  2p y p - Si normalizamos de tal manera que el índice de precios x  sea uno, entonces, el vector 3 3 de precios es el siguiente: 2p y

  9 19 3 3 3 5   px  2 1 px  1  px  1  p x   p y     py 1 px 5 35 5 3 33 9   py  px 3 3  p x , p y   9 , 3  5 5  px



1

d) Suponga que el concepto de equidad en esta sociedad es tal que la equidad se maximiza cuando la economía doméstica más pobre (la 1) está indiferente entre su cesta de consumo y la cesta de consumo de la economía doméstica más rica. Determine la asignación eficiente que maximizaría la equidad en esta sociedad. Para determinar la asignación eficiente que maximizaría la equidad en esta sociedad (donde se ha definido equidad de la forma que indica el enunciado), tendremos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones: (E.1) u1 c1x , c1y  u1 c2x , c2y  ln c1x  ln c1y  ln c2x ln c2y









c 1x  c x2  2 1 y

(E.2)

2 y

c c  4

(E.3) 1

RMS 1x, y (c 1x ,c1y )  RMS x2, y (c x2 , c 2y ) 

cy 1

cx



2 c 2y c2x

(E.4a) Sustituyendo las restricciones de factibilidad (ecuaciones E.2 y E.3) en la ecuación (E.4a), se obtiene la curva de contratos de esta economía, que ya habíamos calculado en el apartado a): 8c x1 . c1y  2  c1x Así, el sistema de ecuaciones anterior lo podemos expresar de la siguiente manera:









u1 c1x , c1y  u1 c2x , c2y  ln c1x  ln c1y  ln c2x ln c2y

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(E.1)

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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información

Ejercicios resueltos del Tema 1

c 1x  c x2  2 (E.2) c1y  c y2  4

(E.3) 8c 1x ´ 2  c1x (E.4b) Quitando logaritmos de la ecuación (E.1) y utilizando (E.2) y (E.3), se tiene: c1xc1y  c2x c2y  c1x c1y  2  c1x 4  c1y  c1x c1y  8  2 c1y  4 c1x  c1x c1y  2 c1y  8 4 c1x  c1y 



1 y

c  4  2c





1 x

Sustituyendo esta última expresión en (E.4b), se obtiene:

4  2 c x1 

8c x1  8 2 c 1x 1 2  cx

 



1 44 2  cx  2 2

2

 

 8c1x  c1x



2

 4c1x  4  0  c1x 





 4  16  4 .1.  4  4  32   2 .1 2



2  1  c1y  4  2 2 2  1  4  4 2  4   c1y  4 2  2



Utilizando las condiciones de factibilidad (ecuaciones E.2 y E.3), se obtiene: c 2x  2  2 2  1  c 2x  2 2  2

c

2 y

   4  4 2  2   c

2 y

  4

 2 1

Por lo tanto, la asignación eficiente que maximizaría la equidad en esta economía sería la siguiente: (c x1 ,c y1 ,cx2 , cy2 )  2 2 1 , 4 2  2 , 2 2  2 , 4 2 1



 

 

 



Gráficamente:

c 1y c

2 x

Asignaciones donde el agente 1 es indiferente entre su dotación y la del agente 2.

2 2 2

2 2 4

4 21

2 21

c 1x c2y

e) Explique si se podría implementar esta dotación como un equilibrio Walrasiano a través de una política redistributiva. En caso afirmativo, ¿cuál sería el vector de precios de equilibrio?

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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información

Ejercicios resueltos del Tema 1

Sí se podría implementar: según el Segundo Teorema de la Economía del Bienestar, cualquier asignación eficiente en sentido de Pareto (como por ejemplo la del apartado anterior) puede ser implementada como un equilibrio Walrasiano. El vector de precios de equilibrio se obtendría usando la definición de equilibrio: c y1 px p 4 2 2 1 1 1  RMS x, y c x , c y  1  x  RMS x1, y 2 2  1 ,4 2  2   py cx py 2 2 1



 













  

 

p 2 2 2 1 px 2 2  2   2 2  x  2 2 py py 2 1 2 1







1    Normalizando px  1   px , p y    1,  2 2

f) Suponga que para implementar la asignación descrita en el apartado d) se pone un impuesto/subvención de suma fija a los dos consumidores. Defina de nuevo el equilibrio y calcule el impuesto/subvención que se le pondría a cada uno de los consumidores. Definición: un equilibrio Walrasiano es una asignación (c x1 ,c y1 ,cx2 ,cy2 ) , llamada asignación de equilibrio, y un vector de precios ( p x , p y ) , llamado vector de precios de equilibrio, tal que:  Los consumidores maximizan su utilidad: c1 p RMS 1x ,y (c1x , c1y )  y1  x cx py (EW.1)’ p xc1x  p yc1y  p x q1x  p y q1y  tr 1  p x  p y tr 1 (EW.2)’ RMS

2 x ,y

2 x

2 y

(c , c ) 

2 c y2 2 x

c



px py

(EW.3)’

p xc 2x  p yc 2y  p x q 2x  p y q y2  T 2  p x  3 p y T 2 (EW.4)’  Se cumple la restricción presupuestaria del gobierno: tr 1  T 2 (EW.5)’  Los mercados se vacían:  c1x  c x2  qx1  qx2  qx  2 (EW.6)’  c1y  c y2  q1y  qy2  qy  4 (EW.7)’

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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información



 

 

Ejercicios resueltos del Tema 1

 

Sabemos que (c x1 ,c y1 ,cx2 , cy2 )  2 2 1 , 4 2  2 , 2 2  2 , 4 2 1



es la asignación de

 1  consumo de equilibrio, mientras que  px , p y   1,  es el vector de precios de equilibrio  2 2 py 1  obtenidos en el apartado d). Por lo tanto, . px 2 2

De la ecuación (EW.1)’ del agente 1, obtenemos que c1y  (EW.2)’, tenemos: c1x 





2 2 1 

p x  p y  tr 1 2 px

1  cx 

px 1 c . Sustituyendo esta expresión en py x

py 1 1  tr   1  px 2 

 1 1 1  tr1   tr1  0,303  T 2  2 2 2 

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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información

Ejercicios resueltos del Tema 1

Ejercicio 5: Sea una economía con dos empresas. La empresa 1 produce el bien x de acuerdo con la función de producción: Fx Lx   Lx ; y la empresa 2 produce el bien y de acuerdo con la función de producción: F y L y , q x  

Ly

; donde Lx y L y son, respectivamente, las cantidades 2 1  0,06 q x  utilizadas en la producción de los bienes x e y del único factor existente en la economía (L ), del que hay una dotación inicial de 800 unidades. El único consumidor de esta economía tiene unas preferencias representadas por la siguiente función de utilidad: uc x , c y   ln( c x )  ln( c y) . a) Obtenga la expresión de la Frontera de Posibilidades de Producción (FPP) de esta economía. b) Calcule las cantidades de producción óptimo paretianas (OP) de esta economía. c) Calcule las cantidades de producción correspondientes al equilibrio Walrasiano (EW). d) ¿Coinciden las cantidades de producción óptimo paretianas y de equilibrio Walrasiano? Explique su respuesta en términos económicos. Solución: a) Obtenga la expresión de la Frontera de Posibilidades de Producción (FPP) de esta economía. Las ecuaciones que deben satisfacerse para obtener la Frontera de Posibilidades de Producción de esta economía son las siguientes: las funciones de producción de ambas empresas y la restricción de dotación de factor. Función de producción de la empresa que produce x: Fx Lx   Lx

Función de producción de la empresa que produce y:

F y L y , q x  

Ly 1  0,06 q x 

2

Restricción de dotación de factor: L  Lx  Ly  800 Operando con estas expresiones obtenemos: q x  Fx Lx   Lx → Lx  q x  2

(a.1)

q y  F y L y , q x  



Ly 1  0,06 q x 

Ly  q y  1  0,06qx  2

2



→ qy   2

2

Ly 1  0,06 qx 

2

→

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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información

Ejercicios resueltos del Tema 1

(a.3)

Lx  L y  800

Sustituyendo (a.1) y (a.2) en (a.3):

q x 2  q y 2 1  0,06 qx 2   800

(FPP)

ó

qy 

800  q x

2 2 1  0,06 qx 

(FPP)

b) Calcule las cantidades de producción óptimo paretianas (OP) de esta economía. El problema de optimización que debe resolverse para obtener el Óptimo Paretiano de esta economía es el siguiente: Maximizar la utilidad del único consumidor de la economía sujeto a la restricción impuesta por la Frontera de Posibilidades de Producción. Esto es: Max u (c x , c y )  ln c x   lnc y 



2 2 2 s. a  q x   q y  1  0,06 q x 

cx qx

y cy qy



   800  

La función auxiliar lagrangiana del problema de optimización es la siguiente:





(q x , q y , )  ln q x   ln qy   ( qx   qy  1  0,06 qx  800) 2

2

2

Las condiciones de primer orden de máximo interior son las siguientes:





1 1  2 2  0  2q x  2 0,06q x q y   0   2q x (1 0,06q y   0 qx qx q x (b.1)



2   0





 1  0  2q y (1  0,06 q x qy q y (b.2)

 2 2 2  0  q x   q y  1  0,06q x   800 

(b.3)

Despejando  de (b.1) y (b.2) y operando, tenemos: 1   qx 1 1  b.1 :   2 2 q x 1  0,06 q y   qy qx   2 1 2q y 1  0,06q x 2  2 q x 1  0,06q y   qy ( b.2) :    2q y 1  0,06q x 2 













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



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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información

Ejercicios resueltos del Tema 1

qx 2 1  0,06q y 2  q y 2 1  0,06qx 2   q x  q y

(b.4)

Sustituyendo (b.4) en (b.3), tenemos:

q x 2  q y 2 1  0,06 qx 2   800  qx 2  qx 2  0,06 qx 4  800  2 qx

2  0,06 qx 4  800

Haciendo el cambio de variable: q x  2  z , tenemos: 0,06 z 2  2z  800  0 . Resolviendo, tenemos: z

 2  4  4  0,06   800   2  4  192   2  0,06 0,12

 2  14 z   100 1 0,12

z  2

 2 14 0,12

0

Teniendo en cuenta que la producción negativa no tiene sentido económico, deshaciendo el cambio de variable, y considerando la ecuación (b.4), tenemos que las producciones óptimo paretianas de ambos bienes son las siguientes:

z  100  q x  z  10 OP OP OP OP Cantidades de producción en el OP: q x  q y...