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EJERCICIOS RESUELTOS EDO...

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ECUACIONES DIFERENCIALES ´ ECUACION DE BERNOULLI E0100 Ejemplos.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes dy (1) 3(1 + x2 ) = 2xy(y 3 − 1) dx y x dy (2) 2 = − 2 ; y(1) = 1 dx x y 3 1 dy + y 2 = 1; y(0) = 4 (3) y 2 dx −x (4) e (y ′ − y) = y 2 (5) y 2 dx + (xy − x3 ) dy = 0

canek.uam.mx: 21/ 4/ 2003. 1

´ DE BERNOULLI E0100 ECUACION

2

Respuestas Ejemplos.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes dy (1) 3(1 + x2 ) = 2xy(y 3 − 1) dx 3(1 + x2 )y ′ = 2xy 4 − 2xy 3(1 + x2 )y ′ + 2xy = 2xy 4 Dividiendo por 3(1 + x2 )

y′ +

2x 2x y= y 4 , que es de Bernoulli. 2 3(1 + x ) 3(1 + x2 )

Multiplicando por y −4 se obtiene

(A)

y −4 y ′ +

2x 2x y −3 = 2 3(1 + x ) 3(1 + x2 )

Se efect´ ua un cambio de variable

dz dy 1 ⇒ − z ′ = y −4 y ′ = −3y −4 dx dx 3

z = y −3 ⇒ Sustituyendo en (A)

2x 2x 1 z= − z′ + 2 3(1 + x2 ) 3 3(1 + x ) Multiplicando por (−3)

2x 2x z′ − , que es lineal z=− 2 1Z+ x2 Z 1+x 2x p(x) dx = − dx = − ln(1 + x2 ) = ln(1 + x2 )−1 1 + x2 El factor integrante es

2 −1

eln(1+x

)

= (1 + x2 )−1 =

1 1 + x2

´ DE BERNOULLI E0100 ECUACION

Multiplicando la lineal por el factor integrante   1 2x 2x ′ z − z = 2 2 (1 + x2 )2 1+x 1+x  ′ 1 2x , integrando z =− (1 + x2 )2 1 + x2 Z 1 z = − (1 + x2 )−2 2x dx 1 + x2 1 (1 + x2 )−1 + c, c constante z = − −1 1 + x2   1 2 + c = 1 + c(1 + x2 ) z = (1 + x ) 1 + x2 pero z = y −3 =

(2) 2

1 , entonces y3

y x dy = − 2 ; y(1) = 1 dx x y

1 = 1 + c(1 + x2 ), de donde y3 1 , por lo tanto y3 = 1 + c(1 + x2 ) 1 y=p 3 1 + c(1 + x2 )

1 2y ′ − y = −xy −2 x Dividiendo por 2

y′ −

x 1 y = y −2 , que es de Bernoulli. 2 2x

Multiplicando por y 2 se obtiene

(B)

1 3 x y =− 2 2x Se efect´ ua un cambio de variable y2y ′ −

w = y3 ⇒

dy 1 dw = 3y 2 ⇒ w ′ = y 2 y ′ dx dx 3

3

´ DE BERNOULLI E0100 ECUACION

4

Sustituyendo en (B)

x 1 1 ′ w − w=− 2 2x 3 Multiplicando por 3 3 3 w ′ − w = − x, que es lineal 2x 2Z Z Z 3 3 3 3 dx = − ln x = ln x− 2 dx = − p(x) dx = − x 2x 2 2 El factor integrante es 3 − ln x 2

e

3

= x− 2

Multiplicando la lineal por el factor integrante

−

x

3 2

  3 3 3 ′ w − w = − x x− 2 2x 2 1 3 3 [x− 2 w] ′ = − x− 2 2

Integrando

3 −2

x

3 w=− 2

Z

1 1 3 x− 2 dx = − (2)x 2 + c, c constante 2

3

1

3

w = x 2 [−3x 2 + c] = −3x2 + cx2 Pero w = y 3

dy 3 + y 2 = 1; y(0) = 4 dx 1 Multiplicando por y − 2 1

(3) y 2

1

y ′ + y = y − 2 , que es de Bernoulli 1

Multiplicando por y 2

´ DE BERNOULLI E0100 ECUACION

1

(C)

3

y 2 y ′ + y2 = 1 Efectuando un cambio de variable 3

si z = y2 ⇒

1 dz 2 3 1 dy = z ′ = y2 y ′ = y2 3 2 dx dx

Sustituyendo en (C ) 2 ′ z +z =1 3 Multiplicando por

3 2 3 3 z ′ + z = , que es 2 Z Z2 3 p(x) dx = dx = 2

lineal 3 x 2

3

El factor integrante es e 2 x 3 Multiplicando la lineal por e 2 x 3 e2 x

  3 3 3 z ′ + z = e2 x 2 2 3 3 3 [e 2 x z] ′ = e 2 x 2

Integrando

3 x 2

e z= 3

3

Z

3 3 3 e 2 x dx = e 2 x + c, c constante 2

3

z = e− 2 x [e2 x + c] = 1 + ce− 2 x 3

Pero z = y 2 , entonces

3

3

y 2 = 1 + ce− 2 x Considerando y(0) = 4

3

4 2 = 1 + c, de donde c = 7

5

´ DE BERNOULLI E0100 ECUACION

6

Por lo tanto

3

3

y 2 = 1 + 7e− 2 x De donde

3

2

y = (1 + 7e− 2 x ) 3 (4) e−x (y ′ − y) = y 2 Multiplicando por ex

y ′ − y = ex y 2 , que es de Bernoulli Multiplicando por y −2 y −2 y ′ − y −1 = ex

(D)

w = y −1 ⇒

dy dw ⇒ −w ′ = y −2 y ′ = −y −2 dx dx

Sustituyendo en (D) se obtiene −w ′ − w = ex O sea w ′ + w = −ex , que es lineal El factor integrante es e

dx

= ex

Multiplicando la lineal por ex

ex [w ′ + w] = −ex ex [ex w] ′ = −e2x Integrando

x

e w=−

Z

1 e2x dx = − e2x + c1 2

´ DE BERNOULLI E0100 ECUACION

De donde

1 1 w = e−x [−e2x + 2c1 ] = [−ex + ce−x ] 2 2 Pero w = y −1 =

1 , entonces y

1 1 = [ce−x − ex ] 2 y Por lo tanto

y=

2 − ex

ce−x

(5) y 2 dx + (xy − x3 ) dy = 0 y2

dx + xy − x3 = 0 dy y 2 x ′ + yx = x3

Dividiendo por y 2

1 1 x ′ + x = 2 x3 , de Bernoulli para x y y Multiplicando por x−3 se obtiene

(E)

x−3 x ′ +

1 1 −2 x = 2 y y Si w = x−2 ⇒

Sustituyendo en (E)

1 1 1 − w′ + w = 2 2 y y

1 dw dx ⇒ − w ′ = x−3 x ′ = −2x−3 2 dy dy

7

´ DE BERNOULLI E0100 ECUACION

8

Multiplicando por (−2) 2 2 w ′ − w = − 2 , que es lineal y y El factor integrante es

e−

2 y

dy

2

= e−2 ln y = elny = y −2

Multiplicando la lineal por y −2 se tiene que

y

−2

  2 2 ′ w − w = − 2 y −2 y y [y −2 w] ′ = −2y −4

Integrando

y −2 w = −2

Z

y −4 dy =

2 −3 y + c1 3

De donde

w=y Pero w = x−2 =

2



   3 2 2 + cy 3 2 2 + 3c1 y = = y + c 1 3y 3 3y 3 3y

1 , entonces x2 1 2 + cy 3 = x2 3y

De donde

x2 =

3y 2 + cy 3...