Ejercicios Resueltos PDF

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Ejercicios resueltos, pertenecientes al primer parcial, que involucra conjuntos, lógica y relaciones de equivalencia y de orden...

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CONJUNTOS- LENGUAJES Dado A= {1,2}: a) Indicar el valor de verdad de las proposiciones (justificar): a1) {(𝟏, 𝟏)} ⊆ 𝑨𝑿𝑨 a2) {𝟏} ∈ 𝑷(𝑨)

Respuesta:

a3)∅ ∈ 𝑷(𝑨)

a4){{∅}} ∈ 𝑷(𝑨)

a1) Es Verdadero porque (1,1) es un elemento de AXA y por lo tanto {(1,1)}es una parte de AXA. a2) es Verdadera porque 1 es elemento de A, luego {1} es elemento de P(A). a3) Es Verdadera porque ∅ es una parte de A.

a4) Es Falso porque {∅} no es una parte de A.

b) Probar que :

A  B  A B

Respuesta: Como se trata de un bicondicional, debemos probar la doble implicación, o sea,

1º) 𝐴 = 𝐵 ⟹ 𝐴 = 𝐵

𝐴 = 𝐵 ⇒ ∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ⟺ 𝑥 ∈ 𝐵 ⟺ 𝑥 ∉ 𝐵 ⟺ 𝑥 ∉ 𝐴 ⟺ 𝐵 = 𝐴 En efecto:

Hemos utilizado el teorema contrarrecíproco, equivalente: 𝑝 ⇒ 𝑞 ⟺∼ 𝑞 ⇒∼ 𝑝

En el proceso lógico deductivo hemos podido conectar las

proposiciones con el símbolo ⇔ porque son equivalentes; con lo cual queda demostrada la doble inclusión, o sea la igualdad.

Prof. Lic. Teresa Fernández

RELACIONES BINARIAS

Dado A = {5,6,7,8} y sean R y S dos relaciones definidas en A dadas por: R = {(5,5) ;(5,6) ;(6,7) ;(7,7) ;(7,8) ;(8,5) ;(8,7)} 𝟎 𝑴𝒔 = [𝟏 𝟎 𝟎

𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎] ⟹ 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎

𝑺 = {(𝟓, 𝟔); (𝟓, 𝟖); (𝟔, 𝟓); (𝟔, 𝟕); (𝟕, 𝟕); (𝟕, 𝟖); (𝟖, 𝟔)}  ; justificar en cada caso a) Hallar: S-1;𝑹 ∪ 𝑺 ;𝑹

b) Estudiar las propiedades de 𝑹 ∩ 𝑺 . Justificar cada una.

Respuesta a) S-1= {(6,5) ;(8,5) ;(5,6) ;(7,6) ;(7,7) ;(8,7) ;(8,6)}

𝑅 ∪ 𝑆 = {(5,5); (5,6); (5,8); (6,5); (6,7); (7,7); (7,8)(8,5); (8,6); (8,7)} 𝑅 = {(5,7); (5,8); (6,5); (6,6); (6,8); (7,5); (7,6); (8,6); (8,8)}

b) 𝑅 ∩ 𝑆 = {(5,6); (6,7); (7,7); (7,8)}

Es No Reflexiva ya que contiene al par (7,7) pero no a los otros. Es Antisimétrica ya que el único par que tiene su recíproco es el (7,7). (5,6) ∈ (𝑅 ∩ 𝑆)∧ (6,7) ∈ (𝑅 ∩ 𝑆) 𝑝𝑒𝑟𝑜 (5,7) ∉ (𝑅 ∩ 𝑆) .

Es no transitiva, ya que el par (7,7) cumple con la transitividad pero

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RELACIONES DE ORDEN

Se considera en D30 el orden amplio correspondiente (𝑫𝟑𝟎; |).

a) Construir el diagrama de Hasse correspondiente. b) Sea B= {2,3,5}se pide: b1) si existen las cotas superiores e inferiores; b2) Elementos maximales y minimales; b3) Máximo, mínimo, ínfimo y supremo de B.

Respuestas: D30 = {1,2,3,5,6,10,15,30}, el diagrama de Hasse para la relación de orden amplio dada es:

1

2

6

3

10

5

15

30

Para el conjunto B = {2,3,5}: b1)

C.S = {30} C.I. = {1}

b2) Maximales = {2,3.5} Minimales = {2,3,5} b3) Máximo: no posee mínimo: no posee Supremo = 30 ínfimo = 1

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