Ejercicios Resueltos Tema 11. Transformadores PDF

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS

TEMA 11. TRANSFORMADORES 11.1.- Un transformador monofásico de 600/380 V y Sn =5000VA, tiene una Zcc del 7% con un cosϕ ϕ de 0.5. Determinar la tensión con que se debería alimentar al primario para que el secundario alimente a tensión e intensidad nominales una carga que presenta un cosϕ ϕ de 0.8 inductivo. Se desprecia el efecto de la rama de vacío. Se representa el circuito equivalente sin considerar la rama de vacío ZP

ZS UC carga

UP

a:1

U P: tensión de alimentación primaria Z P: impedancia de cortocircuito del primario Z S: impedancia de cortocircuito del secundario U S: tensión secundaria en la carga Por lo general la impedancia de cortocircuito se representa bien en el primario o en el secundario ZCCS

ZCCP

UP

UC carga

U’C

UP

US

a:1

a:1

ZCCP: impedancia de cortocircuito vista en el primario ZCCS: impedancia de cortocircuito vista en el secundario U’C: tensión en la carga vista en el primario US: tensión de la alimentación vista en el secundario Se utiliza el circuito equivalente indicado a continuación ZCCS

IP

UP

US

a:1

88

IS UC carga

UC carga

FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS Lo que se quiere es determinar el valor de UP para que la tensión en la carga UC sea la nominal cuando la carga es tal que la corriente IS (y también la IP) es la nominal La ecuación fasorial U S = I S ⋅ Z CCS + U C

Donde: ZCCS =

0 ,07 ⋅ 380 2 = 2 ,0216 Ω con ϕCC = arccos 0 ,5 = 60º 5000 Z CCS = 2 ,0216 ∠60

El valor de IS es la corriente nominal IS =

5000 =13 ,1579 A 380

La ecuación fasorial es: US ∠α = 13 ,1579 ∠β ⋅ 2 ,0216∠ 60 + 380∠γ En la ecuación anterior son incógnitas US, α, β, y γ y se necesita reducir a solo dos incógnitas que son las que se pueden obtener descomponiendo la ecuación compleja en su parte real e imaginaria. Si se toma la tensión en la carga como fasor de referencia US = 380 ∠ 0 entonces γ = 0 ya no es incógnita y como además la carga presenta un factor de potencia 0,8 inductivo eso quiere decir que la corriente retrasa 36,87º respecto a la tensión y entonces β tampoco es incógnita ya que sería β = -36,87º U S ∠ α = 13 ,1579 ∠ − 36 ,87 ⋅ 2 ,0216∠ 60 + 380∠ 0 U S ∠ α = 26 ,6 ∠23 ,13 + 380 ∠0

Descomponiendo en parte real e imaginaria se obtiene U S ⋅cos α = 24 ,461784 + 380 = 404 ,46178 U S ⋅ senα = 10 ,448977

Elevando al cuadrado y sumando se elimina la incógnita α y se obtiene US = 404,596 V (También se puede dividir una por otra con lo que se elimina US y se determina

α) Esa es la tensión de alimentación primaria vista desde el secundario del transformador ideal del circuito equivalente y para ello la tensión de alimentación primaria debe de ser: U P = 404 ,596

600 = 638 ,83V 380

Alimentando con esa tensión al primario se compensa la caída de tensión que produce en la impedancia de cortocircuito del transformador el paso de la corriente y con ello la tensión en la carga es de 380 V. 11.2.- Un transformador monofásico de 380/220V y Sn = 3000 VA tiene una Zcc del 5% con un cosϕ ϕ de 0.4. Determinar la tensión secundaria cuando se alimenta el primario a 380 V sabiendo que la carga conectada toma 2/3 de la intensidad nominal del transformador y que tiene un cosϕ ϕ de 0.8 capacitivo. Se desprecia el efecto de la rama de vacío.

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS Se utiliza el circuito equivalente indicado a continuación ZCCS

IP UP

US

IS UC carga

a:1

Lo que se quiere es determinar el valor de UC cuando la corriente es 2/3 de la nominal y la carga presenta un cos ϕ = 0,8 capacitivo La ecuación fasorial U S = I S ⋅ Z CCS + U C

Donde Z CCS =

0 ,05 ⋅ 220 2 3000

∠66 ,4218 = 0 ,80666 ∠66 ,4218

El valor de IS es 2/3 la corriente nominal I S =

2 3000 ⋅ = 9 ,0909 A 3 220

La ecuación fasorial es: 220 ∠α = 9,0909 ∠ β ⋅ 0 ,8066 ∠66 ,4218 + U C ∠ γ

Tomando UC como fasor de referencia ( γ = 0) el valor de β queda definido ya que la corriente adelanta 36,87º respecto de la tensión en la carga 220 ∠ α = 9,0909 ∠36 ,87 ⋅ 0 ,8066∠ 66 ,4218 + UC ∠ 0 220 ∠ α = 7 ,3333 ∠103 ,2918 + UC ∠0

Quedan como incógnitas α y UC , descomponiendo la ecuación compleja en su parte real e imaginaria 220 ⋅ cos α = − 1,68601 + UC 220 ⋅ senα = 7 ,1368 ⇒ α = 1,859 220 ⋅ cos 1,859 = −1,68601 + UC ⇒ UC = 221,57V

11.3.- Un transformador monofásico de 50 kVA, rt=1000/500 V, tiene una Zcc del 5% con un argumento de 60º. Determinar la impedancia de carga que hay que conectar en el secundario para que alimentando el primario a la tensión nominal, el transformador tome de la red la intensidad nominal primaria y ésta sea totalmente resistiva. ZCCS

IP

US

UP

a:1

90

IS UC

Zcarga

FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS Se quiere determinar la impedancia de carga para que IP sea la nominal primaria y presente un cos ϕ = 1 respecto a UP Eso es equivalente a que IS sea la nominal secundaria y presente un cos ϕ unidad respecto a US o bien que la impedancia total vista desde US sea una resistencia pura y de un valor que es el cociente entre tensión nominal secundaria e intensidad nominal secundaria Tomando US como fasor de referencia la IS es IS =

50000 kVA = 100 A ⇒ I S = 100 ∠0 500V

La impedancia vista es: Z=

500 ∠0 = 5∠ 0 100∠ 0

Esa impedancia es la suma de la impedancia de cortocircuito vista en el secundario más la de carga buscada Z = 5 ∠0 = Z CCS + Z c arg a 500 2 ∠60 = 0 ,25 ∠60 = 0 ,125 + j 0 ,2165063 50000 Z c arg a = 5− ( 0 ,125+ j 0 ,2165063 ) = 4 ,8798∠ − 2 ,5429

Z CCS = 0 ,05

11.4.- Un transformador monofásico de 500/200 V y Sn = 10 kVA, tiene una impedancia de cortocircuito del 7.5% con tg ϕcc=1. Con el primario alimentado a la tensión nominal, el secundario alimenta una carga inductiva (ϕ ϕ =45) que toma del transformador la intensidad nominal secundaria. Determinar la potencia consumida en la carga. El circuito equivalente Z CCS I S

IP

UP

US

UC

Zcarga

ϕ = 45º (i)

a:1

La ecuación fasorial desde el secundario U S = I S ⋅ Z CCS + U C

Donde ZCCS = 0 ,075 ⋅

2002 ∠45 = 0 ,3 ∠45 10000

Tomando como fasor de referencia la tensión en la carga la corriente retrasa 45º y su módulo es la corriente nominal del transformador I S = 200 ∠ α = 50 ∠ − 45 ⋅ 0 ,3 ∠45 + UC ∠0

Descomponiendo en parte real e imaginaria

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10000 ∠ − 45 = 50 ∠ − 45 200

FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS 200 cos α = 15 + U C 200 sen α = 0 ⇒ α = 0

U C = 185V

La potencia en la carga: Pc arg a = 185 ⋅ 50 ⋅ cos 45 = 6540,73W

11.5.- Un transformador trifásico Dy5 de potencia aparente Sn=100⋅√ ⋅√ ⋅√3 kVA y rt = 20000/400 V, tiene una intensidad de cortocircuito secundaria, estando el primario alimentado a la tensión nominal, de 5000 A. Determinar la tensión de cortocircuito en % y la impedancia de cortocircuito en Ω referida al primario. El ensayo de cortocircuito se realiza aplicando una tensión reducida a un lado del transformador estando el otro en cortocircuito de forma que circule la intensidad nominal, la tensión aplicada es la tensión de cortocircuito y se expresa en % respecto a la nominal (ECC), por tanto si en vez de la tensión de cortocircuito ECC lo que hay aplicada es el 100% de la tensión nominal la corriente será mayor que la nominal, esa es la corriente de (defecto) cortocircuito, la relación entre ambas es la que corresponde a una sencilla regla de tres (proporcionalidad) ICC =

Unom ⋅I E CC nom

En este caso la corriente nominal secundaria es I nom(sec) =

ICC = 5000 =

U nom ECC

100000 ⋅ 3

= 250 A

3 ⋅ 400

⋅ Inom =

Unom E CC

⋅ 250 ⇒

U nom ECC

= 20

Unom 5 = 20 ⇒ ECC = ⋅ Unom ⇒ ECC = 5% ECC 100

La impedancia de cortocircuito expresada en % coincide con el valor de la tensión de cortocircuito también en %, por tanto el transformador presenta una impedancia de cortocircuito del 5% y vista desde el primario el valor absoluto en Ω es Z CC (1º ,Y ) = 0 ,05

20000 2 100000 ⋅ 3

= 115 ,47 Ω

El valor determinado es la impedancia de cortocircuito del equivalente en estrella del transformador, el cual tiene realmente sus devanados primarios conectados en triángulo, por tanto si se desea calcular la impedancia que presenta cada devanado lo que hay que hacer es determinar el equivalente en triángulo de la impedancia anterior, es decir tres veces el valor calculado ZCC(1º ,Δ ) = 3 ⋅ 115 ,47 Ω = 364,41Ω

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS 11.6.- De un transformador trifásico de Sn = 100 kVA, Dy11 y rt = 20000/400 V se conocen los siguientes datos: Tensión de cortocircuito: 5% Resistencia primaria: 60 Ω/fase Resistencia secundaria: 0.02Ω Ω/fase Determinar la impedancia de cortocircuito en módulo y argumento vista desde el lado secundario (se desprecia el efecto de la rama de vacío). Este ejercicio (y algún otro) se resolverá de dos formas que conducen a los mismos resultados, cada uno puede escoger el procedimiento que le resulte más sencillo o comprensible 1º. Por reducción a un transformador equivalente estrella – estrella Independientemente de cómo esté construido el transformador trifásico (en este caso Dy11) se puede considerar un transformador Y-y equivalente lo que significa que ese transformador tiene las mismas características y va a producir los mismos efectos que el original. D-y 11

Y-y 0

A B

a b

n

C

a

A B

c

n

c

C

100kVA 20000/400 V

b

100kVA 20000/400 V

Del transformador equivalente Y-y se estudia una fase (equivalente monofásico) porque las otras tendrán los mismos valores de tensión e intensidad solo que sus fasores están desfasados 120º. Y-y 0 a

A B

b

n

c

C

100kVA 20000/400 V

ZCCS

ZCCP

UP

UC

U’C

20000/400

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS En este ejercicio se dice que la resistencia por fase (o devanado) del primario es de 60Ω , los devanados primarios están conectados entre sí en triángulo por tanto se pueden transformar en su equivalente en estrella, al ser las resistencias iguales los equivalentes en estrella son la tercera parte, esto es 20 Ω La parte de la impedancia de cortocircuito representada en el primario se puede pasar al secundario (dividiendo por rt2) siendo en este caso rt = 20000/400 dado que el transformador equivalente en estrella mantiene las mismas características que el original en triángulo ZCC(2º,Y) ZCCS

ZCCP

UP

Z’CCP ZCCS

UC

U’C

UP

US

UC

20000/400V

20000/400V

La impedancia del equivalente en estrella del primario se pasa al secundario con lo cual la resistencia vista en el secundario es 60 R'eq ,sec =

( 20000

3 400

)2

= 0 ,008 Ω

Esa resistencia queda en serie con la del devanado secundario, cuyo valor es de 0,02 Ω por tanto la resistencia de cortocircuito total vista en el secundario es RCC ,sec = 0 ,008 + 0 ,02 = 0 ,028 Ω

Como se pide calcular la impedancia de cortocircuito vista desde el secundario y se dice que la tensión de cortocircuito es del 5% se tiene entonces Z CC ( 2º ,Y ) = 0 ,05

400 2 = 0 ,08 ∠ ϕ = 0 ,08 ⋅cos ϕ + j 0 ,08 ⋅ sen ϕ 100000

RCC ,sec = 0 ,028 = 0 ,08 ⋅ cos ϕ ⇒ ϕ = 69 ,512

Z CC( 2º ,Y ) = 0 ,08 ∠69,51

2º. Resolución por fase (o por devanado) Con este procedimiento lo que se considera es un transformador monofásico formado por un devanado primario y otro secundario arrollado sobre la misma columna magnética (o bien si son tres transformadores independientes el primario y secundario de uno de ellos)

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS D-y 11 a 400V b

A 20kV B

n

C

c 100kVA 20000/400 V

Aquí es imprescindible considerar que la relación de tensiones entre los devanados no coincide con la relación de transformación trifásica del transformador. La tensión en las bobinas primarias por estar conectadas en triángulo es la compuesta (20000V) mientras que la tensión en las bobinas secundarias al estar conectadas en estrella es la simple (

400

V ), eso quiere decir que para pasar de un

3

devanado al otro no hay que considerar la relación de transformación trifásica (entre las tensiones de línea, 20000/400 V) sino la de tensiones entre bobinas r ' t =

20000 V 400 3

ZCC(2º,Y) ZCCS

ZCCP

UP

Z’CCP ZCCS

UC

U’C

UP

US

20000/(400/√ 3)

UC

20000/(400/ √3)

Con ello la resistencia por bobina del primario pasa al secundario dividida por el cuadrado de la anterior relación de transformación R' sec =

60 ( 20000 ⋅ 3

= 0 ,008 Ω 400

)2

Esa resistencia queda en serie con la del devanado secundario, cuyo valor es de 0,02 Ω por tanto la resistencia de cortocircuito total vista en el secundario es RCC ,sec = 0 ,008 + 0 ,02 = 0 ,028 Ω

Como se pide calcular la impedancia de cortocircuito vista desde el secundario y se dice que la tensión de cortocircuito es del 5% se tiene entonces Z CC ( 2º ,Y ) = 0 ,05

400 2 = 0 ,08 ∠ ϕ = 0 ,08 ⋅cos ϕ + j 0 ,08 ⋅ sen ϕ 100000

RCC ,sec = 0 ,028 = 0 ,08 ⋅ cos ϕ ⇒ ϕ = 69 ,512

Z CC( 2º ,Y ) = 0 ,08 ∠69,51

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS 11.7.- Un transformador trifásico Yd7 de 15000/380 y 100 kVA tiene una Zcc = 6% con tgϕ cc = 1. Con el primario alimentado a la tensión nominal, el secundario alimenta una carga inductiva trifásica equilibrada cuyo argumento es de 60º, la cual toma del transformador la intensidad nominal secundaria. Determinar la tensión de línea en bornes de la carga. 1º. Por reducción a un transformador equivalente estrella – estrella Independientemente de la constitución real del transformador se considera un transformador Y-y equivalente y de este se estudia solamente una fase El circuito equivalente monofásico en estrella ZCCS(Y) I S(L)

IP(L) U P(S)

US(S)

UC(S)

Zcarga

ϕ = 60º (i)

15000/380V

Z CCS( Y ) = 0 ,06 ⋅

380 2 ∠45 = 0 ,08664 ∠45 100000

Tomando la tensión en la carga como fasor de referencia, la intensidad retrasa 60º respecto de esa tensión y su módulo es la corriente nominal I S( L ) =

380 3

100000 3 ⋅ 380

∠ −60 = 151,9342 ∠ − 60

∠α =151,9342 ∠ −60 ⋅0 ,08664 ∠45 +U C ( S ) ∠0 380 3

∠ α = 13 ,1635 ∠ − 15 + UC ( S ) ∠0

Tomando parte real e imaginaria 380 3 380

⋅ cos α = 12 ,715 + UC ( S )

⋅sen α = −3 ,406985 ⇒ α = −0 ,88978

3

U C( S ) = 206 ,651V

La anterior es la tensión simple, la de línea será U C ( L ) = 206,651 ⋅ 3 = 357 ,93V

2º. Resolución por fase (o por devanado) En este caso hay que tener en cuenta lo siguiente: La tensión en cada bobina primaria es la simple y la corriente es de línea La tensión en cada bobina secundaria es de línea y la corriente es de fase

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS El circuito equivalente monofásico conviene representarlo inicialmente desde el primario ya que esta parte es la conectada en estrella y permite calcular directamente la impedancia de cortocircuito I P(L) ZCCP(Y)

I S(F)

U P(S)

US(L)

UC(L)

Zcarga

ϕ = 60º (i)

(15000/ √3)/380V

Z CCP ( Y ) = 0 ,06 ⋅

15000 2 ∠45 = 135 ∠45 100000

Para pasar la impedancia calculada al lado secundario (en triángulo) hay dividirla por el cuadrado de la relación de transformación entre bobinas 15000 3 380

= 22 ,790142 ZCCS( Δ) I S(F)

IP(L)

US(L)

U P(S)

UC(L)

Zcarga

ϕ = 60º (i)

(15000/ √3)/380V

ZCCS ( Δ ) =

135 22 ,790142 2

∠45 = 0 ,25992 ∠ 45

Tomando la tensión (de línea) en la carga como fasor de referencia, la intensidad retrasa 60º respecto de esa tensión y su módulo es la corriente nominal de fase en triángulo, es decir la nominal de línea dividida por √ 3 100000 I S( F ) =

3 ⋅ 380

∠ − 60 = 87 ,7192 ∠ − 60

3

La ecuación fasorial es: 380∠ α = 87 ,7192∠ − 60 ⋅ 0 ,25992∠ 45 + U C( L )∠0 380∠α = 22 ,7999∠ − 15 + U C ( L )∠0

Tomando parte real e imaginaria 380 ⋅ cosα = 22 ,023 + U C ( L ) 380 ⋅ senα = −5 ,90106 ⇒ α = −0 ,8897 U C ( L ) = 357 ,93V

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS 11.8.- En un transformador trifásico Dy5 15000/400 V, Sn=200 kVA con el secundario en cortocircuito es necesario aplicar una tensión compuesta de 1500 V al primario para que circule la intensidad nominal secundaria. Asimismo, midiendo con corriente continua desde el primario, la resistencia que presenta el transformador entre dos líneas se obtiene un lectura de 19.68 Ω, y la resistencia por fase del secundario es 1 mΩ Ω. Determinar la resistencia y reactancia de cortocircuito vista desde el primario que presenta el transformador. En este ejercicio no se da la resistencia por fase de las bobinas primarias sino la medida con corriente continua entre dos líneas del primario (conectado en triángulo), por tanto el dato es el indicado en la figura siguiente

R medida=19,68Ω

RF RF RF

Lo que se mide es la resistencia (con c.c. la inductancia de las bobinas es un cortocircuito) que presenta el conjunto que es la resistencia de una fase en paralelo con las otras dos en serie RF//2RF R medida = 19 ,68 =

R F ⋅ 2R F ⇒ R F = 29 ,52 Ω 3R F

Igual que en los ejercicios anteriores se plantea de dos formas 1º. Por el equivalente Y-y El equivalente en estrella del primario en triángulo presenta una resistencia igual a 1/3 de la determinada anteriormente RYP = 9,84 Ω Las bobinas secundarias presentan una resistencia de 1m Ω por fase se pasan al primario multiplicando por el cuadrado de la relación de transformación R' = 0 ,001 ⋅ (

15000 2 ) = 1,40625 Ω 400

Las dos resistencias están en serie con lo cual se tiene R cc = 9,84 + 1,406 = 11,246 Ω La tensión de cortocircuito es de 1500V lo cual es un 10% de la tensión nominal primaria, eso quiere decir que tanto la tensión como la impedancia de cortocircuito es el 10% 15000 2

=112 ,5 ∠ϕ = 112 ,5 ⋅ cos ϕ + j112 ,5 ⋅ senϕ 200000 RCC = 11,246 = 112 ,5 ⋅ sen ϕ ⇒ ϕ = 84 ,2628

Z CC = 0 ,1

X CC = 112 ,5 ⋅ sen84 ,2628 = 111,936 Ω

Estos valores son los del equivalente en estrella, pa...