Ejercicios resueltos Termodinámica PDF

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Ejercicios resueltos...

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1. Dilatación Térmica

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Problema 51 Una vasija de vidrio cuando está a 0[ºC] tiene un volumen interior que es exactamente 1000[ cm3 ]. Se llena hasta el borde con mercurio a esa misma temperatura y se calienta el conjunto hasta 100[ºC], observándose que se derraman 15,2[cm3 ] por el borde de la vasija. −4

Considere que el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio es 1,82×10 [1/ºC]. Calcule el coeficiente de dilatación lineal del vidrio. Solución 51 Inicialmente, a T = 0 [ºC] el volumen interior de la vasija (o capacidad) y el volumen del mercurio son iguales, y los designamos por V0. Finalmente, a T = 100 [ºC] el volumen VL de mercurio es mayor que el volumen VR de la vasija, y la diferencia es el volumen derramado VD. Considerando la dilatación térmica lineal tenemos que: V R = V0 (1 + 3α ∆T ) ,

VL = V0 (1 + β ∆ T ) ,

dónde  es el coeficiente de dilatación lineal del vidrio,  es el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio y T=100 [ºC] es el cambio de temperatura. Haciendo la diferencia VL -VR = VD y sustituyendo lo anterior tenemos que: VL − VR = VD V0 β ∆T − V0 3α ∆T = VD Despejando  encontramos:

1 V 1    =  β − D ⋅ 3 V0 ∆T  Reemplazando los valores numéricos encontramos  =1,0×10−5[1/ºC]. Este resultado es consistente con los valores que aparecen en los textos.

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1. Dilatación Térmica

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Problema 52 Un reloj de péndulo mide exactamente el tiempo cuando la temperatura es de 25 [ºC], y para ello realiza una oscilación en 2 [s]. La varilla del péndulo es de acero, cuyo coeficiente de dilatación lineal es  acero = 5 ×10 −6 [1 /º C ] , y su momento de inercia es despreciable comparado con el de la lenteja. Cuando la temperatura es 15 [ºC], calcule: a) La deformación de la varilla (o sea, la variación relativa de su longitud). b) ¿Cuántos segundos por día se adelantará o retrasará el reloj?

Solución 52 a) Cuando la temperatura es 15 [ºC], la longitud de la varilla cambia a L′ = L(1+ α∆ T ) . Luego, ∆L = L′ − L = α L ⋅ ∆ T , y finalmente

∆L = α∆T = −5 ×10 −5 . El signo menos indica que la L

longitud disminuye, al igual que la temperatura. b) En primer lugar es necesario relacionar la longitud del péndulo con su periodo. Recordemos una manera de hacerlo, usando la ecuación de Newton para torques.

  = I ⋅ Torque

Inercia

Respecto a un eje que pasa por el extremo fijo de la varilla tenemos que:

I = I var illa + m ⋅ L2 0 De acuerdo a la figura:

L ⋅( mg ⋅ senθ ) = - m ⋅ L2 ⋅θ Luego, la ecuación que describe las oscilaciones del péndulo es:

θ +

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g senθ = 0 L

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1. Dilatación Térmica

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Considerando oscilaciones de pequeña amplitud, la ecuación se puede simplificar y en ella se reconoce la frecuencia angular en esas condiciones. g L

θ + θ = 0



ω2 =

g L

Luego, el periodo τ0 depende de la longitud L como sigue:



ωτ 0 = 2π

τ 0 = 2π ⋅

L g

La relación anterior indica que al disminuir la longitud del péndulo por efecto de la temperatura, disminuye el periodo de oscilación. De acuerdo al enunciado, a temperatura T = 25[º C ] la longitud del péndulo satisface la relación:

τ 0 = 2π ⋅

L g

= 2 [s]

A la temperatura T′ = 15[º C ] , tenemos que α (T ′ − T ) = α ∆ T = − 5× 10−5 y el nuevo periodo

τ ′ es:

τ ′ = 2π ⋅

L ⋅ (1 + α ∆ T ) = 2[ s]⋅ 0,99997 g

Puesto que el periodo disminuye, el reloj se adelanta. Entonces, a la temperatura de 15 [ºC] el reloj marca 2 [s] cuando en realidad han transcurrido 2×0,99997 [s]. Entonces el reloj se adelanta 2×(1 - 0,99997) cada 2 segundos. En un día hay 30×60×24 periodos de 2[s] y por lo tanto el reloj se adelanta en:

(1 − 0,99997) × 60 × 60× 24[ s]  1, 3[s ]

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1. Dilatación Térmica

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Problema 53 Una barra de sección circular cilíndrica, de radio R = 0,01[m] se coloca entre dos paredes rígidas separadas por una distancia L = 1 [m], exactamente igual a la longitud de la barra a 20 [ºC]. Luego se eleva la temperatura hasta 100 [ºC] manteniendo constante la distancia entre las paredes. Considere que en la barra el coeficiente de dilatación térmica lineal es  = 1× 10 -6 [1 /º C ] y el módulo de Young es Y = 1× 1010 [N / m 2 ] . Calcule la fuerza que ejerce la barra sobre las paredes a 100 [ºC].

Solución 53 El esquema de la situación a ambas temperaturas es el siguiente.

Cuando no están las paredes, la barra puede dilatarse libremente de modo que su longitud L ′ y radio R′ en términos del cambio de temperatura son:

L ′ = L(1 + ∆T )

;

R′ = R(1 + ∆T )

Para obtener la magnitud de la fuerza entre la barra y las paredes, calculamos la fuerza necesaria para comprimir la barra desde L ′ hasta L. Entonces, usando la relación lineal entre esfuerzo y deformación tenemos, F L′ − L =Y ⋅ A′ L′ Sustituyendo las expresiones anteriores obtenemos, F = Y ⋅ π ( R′ ) 2 ⋅

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α ∆T Lα ∆T = Y ⋅ π R 2 ⋅ (1 + α∆T )2 ⋅ L′ (1+ α ∆T )

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1. Dilatación Térmica

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Notar que α ∆T = 1× 10 −6 × 80 = 8 × 10−5 es mucho menor que uno, lo que permite escribir la siguiente aproximación lineal que usamos para calcular:

F = Y ⋅ π R 2 ⋅ α ∆T

F = 3,14 ⋅1 ×1010 ⋅ (1 ×10− 2 ) 2 ⋅ 8 ×10− 5 = 250 [N ] Finalmente, en la figura siguiente mostramos las fuerzas de acción y reacción entre las paredes y la barra.

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2. Calorimetría

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Problema 54 Un calorímetro de cobre de 100 [g] de masa, inicialmente contiene 150 [g] de agua y 8 [g] de hielo en equilibrio térmico a la presión atmosférica. A continuación se introduce en el calorímetro un trozo de plomo a una temperatura de 200 [ºC].

Despreciando las pérdidas de calor al

ambiente, calcule la temperatura final del conjunto para dos situaciones: c) la masa del trozo de plomo es de 100 [g]. d) la masa del trozo de plomo es de 200 [g]. Considere que el calor latente de fusión del agua es Lf = 3, 33 ×10 5 [ J / kg ] , el calor específico del agua es C A = 4190[ J / kg ⋅°C ] , el calor específico de plomo es CPb = 128 [ J / kg ⋅° C ] y el calor específico de cobre es C Cu = 390 [J / kg ⋅°C ]

Solución 54 La temperatura inicial del agua con hielo es de 0 [ºC], pues sólo a esa temperatura pueden coexistir cuando están en equilibrio a la presión atmosférica. Al depositar el trozo de plomo en el calorímetro empezará a derretirse el hielo. En primer lugar consideramos la energía que se requiere para derretir todo el hielo y a continuación calculamos la energía que puede aportar el trozo de plomo al enfriarse. Para derretir todo el hielo se requiere, Qh = mh ⋅ L f

Q h = 0, 008[kg ]⋅ 3, 33× 105 [ J / kg ] = 2664[ J ] a)

El trozo de plomo al enfriarse hasta 0[º C ] aportaría una energía de, QPb = mPb ⋅ CPb ⋅ (Ti − Tf ) , dónde el cambio de temperatura es (Ti − Tf ) = 200 [° C ] . Luego,

QPb = 0,1[kg ]⋅ 128[ J / kg ⋅° C] ⋅ 200[º C ]= 2560[ J] Comparando los valores obtenidos, notamos que Q h > QPb , y concluimos que el trozo de plomo no puede aportar la energía suficiente para derretir todo el hielo. Por lo tanto la temperatura final del sistema en este caso es 0[º C ] .

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2. Calorimetría

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b) Un trozo de plomo de 200 [g] al enfriarse hasta 0[º C ] aportaría una energía de,

Q Pb = 0, 2[kg ] ⋅ 128 [J / kg ⋅°C ] ⋅ 200[ºC ] = 5120[ J ] Esta energía podría derretir todo el hielo y elevar la temperatura en el calorímetro. A continuación conviene calcular la energía que se requiere para que toda el agua en el calorímetro alcance la temperatura de ebullición T f = 100 [°C ] .

QA = m A ⋅ C A ⋅ (T f − Ti ) = 0,158[kg ]⋅ 4190 [ J / kg ⋅°C ]⋅ 100[º C ] = 66202 [ J ] Comparando los valores obtenidos, notamos que QA > Q Pb , y concluimos que el trozo de plomo no puede aportar la energía suficiente para subir la temperatura hastaT f = 100 [°C ] . Comparando mejor, notamos que ni siquiera hay energía suficiente para subir la temperatura en 10[º C] , por lo tanto la temperatura final del sistema en este caso es un valor entre 0[º C ] y 10 [°C] , que calculamos a continuación. Para ello escribimos una relación en que igualamos la energía requerida para derretir el hielo y elevar la temperatura del calorímetro con agua, con la energía que aporta el trozo de plomo al bajar su temperatura. Entonces, 2664[J ]+ m′AC A (T − 0)+ mCuC Cu (T − 0)= m PbC Pb (200− T ) , dónde debe usarse m′A = 0,158 [kg ] que corresponde a la suma de la masa de agua más la masa de todo el hielo, que al fundirse absorbió los 2664[J] que figuran en la relación. Introduciendo los valores numéricos encontramos que la ecuación es T [°C] aproximadamente, 200 2664 + 662T + 39T = 5120 − 26T , la cual puede resolverse resultando la temperatura final de equilibrio

T = 3, 4 [° C] . El gráfico siguiente muestra

la

relación

entre

las

temperaturas del trozo de plomo y del agua, en términos del calor que intercambian. La intersección entre

0

2664

5120

las rectas representa el estado final de equilibrio.

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Q [J ]

2. Calorimetría

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Problema 55 Una mezcla con 500[g] de agua líquida y 100[g] de hielo se encuentra inicialmente en equilibrio térmico a la temperatura de 0[ºC], en un recipiente aislado. A continuación se introduce al recipiente 200[g] de vapor de agua a 100[ºC]. Suponga que la capacidad calórica del recipiente 5

es despreciable y los datos siguientes: calor de fusión del hielo L fusión = 3,33×10 [J/kg], calor de vaporización del agua Lvaporización = 22,6×10 5[J/kg] y calor específico del agua c = 4.200[J/kgºC] a)

Explique lo que sucede

b)

¿Se alcanza a derretir todo el hielo?

c)

¿Se alcanza a condensar todo el vapor?

d)

Encuentre la temperatura final del sistema.

e)

Determine la composición final del sistema en [gr].

Solución 55 a) Puesto que la mezcla agua+hielo se encuentra inicialmente en equilibrio térmico, no existe traspaso de calor entre sus componentes. Cuando se introduce en ella el vapor de agua, éste comienza a entregarle calor a la mezcla y el hielo comienza a derretirse, hasta que todos los componentes del sistema alcanzan nuevamente un nuevo estado de equilibrio. b) Para responder a las preguntas conviene hacer dos cálculos preliminares sobre la energía involucrada en cada posible cambio de fase. 1. ¿Cuánta energía se extrae del vapor de agua al llevarlo a la fase de agua líquida a 100[ºC] ? El cambio de fase ocurre a la temperatura constante de 100[ºC], entonces: Qvapor = mvapor ⋅ Lvaporización Qvapor = 0,2 ⋅ 22,6 ⋅105 [ J ] = 452.000[ J ]

2. ¿Cuánta energía absorbe la mezcla agua+hielo al pasar a la fase de agua líquida a 0[ºC] ? El cambio de fase afecta sólo al hielo y ocurre a 0[ºC] , entonces: Qhielo = m hielo ⋅ L fusión    (a)

Qhielo = 0,1 ⋅3,33 ⋅105 [ J ] = 33.300 [ J ]   

Los resultados anteriores indican que Q vapor > Q hielo ; luego el vapor puede aportar con el calor requerido para fundir todo el hielo, y por lo tanto concluimos que se derretirá todo el hielo.

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2. Calorimetría

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c) A continuación conviene calcular cuánta energía se requiere para calentar toda el agua proveniente de la mezcla agua+hielo, hasta la temperatura de 100[ºC] y compararla con el calor disponible al condensarse todo el vapor. Qagua = m agua ⋅ c ⋅ ∆T  Qagua = (0,5 + 0,1) ⋅ 4200 ⋅100 [ J ] = 252.000 [ J ] 

Notamos que la suma de Qhielo + Qagua = 285.300[ J ] es inferior a Q VAPOR = 452.000[ J ] . Esto indica  que toda el agua proveniente de la mezcla agua+hielo podrá alcanzar la temperatura de 100[ºC], sin necesidad de condensar todo el vapor. d) La temperatura final de la mezcla de agua y vapor de agua es 100[ºC], única temperatura a la cual están en equilibrio a la presión atmosférica (1[atm]). e) La masa de vapor ( mv en [g] ) que condensa se puede obtener haciendo la proporción: Qhielo + Qagua Qvapor

=

mv , 200[ g]

resultando mv = 126[g ]. Lo anterior se visualiza graficando la temperatura del subsistema agua+hielo y del subsistema vapor de agua, en función del calor intercambiado entre ambos. Notar que la intersección de las rectas corresponde al estado de equilibrio térmico. Finalmente la composición del sistema una vez alcanzado el equilibrio corresponderá a 500[g] + 100[g] + 126[g] = 726[g] de agua líquida (que corresponde a la suma de la masa inicial de agua con hielo más el vapor condensado) y 200[g] - 126[g] = 74[g] de vapor de agua, a la temperatura de equilibrio de 100[ºC].

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3. Conducción de calor

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Problema 56 La pared interior de un horno es de ladrillo refractario con espesor de 4 [cm], y la superficie exterior es de un material aislante, como se muestra en la figura adjunta. En condiciones normales de operación, la temperatura en la pared interior del horno es de 1000 [ºC] y la temperatura del ambiente exterior es de 50 [ºC].

κL

κA T = 50 °C

T = 1000 °C eA Interior horno

Exterior

eL

Use los siguientes valores de conductividad térmica: para ladrillo κ L = 0,01[ cal/s cm °C ] y para el material aislante κ A = 0,001[ cal/s cm °C ] = κ L / 10 . Determine el espesor del material aislante de modo que su temperatura no exceda de 800 [ºC].

Solución 56

El flujo de calor H depende del gradiente de temperatura y está dado por la ecuación: H = −κ A

dT , dx

dónde κ es la conductividad térmica y A es el área del material a través del cual fluye el calor en la dirección x . El valor absoluto del flujo de calor a través de una pared de caras paralelas de espesor e, entre las cuales la diferencia de temperatura es ∆ T , la ecuación anterior adopta la forma:

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3. Conducción de calor

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H =κ A

∆T e

El flujo de calor en estado estacionario debe ser constante a través de todo el espesor de la pared por lo tanto se cumple que:

H Ladrillo = H Aislante −T −T T T κ L A Interior Juntura =κ A A Juntura Exterior e Ladrillo e Aislante Reemplazando las temperaturas dadas en el enunciado, considerando que TJuntura = 800[º C ] y despejando el espesor eA = eAislante se obtiene finalmente:

κ L ⋅ 200 κ A ⋅ 750 eL e A =e L

=

eA

0,001 ⋅ 750 ⋅ 4 κ A ⋅ 750 = 4⋅ = 1,5[cm ] 0,01⋅ 200 κ L ⋅ 200

Notar que el gradiente de temperatura en el aislante es de 500[ºC/cm] mientras que en el ladrillo es sólo de 50[ºC/cm]. Esto es así pues la conductividad térmica del aislante es 10 veces menor que en el ladrillo.

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3. Conducción de calor

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Problema 57 Considere un depósito cilíndrico de largo L, radio interior R y radio exterior 2R , que contiene agua a una temperatura TA en un ambiente exterior que está a una temperatura menor TB . Considere que las tapas del cilindro son aislantes térmicos perfectos y que el flujo de calor es radial y estacionario. a) Determine una expresión para la temperatura en función de la variable r (la distancia al eje). A partir de ella calcule para r para el cual la temperatura es igual al promedio de las temperaturas interior y exterior. b) Grafique la temperatura T en función de la variable r. A continuación suponga que el flujo de calor hace disminuir la temperatura del agua a partir del valor inicial T0 = 90°C, mientras la temperatura exterior se mantiene constante en TB = 20°C,. c) Deduzca una expresión para la temperatura del agua en función del tiempo y a partir de ella determine cuánto demora en llegar al valor 30[°C]. d) Grafique la temperatura del agua en función del tiempo usando los siguientes datos: 3

= 10 [cm], ρ = 1 [g/cm ],

L = 40 [cm],

R

κ = 0,01 [cal / s °C cm], c = 1 [cal / g ºC].

2R L

R

TA

TB

Solución 57 a) Consideremos una superficie cilíndrica de radio r

( R< r < 2 R) y largo L, coaxial con el

depósito, a través del cual fluye calor desde el interior del cilindro hacia el ambiente. El flujo de calor está dado por la relación: H = −κ A

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dT , dr

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3. Conducción de calor

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en el cual A = 2π rL es el área por la cual fluye el calor. Entonces, H = −κ ⋅ 2π r L

dT . dr

En estado estacionario H es constante e independiente de r, lo que permite integrar la expresión anterior como se muestra a continuación, r

H

T

 R

dr = − 2 πκL dT r T

 A

r  H ⋅ln   = −2 πκ L(T − TA ) R El valor de H se calcula usando la condición exterior: T( 2R) = TB . Entonces,

H ⋅ ln(2) =2πκ L (T A − TB ) . Reemplazando H y despejando T(r) resulta: T (r ) = TA −

(TA − TB )  r  ln  ln(2)  R

La expresión anterior permite probar fácilmente que la temperatura promedioT ( r ) = (TA + TB ) / 2 ocurre en r = 2 R . Con los valores numéricos del enunciado, la expresión para la temperatura interior del cascarón cilíndrico, en estado estacionario, en grados Celsius es: r  T (r ) = 90 − 101⋅ ln   R 

T °C

b) El gráfico correspondiente a

90

T(r) es el siguiente.

c) Para

analizar

enfriamiento

del

contenida

el

en

el agua

cilindro,

20

supondremos que el flujo de

r [ cm ]

calor está dado por la relación de estado estacionario, con la

0

10

20

temperatura exterior TB constante. Así, en un instante cualquiera, la temperatura interior es T y el flujo térmico hacia el exterior es:

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3. Conducción de calor

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H=

dQ 2πκL = (T − TB ln(2) dt

)

El calor dQ que traspasa el agua al medio ambiente provoca un cambio dT en su temperatura; es decir, dQ = −cmdT , dónde c es el calor específico y m la masa de agua. Entonces, − mc

dT 2πκ L = (T − TB ) dt ln(2)

Separando las variables e integrando se obtiene: T

 TA

 T − TB ln  T A −TB

t

dT 2π κ L dt =− T −TB mc⋅ ln( 2) 0



  = −α t , 

dónde

α=

2π κ L mc ln( 2)

Entonces la temperatura del agua en cualquier instante está dada por: T (t )= T B + (T A − T B ) e −αt t Reemplazando los datos del enunciado se obtiene: T (t ) = 20 + 70⋅ e − 0, 000289⋅⋅ .

Lo anterior permite determinar el instante t para el cual T(t) = 30 [ºC], resultando:

t = 6745 [s]  1 hora y 52 minutos d) El gráfico correspondiente a T(t) es el si...