Ejercicios Resueltos - Trigonometría PDF

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EJERCICIOSTRIGONOMETRÍ1. Cuando el sol se encuentra a 20° sobre el horizonte, ¿Cuánto medirá la sombra proyectada por un edificio de 50 m de altura? Respuesta: 137 m.DATOS = 50 m = 20ºTan(a)= ab Tan(20º)= 50 b b= tan 20 50 ° = tan 20 50 ° b= 137 m.2. Un árbol de 100 pies de altura proyecta una sombr...

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TRIGONOMETRÍ

EJ ERCI CI OS

1. Cuando el sol se encuentra a 20° sobre el horizonte, ¿Cuánto medirá la sombra proyectada por un edificio de 50 m de altura? Respuesta: 137 m. DATOS

Tan(a)=

a b

= 50 m Tan(20º)=

= 20º

b=

50 b

50 tan 20 °

50 tan 20 °

=

b= 137 m.

2. Un árbol de 100 pies de altura proyecta una sombra de 120 pies de longitud. Encuentre el ángulo de elevación del sol. Respuesta: 40°. DATOS

Tan( α )=

100 120

Tan( α )=

5 6

h= 120 a= 100

α = arc tan ( α = 40 ° .

5 ) 6

3. Una escalera está apoyada contra la pared de un edificio y su base se encuentra a una distancia de 12 pies del edificio. ¿A qué altura está el extremo superior dela escalera y cuál es su longitud si el ángulo que forma con el suelo es de 70°? Respuesta: 35 pies de largo y 33 pies. DATOS

cos

A= tan

A=

base: 12 ángulo: 70º Longitud: ?

b → cos 70 °= 12 c c c=

a a → tan 70 °= 12 b

12 12 = cos 70° 0,3420

a= tan 70 °∗12 =2,7474∗12

Altura: ? c= 35 pies.

a= 33 pies.

4. De lo alto de un faro, de 120 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un bote es de 15°. ¿A qué distancia está el bote del faro? Respuesta: 448 m. DATOS

tan A=

a b

d= ¿? tan 15º=

a= 15º l= 120m

120 120 → d= tan 15° d

d= 448 m.

5. Un árbol quebrado por el viento forma un ángulo recto con el suelo. Si la parte quebrada forma un ángulo de 50° con el piso y la copa del árbol se

eleva ahora a 20 pies desde la base. ¿Qué altura tenía el árbol? Respuesta: 55 pies. DATOS

A= a= b + c

sin

a= 20+26,10

b= 20 pies a 20 → sin 50°= c c

ángulo= 50º

a= 46,10 pies.

20 sin50 °

c=

c= 26,10.

6. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 27 cm y uno de sus ángulos mide 30°. ¿Cuánto mide cada uno de los catetos y el otro ángulo agudo? DATOS

sin A=

a a → c= sin A c

cos A=

b b → c= cos A c

h= 27cm α = 30º

c= β =-

c=

27 27 = sin30 ° 0,5

c= 54. β=90 °−30 °=60° .

c=

27 27 = cos 30° 0,8660

c= 31,17.

7. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 8 cm y la hipotenusa 12 cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto y de los ángulos agudos? DATOS

sin B=

b 8 = = 0,666= 41° 48 ´ c 12

c1= 8cm c= 90º - 41º48´= 48º12´ h= 12 c= h cos B= 12 cos 41º12´ c2= = 12 * 0,7454 = 8,9448. α =-

8. ¿Cuánto miden la hipotenusa y los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm? DATOS h= α =-

h= √ 3 2+ 42 =√ 9+16= √ 25 h= 5cm. sin A=

3 =0,6  arcsin = 36º52´= 5

cat1= cat2= -

36,869º sin B= 53,130º

4 =0,8 5

 arcsin = 53º7´=

9. Una escalera de 3 m de largo está apoyada sobre una pared, estando su base a un metro y medio de la pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo? Respuesta: 60°. DATOS

cos A=

1,2 3

a= 3m cos A= 0,4 h= 1,2 arc cos 0,4 = 66,42 = 66º.

10. Desde la cima de un edificio se tiende un cable de 300 m de largo hasta un punto “P” del suelo. Si el cable forma un ángulo de 55° con la vertical del edificio, ¿cuál es la altura aproximada del edificio? Respuesta: 172,07 m. DATOS

cos 55º=

b c

 cos 50º =

300m c= 300*cos50º = 300*0,5735 α = 55º c= 172,07m.

300 c

11. Se coloca una antena de 8 m de altura en la parte más alta del techo de una casa. Si desde un punto A del suelo se observa la parte superior de la antena con un ángulo de 60° y la base de la antena con un ángulo de 30° ¿cuánto mide la altura de la casa? Respuesta: 4 m. 12. Determinar los elementos desconocidos del triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 45 y 30 m respectivamente. DATOS

h=

√452 +302

c1= 45m

h=

√2025 + 900= √2095

c2= 30m

h= 54,08.

sin

A=

45 =0,8→ 56 ° 18 ´ 54,08 sin

A=

30 =0,5 → 33 ° 41 ´ 54,08

13. Halla los elementos desconocidos del triángulo ABC, rectángulo en B. Determina también perímetro y área.

A=

catxcat 2

14 x 24 A= 2 A= 168 cm.

2 2 h= √ a + b

P= a + b + c

h= √ 14 2+ 242

P= 14+24+24,36

h= 24,39 cm.

a 14 tan α= = b 24 tan α =0,58

P= 62,39 cm. arctan=30 ° 6 ´ α =90 °−30 ° 6 α =59 °54 ´

14. Calcula el área y el perímetro de la figura:

A=

catxcat 2

11 x 20 A= 2

h= √ 11 2 + 20 2

P= a + b + c

h= √ 121 + 400

P= 11+20+22,8

h= 22,8 cm.

P= 53,8 cm.

A= 110 cm.

15. Calcula el valor de “y” en cada una de las siguientes figuras:

A

x 200

cos 42º=

sin 42º=

m 200

55º= y = x + a

tan

y= 148,63+191,13 x= 200*cos42º

m= 200*sin42º

x= 148,63 m.

m= 133,83 m.

a 133,83

y= 339,76 m.

a= 133,83*tan55º a= 191,13 m.

B

sin 50º=

a 10

cos 50º=

b 10

tan 30º=

c 6,43

y= a + c y= 7,66+6,43

a= sin50º*10

b= cos50º*10

c= tan30º*6,43

a= 7,66 m.

b=6,43 m.

c= 3,71 m.

y= 11,37 m.

C

cos 30º =

b 15

sin 30º=

h 15

tan 60º=

h a

y= b – a y= 12,99 – 4,33

b= 15*cos30º

h= 15*sin30º

b= 12,99 m.

h= 7,5 m.

a=

7,5 tan 60 °

y= 8,66 m.

a= 4,33 m.

16. Un edificio está en la orilla de un lago. Un observador está situado en dirección opuesta en la otra orilla y los separa el agua. Dispone de un utensilio para medir ángulos y de escala para medir pequeñas distancias. Sobre el piso plano mide una distancia de 1m y los ángulos que forman las visuales que van de los extremos del segmento a la parte más alta del edificio son 45° y 40° respectivamente. ¿Cuál es la altura del edificio? Respuesta: 4,88 m. DATOS

tan 45º=

h x

α =45 °

tan 45ºx= tan 40º(x+1) x= 0,839 + 0,839

h= tan 45ºx  h=x β=40 °

h= -

x – 0,839 = 0,839 tan 40º=

h x +1

x = 5,24 m.

h= tan 40º(x+1)

17. Desde un punto de observación en un edificio frente al rio Paraguay, los ángulos de depresión de dos botes alineados son 45° y 60°. Encuentra la distancia entre los botes si el punto de observación está a una altura

3 de 60m. Respuesta: 3− √ ¿ m 20 ¿

18. Deseamos conocer el ancho de un rio, para lo cual nos ubicamos en un punto de A, en la orilla del rio, y medimos el ángulo 48º bajo el cual se ve un árbol que está en frente en la orilla. Nos alejamos 18 m de la orilla en dirección perpendicular a ella y volvemos a medir el ángulo el cual se ve el árbol obteniendo 26º. Respuesta: 14,14 cm.

19. Determina la altura “h” de la montaña y el valor de “x” si el ángulo de elevación del soporte superior cambia de 30° a 60° cuando el observador avanza 2000 m hacia la base de este. Respuesta: 1732 m.

tan 30º =

h 2000+ x

tan 60º =

h x

h= (2000+x) tan 30º h= x tan 60º = x tan 60º = 1000.tan 60º = 1732 m. x tan 60 ° =2000 + 3 tan 30 °

3x= 2000+x

3x – x= 2000  2x = 2000 x = 2000/2 = 1000.

20. Calcula el valor de “y” en cada una de las siguientes figuras:...