Ejercicios y Ejemplos de sistemas con variables de estado PDF

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Ejercicios propuestos de procesos, aplicando códigos en Matlab para la ejecución de control de sistemas con variables de estado. Presenta resultados y esquemas de bloque en Simulink....

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Ejercicios y Ejemplos de sistemas con variables de estado I. Pasar a variable de estado la siguiente representación, establezca ls ecuaciones diferenciales, asuma condiciones iniciales nulas y configure los estados. Antes de hacerlo desarrollar los ejemplos realizados en clase a) P(s)= 4/[(s+3)(s+2)] b) P(s)=3/[(s+5)(s+6)(s+7)] c) P(s)¡5/[(3s+1)(2s+1)(4s+1)] d) P(s)=4/[5s+1)(3+1)(10s+1)(2s+1)

e) P(s)=k1/(s+p) f) P(s)= k/[a2s2+a1s+a01) g) P(s)=k/(a3s3+s2s2+a1s+a0) h) P(s)= k/(ansn+ an-1sn-1+...+a2s2+a1s+a0) Observe los coeficientes en el desarrollo de la matriz Z. II. Usando Matlab para un P(s)= 3/[s4+3s3+4s2+2s+3] a) encontrar la representación en variables en el espacio de estados (state space: ss) >> nu=3;de=[1 3 4 2 3] >> [A B C D]=tf2ss(nu,de) A= -3 -4 -2 -3 1

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B=

1 0 0 0

C= 0

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D= 0 Con este comando verificar sus respuestas de la pregunta I. b) Encontrar los autovalores de la representación ss. De una interpretación física de los autovalores Los autovalores constituyen la soluciones en s de: det(s*I-A)=0; esta ecuación en matlab resuelve con el comando eig(A) >> eig(A) ans = -1.5781 + 1.0895i -1.5781 - 1.0895i 0.0781 + 0.8998i 0.0781 - 0.8998i Interpretación física: observe que los auto valores son los polos del sistema P(s), estos no cambian si su representación es como función de transferencia o en ss. Los polos son las raices de [s4+3s3+4s2+2s+3]; roots(de)=roots([1 3 4 2 3]) roots([1 3 4 2 3]) ans = -1.5781 + 1.0895i -1.5781 - 1.0895i

0.0781 + 0.8998i 0.0781 - 0.8998i Observe que tiene dos polos con parte real positiva: entonces es inestable. Se puede comprobar simulando la respuesta a escalón step (nu,de) o equivalente: step(A,B,C,D)

III. Usando Simulink simular el comportamiento de P(s)= 3/[s4+6s3+12s2+8s+3] de=[1 6 12 8 3]); nu=3. >> [A B C D]=tf2ss(nu,de) A= -6 -12 -8 -3 1

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3

B= 1 0 0 0 C= 0 D= 0 simulación

plot(y)

plot(y)

ahora graficamos los estados, el sistema es de orden 5, (orden de la matriz A). Ellos pueden representar algún parámetro física o simplemente ser variables numéricas. en todo caso son estados internos del sistema que no los proporciona un modelo con función de transferencia.

Observe que uno de los estados, es la salida, por ello son similares autovalores del sistema: solución de det(s*I-A)=0 >> eig(A) ans = -2.6050 + 0.8351i -2.6050 - 0.8351i -0.3950 + 0.4949i -0.3950 - 0.4949i Sistema estable, salida con oscilaciones. Con este diagrama ustedes pueden simular los ejercicios a al d del problema I....