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Electrodin´amica Alvaro Lens 2019

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Introducci´ on

Hasta ahora hemos trabajado con sistemas que se manten´ıan constantes en el tiempo los campos que quer´ıamos estudiar, en esta ocasi´ on toca ver qu´e ocurre cuando quitamos esta ligadura y permitimos que los campos sean funciones del tiempo, al menos una primera aproximaci´ on, el verdadero dolor aparece en cuarto con Electrodin´ amica cl´ asica y Campos cu´ anticos.

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Ley de Ohm

Para la gran mayoria de materiales, la densidad de corriente J~ es proporcional ectrica a la fuerza por unidad de carga: J~ = σ f~, donde σ es la conductividad el´ del material, en algunos casos se utiliza la resistividad, ρ que se relaciona con la conductividad mediante: ρ = 1σ . Para el caso de un conductor perfecto tendremos σ = ∞ y para aislantes perfectos σ = 0. Como en la mayor´ıa de casos la velocidad de las cargas en el medio es relati~ y por tanto tenemos: vamente peque˜ na, la fuerza aplicada sobre est´ as ser´a: E, ~ J~ = σ E

(1)

En nuestro caso no vamos a traba jar mucho con circuitos, pero nunca est´ a de m´ as recordar la ley de Ohm y la ley de Joule: V = IR

(2) 2

P =VI =I R

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(3)

Fuerza electromotriz y campos inducidos

Cuando movemos un cable a trav´es de un campo magn´etico o equivalentemente tenemos un campo magn´etico variable con el tiempo que interacciona con el cable, aparece una corriente el´ectrica. Es decir, una fuerza que mueve las cargas que se encontraban est´ aticas en el conductor, pero, ¿c´ omo? Recordemos que los campos magn´eticos no realizan trabajo. En el caso del primer ejemplo podemos

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pensar que la energ´ıa necesaria est´ a saliendo del trabajo que realizamos al mover el cable, pero en el segundo caso no tenemos una explicaci´ on por ahora. Se comprueba que la fuerza electromotriz generada en un circuito viene dada por: dΦ (4) dt siendo Φ el flujo de campo magn´etico a trav´es del circuito. Teniendo en cuenta que los campos magn´ eticos no realizan trabajo, solo nos queda un candidato: Un campo el´ectrico, es decir: ε=−

Un campo magn´ etico variable en el tiempo genera un campo el´ ectrico Al campo el´ectrico que aparece se lo denomina campo el´ectrico inducido y se relaciona con el campo magn´etico que lo ha generado mediante la ley de Faraday: ~ ~ = − ∂B ~∇ × E ∂t

3.1

(5)

Campo el´ ectrico inducido

La ley de Faraday crea un paralelismo muy interesante entre el campo el´ectrico y el magn´etico, pues: ~ = 0, ∇ ~ ×E ~ = − ∂ B~ ~·E ∇ ∂t ~ ×B ~ = µ0 J~ ~∇ · B~ = 0, ∇ ~ La conclusi´ on l´ ogica es que el campo inducido depende de la variaci´ on de B ~ ~ de la misma forma que B depende de la corriente J que lo genera. Aprovechando el ”truco” que us´ abamos para calcular el campo magn´etico con la ley de Amp`ere, podemos hacer lo mismo con el el´ectrico usando la ley de Faraday en forma integral: I ~ · d~l = − dΦ E (6) dt

3.2

Inductancia

¿Pensabais que todo era bonito?¿Qu´e todos los trucos que hab´ıamos usado hasta ahora serv´ıan para resolver todo?¡Ja! Imaginemos que tenemos dos circuitos en reposo. Si hacemos que una corri~ 1 y algunas ente est´ atica T1 en el circuito 1, esto generar´ a un campo magn´etico B de las l´ıneas de campo atravesar´ an el circuito 2, creando un flujo Φ2 . Recordando la ley de Biot-Savart: ~1 = B

µ0 I 4π 1

2

H

l1 ׈ r d~ r2

Tenemos que el campo es proporcional a la intensidad, por lo que el flujo tambi´ en lo es y podemos escribir: Φ2 = M21 I1

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donde M21 = M12 es el coeficiente de inductancia mutua entre los circuitos y se puede calcular mediante la integral: M21 =

µ0 4π

I I

d~l1 · d~l2 r

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Da igual la forma o posici´ on de los circuitos, el flujo a trav´ es de 2 debido a una corriente I en 1, es el mismo que sobre 1 si la corriente I circula en 2. Supongamos ahora que hacemos variar la corriente en el circuito 1. El flujo a trav´ es del loop 2 variar´ a y como consecuencia de la ley de Faraday se inducir´ a una fuerza electromagn´ etica: dΦ2 dI1 (9) = −M dt dt Pero, cambiar la corriente en el circuito no solo induce una fem en otros circuitos a su alrededor, tambi´en induce una fem en el propio circuito, y como de nuevo el flujo es proporcional a I: ε2 = −

Φ = LI

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donde L es el coeficiente de autoinductancia del circuito, que como en el caso anterior depende de la geometr´ıa del loop. As´ı, si la corriente cambia, la fem inducida ser´ a: dI (11) dt En la mayor´ıa de ejercicios de examen en los que aparecen estas cosas el campo magn´etico es f´ acil de calcular y al final lo u ´nico que tenemos que hacer es hacer una integral de superficie para hallar el flujo y sacar L y/o M. ε = −L

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Ecuaciones de Maxwell

Las ”4” ecuaciones de Maxwell resumen todas las leyes que siguen y producen todos los efectos electromagn´eticos.

4.1

Ley de Amp` ere-Maxwell

Al igual que un campo magn´etico variable generaba un campo el´ectrico, la variaci´ on de un campo el´ ectrico genera una corriente que a su vez produce un campo magn´ etico, de forma que la ecuaci´ on de Amp`ere que

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hemos usado hasta el momento, cuando trabajamos con campos variables en el tiempo, se transforma en: ~ ~ = µ0J~ + µ0 ǫ0 ∂ E ~∇ × B ∂t

4.2

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Ecuaciones de Maxwell

Reuniendo todo las ecuaciones que hemos estado usando a lo largo de estos apuntes (Con sus correspondientes ”arreglos” para los campos variables en el tiempo) tenemos las ecuaciones de Maxwell (realmente este se˜ nor lo que hizo fue meter un fix a la de Amp`ere y darles el formato matem´ atico que tienen en este curso, pero se han quedado con este nombre) ~ ·E ~ = 1 ρ (Gauss) (i)∇ ǫ0 ~ = 0 (6 ∃ monopolos magn´eticos) (ii) ~∇ · B ~ ×E ~ = − ∂B~ (Faraday) (iii) ∇ ∂t

~

~ ×B ~ = µ0 J~ + µ0 ǫ0 ∂E (Amp`ere-Maxwell) (iv)∇ ∂t ~ y en el caso de trabajar con medios materiales solo es necesario cambian H ~ ~ ~ por B y D por E en (i) y (iv) y eliminar los factores µ0 y ǫ0 . Y ya que estamos recordemos sus condiciones de contorno:

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~ 1⊥ − ~D⊥ = σ f D 2

(13)

~ k − E~2k = 0 E 1 ~⊥ = 0 B~1⊥ − B 2 k k ~ ~f × ~ H1 −H2 = K

(14) (15) n ˆ

(16)

Leyes de conservaci´ on

Ya hemos visto que tenemos una ecuaci´on de continuidad de corriente dada por ~∇ · J~ = − ∂ρ , pero tenemos otra cantidad que se debe conservar: la energ´ıa. ∂t

5.1

Teorema de Poynting

En los temas anteriores hemos visto la energ´ıa contenida en un sistema el´ ectrico y en un sistema magn´ etico, por lo que no deber´ıa de ser una sorpresa que la densidad de energ´ıa de un sistema electromagn´etico sea la suma de ambos: 1 1 2 B ) (17) (ǫ0 E 2 + µ0 2 la energ´ıa total ser´ a la integral a todo el espacio de la densidad de energ´ıa, pero a nosotros nos interesa ver qu´e trabajo pueden hacer las fuerzas electromagn´eticas sobre una carga dada en un intervalo dt. u=

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La fuerza total vendr´ a por: ~ + ~v × B) ~ · ~v dt = qE ~ · ~v dt F~ d~l = q(E por lo que el trabajo total realizado sobre la cargas en un volumen V dado es: dW dt

=

R

V

(E~ · J~)dτ

y aplicando la lay de Amp`ere-Maxwell , la lay de Faraday y las relaciones de calculo para divergencias y rotacionales podemos llegar al famoso Teorema de Poynting: Z I 1 1 d 1 2 dW ~ × B)d~ ~ a (E B )dτ − (18) =− (ǫ0 E 2 + µ0 dt dt V 2 µ0 S El teorema, en palabras sencillas, viene a decir que la energ´ıa que pierde un sistema electromagn´ etico es la suma de la variaci´ on interna de la energ´ıa contenida en los campos m´ as la que sale por la superficie del volumen sobre el que hemos integrado el sistema. El vector que aparece en la segunda parte de la igualdad se denomina vector de Poynting y tradicionalmente se denota por: S≡

1 ~ ~ (E × B) µ0

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y representa la densidad de energ´ıa por unidad de a´rea y tiempo transportada por el campo, es decir, el flujo de densidad de energ´ıa. Si traba jamos con luz, por ejemplo, el vector de Poynting nos marca la direcci´ on de movimiento del rayo de luz. Por u ´ltimo, el vector de Poynting nos permite escribir un momento lineal para los sistemas electromagn´ eticos: ~ = ǫ0 (E~ × B) ~ ~g = µ0 ǫ0 S

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En adici´ on, podr´ıamos definir un momento angular para estos sistemas, pero eso ya son cosas para otros cursos.

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