Elementos de lógica simbólica PDF

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Este es un apunte realizado por mí, sobre los Elementos de lógica simbólica para la Cátedra de Matemática I y II, que son significantes para la carrera Tec. Univ. En Parques y Jardine scuyos docentes son: Luis A., Déborah Turraca, Ileana Bravo y José Salim.
En este curso veremos como la Lóg...

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ELEMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA INTRODUCCION En este curso veremos como la Lógica se encarga del estudio de los métodos y principios usados para distinguir si un razonamiento es válido o no. Para comprender que son los razonamientos, veremos primero sus componentes. Proposición: Se llama proposición a toda oración declarativa, es decir a toda oración de la cual se puede deducir si es verdadera o falsa. A las proposiciones las denotaremos con una letra minúscula generalmente partiendo de la letra , y al enunciado de la proposición encerrado entre comillas. Si las proposiciones son varias, también se las puede denotar con subíndices de la siguiente forma: 1 , 2 , 3 , ... , siendo un número natural. Ejemplos: : “dos es un número par” 2 : “La luna es un satélite artificial” 1

: “6 es múltiplo de 2” 4 : “si el cuadrilátero tiene sus cuatro lados iguales entonces es un cuadrado” 5 : “La papa es un tubérculo” 6 : ”7 < 9” 3

: “6 es menor que 7 y número primo” 8 : “6 es menor que 7 y 7 es número primo” 7

El valor de verdad de cada proposición lo asigna la asignatura a la cual se refiere dicha proposición, así el valor de verdad de la proposición 1 lo asigna la Matemática. Para indicar que una proposición es verdadera se escribe a la derecha de dicha proposición la expresión (V) y si es falsa (F). De tal manera que podemos escribir: 1

: “dos es un número par” (V). CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas.

Una proposición es simple si no contiene otras proposiciones como parte de ella. Una proposición es compuesta cuando contiene una o varias proposiciones simples como parte de ella. Es decir que a una proposición compuesta se la puede descomponer en dos o mas proposiciones simples.

Por ejemplo la proposición: : ” 5 es un número impar y divisor de 10” Es una proposición compuesta, porque contiene dos proposiciones simples como parte de ella. Ellas son:

: “ 5 es un número impar” 2 : ” 5 es divisor de 10” 1

Volviendo a la proposición compuesta : la consonante “ y “ que vincula las proposiciones simples se llama conectivo u operador lógico, su símbolo lógico es “ “ y la operación que representa es la “conjunción“. La importancia de usar estos símbolos es que toda proposición compuesta que está dada en forma vulgar, se la puede expresar en forma simbólica. Por ejemplo la proposición : se la puede expresar como 1 2 que se lee: 1 y 2. El nombre de operador lógico nos brinda la idea de que se puede operar con las proposiciones. Las siete operaciones llamadas operaciones lógicas que estudiaremos son: 1 2 3 4 5 6 7

operación Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional Alternativa Exclusión

Expresión simbólica

⇒

Giro lingüístico No y o ,entonces Si si y solo si Solo , o solo Ni , ni

VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN COMPUESTA Así como los números reales poseen normas y propiedades para realizar sus operaciones, también las operaciones lógicas tienen sus normas para operar con las proposiciones. La negación es una proposición compuesta que significa la negación de la proposición simple . Por ejemplo, si : “4 es número par”, entonces su negación es : “4 no es número par” Lo dicho anteriormente se lo puede expresar en una tabla de valores, de la siguiente manera: V F

F V

Donde la primera fila se llama Cabeza de tabla, y las restantes filas forman lo que se llama cuerpo de tabla. O sea: } cabeza de la tabla   cuerpo de la tabla  En la cabeza de la tabla queda establecida la operación lógica a resolver. En el cuerpo de la tabla se establece todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simples que posee la operación lógica. El número de filas que tiene el cuerpo de tabla, depende del número de proposiciones simples que contiene la operación lógica. representa El número de filas se determina mediante la fórmula: 2 donde el número de filas que tiene el cuerpo de la tabla y es el número de proposiciones simples que intervienen en la operación lógica. La Conjunción En forma vulgar diremos que: “La conjunción solo es verdadera cuando son verdaderas todas las proposiciones simples que la componen”. Si se desea realizar la tabla de valores de verdad de la operación , debemos tener en cuenta que intervienen dos proposiciones simples y , por lo tanto = 2, para determinar el número de filas que tendrá el cuerpo de la tabla se emplea la fórmula: por lo que 2 22 4 por lo tanto la cantidad de filas que tendrá el cuerpo de la tabla es 4.

Expresado en una tabla de valores se obtiene: V V F F

V F V F

V F F F

La última columna de la tabla es el resultado de cada situación de los valores de verdad de las proposiciones simples que componen la operación lógica dada. La Disyunción En forma vulgar diremos que: “La disyunción solo es falsa cuando son falsas todas las proposiciones simples que la componen”. Expresado en una tabla de valores se obtiene: V V F F

V F V F

V V V F

El Condicional En esta operación lógica intervienen dos proposiciones, la primera llamada antecedente y la segunda consecuente. El condicional tiene diversos giros lingüísticos, los que mas utilizaremos son: a) Si , entonces b) implica En forma vulgar diremos que: “El condicional solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso” Expresado en una tabla de valores se obtiene:

V V F F

V F V F

⇒ V F V V

El Bicondicional En forma vulgar diremos que: “El bicondicional es verdadero cuando las proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y es falso cuando tienen distintos valores de verdad”. Expresado en una tabla de valores se obtiene: V V F F

V F V F

V F F V

Alternativa En forma vulgar diremos que: “La alternativa es verdadera cuando solo una de las proposiciones que la forman es verdadera”. Expresado en una tabla de valores se obtiene:

V V F F

V F V F

F V V F

Exclusión En forma vulgar diremos que: “La Exclusión solo es verdadera cuando son falsas todas las proposiciones simples que la forman”. Expresado en una tabla de valores se obtiene:

V V F F

V F V F

F F F V

CONDICIONALES ASOCIADOS Dadas dos proposiciones lógicas (simples) cuatro condicionales, llamados asociados, que son:

y

, es posible formar con ellas,

1.

⇒

llamado DIRECTO.

2.

⇒

llamado RECIPROCO (del Directo) que tiene permutados el antecedente y el consecuente de aquél.

3

⇒

llamado CONTRARIO (del Directo) que se forma negando el antecedente yel consecuente del directo.

4

⇒

llamado CONTRARRECIPROCO (del Directo) que se forma negando y luego permutando el antecedente y el consecuente del Directo..

Puede demostrarse, construyendo las tablas de verdad, que: a)

⇒

~

⇒

[1]

b)

⇒

~

⇒

[2]

En efecto:

V V F F

V F V F

F F V V

F V F V

[1] ⇒q

[1] ⇒

[2] ⇒

[2] ⇒

V F V V

V F V V

V V F V

V V F V

⇒ Observando la tabla de valores de verdad, concluimos que ( ⇒ ) ~ ( ) y que ( ⇒ ) ~( ) por ser iguales sus respectivas tablas de valores de verdad ⇒

Ejemplo: sea el condicional

2

25 ⇒

5

(Directo).

Escriba los condicionales asociados y deduzca cual de ellos es el equivalente al dado:

Solución: Los condicionales asociados al dado son: 1)

5 ⇒

2)

2

3)

2

25 ⇒ 5 ⇒

2

25

(Recíproco)

5

(Contrario)

25

(Contrarrecíproco)

El condicional equivalente al dado es el contrarrecíproco por lo que podemos escribir: (

2

25 ⇒

5 )

~

(

5⇒

2

25 )

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS Según la tabla de valores de verdad, las proposiciones compuestas se clasifican en: Tautologías, Contradicciones y Contingencias. Una proposición Compuesta es una Tautología, cuando es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. A las Tautologías se las denota con la letra T. Una proposición Compuesta es una Contradicción, cuando es siempre falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. A las Contradicciones se las simboliza con la letra C. Una proposición Compuesta es una Tautología, cuando es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. A las Tautologías se las denota con la letra T. Una proposición compuesta es una Contingencia cuando no es Tautología ni Contradicción.

Ejemplos: Sea clasificar mediante tablas de valores de verdad las siguientes proposiciones compuestas: a) ( ) ( b) ( ⇒ ) ( c) ( )⇒(

) ) )

Realizando las respectivas tablas de valores de verdad se obtiene: a) 1 p

q

V V F F

V F V F

p q F F V V

F V F V

A -1

B

F V V V

F V V V

V F F F

De la tabla se deduce que

(

V V V V )

(

) es una Tautología.

(

) es una Contradicción.

b) p

q

V V F F

V F V F

A ⇒ F V F V

V F V V

B

F V F F

F F F F

De la tabla se deduce que ( ⇒ ) c) A p

q

V V F F

V F V F

B ⇒

F F V V

V F F F

F F V F

De la tabla se deduce que (

F V V V )⇒(

) es una Contingencia.

PROPOSICIONES EQUIVALENTES Dos proposiciones compuestas son equivalentes si tienen la misma tabla de valores de verdad. Para distinguirlas se usa el símbolo “~”, de tal manera que si la proposición equivalente a la proposición

escribiremos:

~

que se lee “

es equivalente a

es

”.

LEYES LOGICAS Las Leyes Lógicas son equivalencias Lógicas que se pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de valores de verdad del bicondicional.

Una Ley Lógica, es una forma válida de razonamiento. Generalmente se emplean para deducir ciertos enunciados a partir de otros. Algunas leyes son las siguientes: ORDEN

NOMBRE

FORMA SIMBOLICA

1.

Ley conmutativa de la disyunción:

p

q~q

p

2.

Ley conmutativa de la conjunción:

p

q~q

p

3.

Ley asociativa de la disyunción:

(p q)

4.

Ley asociativa de la conjunción:

(p

5.

Ley distributiva de la conjunción con respecto a la disyunción:

p

(q r) ~ (p q) (p r)

6.

Ley distributiva de la disyunción con respecto a la conjunción:

p

(q r) ~ (p q) (p r)

7.

Primera Ley de De Morgan:

-(p

q) ~ -p

-q

8.

Segunda Ley de De Morgan:

-(p

q) ~ -p

-q

9.

Ley de Involución:

-(-p) ~ p

q)

r~p r~p

(q r) (q r)

RAZONAMIENTOS Un razonamiento tiene la estructura de un par ordenado { }; , donde representa a un conjunto de proposiciones llamadas premisas y es otra proposición, llamada la conclusión, la cual se espera que se deduzca de las premisas. La notación usual de un razonamiento es la siguiente: p1 p2 p3 . . . pn --------q

o así:

p1 p2 p3 . . . pn/

q

También podemos decir que todo razonamiento tiene la estructura Lógica de un condicional donde el antecedente es la conjunción de todas las premisas y el consecuente es la conclusión. En símbolo el primer razonamiento anterior se lo puede expresar como: 1

2

3

...

⇒

CLASIFICACION DE LOS RAZONAMIENTOS Los razonamientos se clasifican en: a) Razonamientos deductivos. b) Razonamientos inductivos. En este curso solo nos referiremos a los razonamientos deductivos. RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS Un razonamiento , es deductivo cuando el valor de verdad de las premisas ofrecen evidencias contundentes del valor de verdad de la conclusión . Ejemplo: “Si ABCD es un cuadrado, entonces es un rombo” Es evidente que el valor de verdad de la conclusión se deduce del valor de verdad de la premisa, por lo que el razonamiento es deductivo. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VÁLIDO Definición 1: Un razonamiento deductivo es Válido (o correcto), cuando siendo las premisas verdaderas la conclusión no puede ser falsa. Caso contrario el Razonamiento es Inválido (o incorrecto). Es un error decir que un razonamiento es verdadero o que es falso. Definición 2: Un razonamiento es deductivo válido, cuando es Tautológico el condicional que tiene por antecedente la conjunción de las premisas y como consecuente a la conclusión. La definición 1 se usa generalmente, cuando el razonamiento está expresado en forma vulgar, y la definición 2 se usa cuando el razonamiento está expresado mediante símbolos. Ejemplo 1) Si ABC es un triángulo rectángulo en ˆ , entonces ˆ = 36º y ˆ = 54º. Como el razonamiento está dado en forma vulgar, es conveniente utilizar la definición 1) para deducir si es válido o no. Si un triángulo es rectángulo en ˆ , la suma de los restantes ángulos interiores debe ser 90º, pero que ˆ = 36º y ˆ = 54º no es el único par de valores que sumados sea 90º. puede que ˆ = 30º y ˆ = 60º con lo que la conclusión sería falsa y la premisa seguiría siendo verdadera, con lo que se deduce que el razonamiento es deductivo Inválido.

Ejemplo 2) / Como el razonamiento está dado en forma simbólica es conveniente utilizar la definición 2), para ello construiremos la tabla de valores de verdad correspondiente:

⇒ (1)

(2) 1 2

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

F F F F V V V V

F F F F V V F F

V V V V V F V F

F F F F V F F F

A ⇒

V V V V V V V V

⇒ resultó ser una Tautología, se deduce que el Como el condicional razonamiento planteado es Deductivo Válido. Este trabajo fue redactado y tapiado por Lic. Luís Alfredo Salas para ayudar al desarrollo de la guía de Trabajo Práctico correspondiente a Lógica....