Ensaio sobre as equações de Maxwell divergente e rotacional PDF

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atividade de aplicação de teoria: esclarecer um tema e aplicar os teoremas do calculo vetorial para resolver tal abordagem. ...

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Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Toledo

ENSAIO SOBRE AS EQUAÇÕES DE MAXWELL (Equações de onda eletromagnética no vácuo)

Jordano Vinicius Lahm¹ Lucas Garcia Mendes¹ Eduarda Ramires¹ ¹Universidade Federal do Paraná – UTFPR Professor. Rodrigo Manoel Dias de Andrade

TOLEDO – PR 2016

1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A partir do século XIX a nova visão sobre o mundo natural ganhou enfoque sobre o comportamento elétrico de certos materiais condutores e sobre os fenômenos elétricos e magnéticos. Oriundo das “Pesquisas experimentais sobre eletricidade” de Michael Faraday, um físico escocês nascido em 1831 e responsável pela maior contribuição na física desde Isaac Newton, desenvolveu uma formulação matemática concreta sobre tais ideias interpretadas na obra sobre eletromagnetismo. James Clerk Maxwell observou que da mesma as cargas de polarização num dielétrico produzem um campo elétrico, as correntes de polarização devem produzir um campo magnético. Uma dupla fortemente amparada a grandes pilares da física, Maxwell e Faraday contribuíram para a compreensão mais profunda de campos eletromagnéticos e qual a relação destes com as características fundamentais da eletricidade como corrente, tensão, campo elétrico e fluxo magnético. Em 1864 publica um tratado sobre “Uma teoria dinâmica do campo eletromagnético”, formulando as leis e relações elementares da dinâmica do eletromagnetismo. Na introdução de um novo efeito físico, Maxwell postula que “Um campo elétrico em vácuo absolto variável com o tempo produz um campo magnético”, na mesma perspectiva oriunda da Lei da indução de Faraday a qual justifica que um campo magnético variável no tempo correlacionado a um campo elétrico, produz uma força eletromotriz. Em outras palavras assim como Michael Faraday estava a desenvolver experimentos que calculassem a velocidade de propagação, Maxwell analiticamente obtivera resultados que explanassem uma constante de velocidade já experimentada no ramo da astronomia e na ótica. Para tanto nas palavras do físico á procura da formulação intrínseca de que a luz é uma luz eletromagnética, “A velocidade da luz em nosso meio hipotético, calculada a partir dos experimentos eletromagnéticos dos Srs. Kohlraush e Weber, concorda tão exatamente com a velocidade da luz, calculada pelos experimentos óticos do Sr. Fizeau, que é difícil evitar a inferência de que a luz consiste nas ondulações transversais do mesmo meio que é a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos”. Formalmente, Maxwell fundamenta o comportamento recíproco do enunciado da Lei de Faraday, ou seja, um campo magnético variável no tempo produz um campo elétrico. Portanto, tal efeito comporta-se como uma onda com propriedades eletromagnéticas e prioritariamente se conserva, como o enunciado garante que as leis de Maxwell obedecem a conservação da energia.

Figura 1 – Campos elétricos e magnéticos transversais.

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS

A seguir serão apresentados os fundamentos teóricos gerais sobre o estudo dos fenômenos elétricos e magnéticos. A fim de se estabelecer os parâmetros centrais que formularam a definição geral das equações de James Clerk Maxwell para uma onda eletromagnética. Carga elétrica: Todos os corpos possuem cargas elétricas, elas geralmente não podem ser observadas, pois a maioria dos corpos possuem quantidades iguais de cargas: cargas positivas e cargas negativas. Quando as quantidades de cargas são diferentes dizemos que o objeto está eletricamente carregado. As cargas que contém o mesmo sinal sempre se repelem e as cargas que contém sinais opostos se atraem. Lei de Coulomb: Sabendo que duas partículas carregadas exercem forças uma sobre a outra, podemos calculá-la. Essas forças podem ser de repulsão ou de atração e são chamadas força eletroestática. Essa força é dada pela seguinte equação:

Fk

q2 r r²

Onde:

r : um vetor unitário na direção da que liga as duas partículas. r : A distância entra as partículas. 1 N .m² k  8, 99.10 9 : Constante eletrostática. C² 4 0 E a Lei de Coulomb também pode ser escrita como: F

q1 q2 40

r²

Campo elétrico: O campo elétrico é um campo vetorial, cada vetor está em uma região em torno do objeto carregado. Ao colocarmos uma carga em um ponto qualquer P podemos calcular o campo elétrico que está sendo produzido por essa carga pontual através da equação: E

q0

Na figura abaixo é possível ver as linhas de campo que se formam por meio de uma carga pontual positiva e negativa, e como reagem quando há duas cargas de pólos diferentes (se atraem) e duas cargas de pólos iguais (se repelem).

Figura 2- Campos elétricos

Os campos elétricos podem ser produzidos de diferentes formas: 

Carga pontual: Quando queremos calcular o campo elétrico produzido por uma carga q a uma distância r, a equação do campo elétrico fica da seguinte forma:

E



q 4 0 r ²

Dipolo Elétrico: Quando queremos calcular o campo elétrico produzido em um ponto P a uma distância r de duas partículas carregadas com sinais opostos estão separadas por uma distância d. A equação que caracteriza esse campo é dada por: 𝐸 = 𝐸+ − 𝐸− E



Linha de Cargas: Para uma linha de cargas podemos considerar que essa linha é contínua. Para calcular o campo em determinado ponto P a uma distância z da linha de cargas temos a seguinte equação, sendo que L é o comprimento da linha: E



qd 2 0 z ³

1 q 1 4 0  L² 2  z²   4 

Anel carregado: Para um anel carregado podemos considerar que esse anel é contínuo. Para calcular o campo em determinado ponto P a uma distância z do centro do anel de cargas temos a seguinte equação, sendo que R é o raio do anel:

E



1

qz

4 0  z ²  R ² 3 2

Disco carregado: Para um disco carregado podemos considerar que esse disco é contínuo. Para calcular o campo em determinado ponto P a uma distância z do centro do disco de cargas temos a seguinte equação, sendo que R é o raio do disco e 𝜎 é a carga por unidade de área:

E

 1  z  1 2 0   z ²  R ² 12   

Na figura abaixo tem-se o campo elétrico de um dielétrico:

Figura 3 - Campos elétricos de dipolo elétrico

Fluxo: O fluxo de um campo elétrico é calculado a partir da somatória de pequenos pedaços da área ∆𝐴 de uma superfície gaussiana multiplicada pelo valor do campo elétrico 𝐸󰇍 que esta agindo sobre essa área, e a equação é dada por:



Lei de Gauss: Essa lei relaciona o fluxo total  à carga total qenv que está envolvida:

 0  qenv

Assim como nos campos elétricos podemos aplicar a lei de Gauss para obter uma expressão para obter o campo elétrico, mas agora para superfície gaussiana. 

Fio infinito: A superfície gaussiana utilizada para esse cálculo é cilíndrica tendo raio r e largura h. Veja a figura 4. O fluxo é dado por:

  EA cos  E(2  rh) cos 0  E(2  rh) Escrevendo a equação utilizando a lei de Gauss e considerando que 𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜆ℎ temos:

E

1  2 0 r

Na figura abaixo observa-se a representação de um fio infinito:

Figura 4 – Fio infinito



Plano carregado: A superfície gaussiana utilizada para esse cálculo é cilíndrica que é perpendicular à placa. Como as linhas de campo são paralelas a superfície lateral do cilindro o fluxo é nulo, portanto, são consideradas apenas o fluxo nas bases do cilindro. Veja a figura 5. Temos a seguinte equação resultante: E

 2 0

Figura 5 – Plano carregado



Camada esférica: I.

Uma casca esférica carregada de carga total q e raio R e r ≥ 𝑅, sendo que r é o raio da casca esférica da superfície gaussiana.

E

II.

q 4 0 r ²

Uma casca esférica carregada de carga total q e raio R e r < 𝑅 , sendo que r é o raio da casca esférica da superfície gaussiana.

E0 Potencial: Quando há uma força eletroestática agindo entre partículas podemos calcular a energia potencial elétrica U.

U  U f  U i  W

A energia potencial por unidade de carga em um ponto do espaço é representada por V:

V 

U q

Podemos então definir o potencial elétrico através da relação:

V 

W q

Potencial Coulombiano: O potencial é o trabalho por unidade de carga para levar uma carga de um ponto P1 para um ponto P2 e é dado por:

P2

  Edl  V (P 2)  V (P1) P1

Podemos calcular o campo E a partir de V: E   gradV

Capacitor: um capacitor é formado por dois condutores isolados com cargas positivas e negativas e é definido como:

𝑞 = 𝐶𝑉

Onde: V é a diferença de potencial. Podemos calcular a capacitância através de: 

Placas paralelas: sendo d a distância entre as placas e A a área temos a seguinte equação:

C 

0 A d

Cilíndrico: sendo dois cilindros longos de comprimento L e raios a e b:

C  20

L  b ln   a



Esférico: formado por duas cascas esféricas de raios a e b: C  4 0

ab b a

Lei de Gauss com dielétrico: Quando há um dielétrico a lei de Gauss toma a seguinte forma, sendo k uma constante dielétrica e q a carga livre:

0

Corrente: Corrente elétrica é o movimento de partículas carregadas. E é definida como:

i

dq dt

Sendo dq uma carga que passa por um plano hipotético que corta o condutor em um intervalo dt e a unidade de corrente é o ampère (A). 

Densidade de corrente: sendo 𝑑𝐴 um vetor perpendicular a um elemento de superfície de área dA, temos que a corrente esta relacionada com a densidade de corrente dada por 𝐽:

i   Jd A



Resistência de um condutor: A resistência de um condutor depende da diferença de potencial V e da corrente i:

𝑅=

𝑉 𝑖

Campo Magnético: É definido em termos da força 𝐹󰇍󰇍󰇍𝐵 que age sobre uma partícula de carga q que se move a uma velocidade 𝑣 na presença do campo:

FB  qv  B



Força magnética sobre correntes: A força que age em um fio retilíneo por onde passa uma corrente, i. e, está submetido a um campo magnético é definida como:

FB  iL  B Lei de Ampère: Podemos calcular o campo magnético através da integral de linha calculada em uma curva fechada conhecida como amperiana:

Ou ainda podemos descreve-la através da seguinte equação:

Fluxo Magnético: Para calcular o fluxo magnético que passa por um campo magnético 𝐵󰇍 temos a seguinte equação:

 B   B.d A



Lei de indução: Quando o fluxo magnético através de uma área limitada por um cilindro varia com o tempo temos a seguinte equação correspondente onde N é o número de espiras:

E  N 

d B dt

Campo elétrico induzido: Quando o campo magnético 𝐵󰇍 varia no tempo gera uma indução no campo elétrico 𝐸󰇍:

rot E  

B t

E



Lei de Lenz: Uma força eletromotriz é induzida em uma espira se uma corrente i varia com o tempo e o sentido dessa corrente é aquele que tende a se opor à variação do fluxo através da espira:

E



Solução de Maxwell: Segundo a lei de Ampère descrita anteriormente temos:

Porém para essa equação o a corrente i é igual a 0, logo o campo 𝐵󰇍 também é 0, mas isso não acontece. Maxwell define então que P    E :

i

 P.ndS  t S'

Na presença de campos elétricos variáveis no tempo e uma corrente de deslocamento a lei de Ampère:

0

 P.ndS  t S'

3 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A obra postulada por James Clerk Maxwell foi considerada um dos marcos mais concisos no estudo e interpretação da natureza eletromagnética, mais claramente utilizada na Teoria da Relatividade Restrita de Einstein, além da descrição concisa do aspecto vetorial e formal das equações que regem o eletromagnetismo. A visão do matemático em estabelecer uma constante de velocidade e sob tal afirmação conduzir uma série de abstrações dos efeitos originados de teoremas como o de George Stokes (1819 – 1903), Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), Michael Faraday (1791 – 1867) e André Marie Ampére (1775 – 1836). Além disso, as leis de Maxwell amplamente dispersadas nos estudos formais de física estatística e teoria cinética dos gases refletem o grau de formalismo e completude matemática que o mesmo obteve em Cambridge. Nas palavras do físico e matemático “A verdadeira lógica deste mundo está no cálculo de probabilidades”, para mais sintetizar que das tantas maneiras de se trabalhar um problema, pode ainda existir outra visão sobre determinado escopo e perceber novas formas que dão origem a novas ideias e, portanto, novas descobertas. Logo por se perceber que ao mundo dos tantos detalhes, a probabilidade de existir a dúvida é proporcional á esperança matemática de se existir outra hipótese que fundamente seu método em busca da certeza. A determinação do ferramental matemático utilizado por Maxwell foi de suma importância para o preâmbulo de teorias revolucionárias, como a Relatividade Geral de Albert Einstein, além de fornecer uma nova interpretação oriunda de descobertas fundamentais já sintetizadas séculos anteriores, assim por dizer, as equações de Maxwell traduzem uma nova visão sobre o escopo de uma onda eletromagnética no vácuo, como por exemplo, a luz. De forma original e intrinsecamente matemática, tais equações usufruem da análise vetorial de operadores vetoriais abordando de forma satisfatória o comportamento elétrico e magnético de uma onda no espaço tridimensional.

APÊNDICE (I)

As equações a seguir em forma de tabela descrevem o comportamento observado e enunciado por Maxwell, o que demonstra as propriedades fundamentais de uma onda eletromagnética no vácuo. Para tanto os operadores de espaço vetorial, assim como a demonstração da conservação de energia estão na forma de apêndice (I) e (II), as demonstrações básicas estão de acordo com a bibliografia [1] e [2].

Tabela 1 – Relações gerais do eletromagnetismo

Tabela 2 –Mecanismos usuais das equações de Maxwell

Tabela 3 –Equações de Maxwell no vácuo

Tabela 4 –Operadores diferenciais das equações de Maxwell

Tabela 5 – Elementos de Maxwell no eletromagnetismo

APÊNDICE (II)

Tabela 5 – Equações de Maxwell na forma diferencial

APÊNDICE (III)

Segue a demonstração simples da conservação de energia através da equação da continuidade, a fim de se esclarecer que as leis do eletromagnetismo em forma de (Div) e (Rot) obedecem ao princípio da conservação da carga e assim, podem ser enunciadas através das equações de Maxwell.

dq  i dt d  dV   j . d S dt V S 

 t

V

dV     . jdV V

  . j 0 t    E 0   .   B  .  0 j  0 0  t   

 0  . j  0 0  0  . j  0 0



 .E



t   0  t

  0   . j  t   p  . j  0 t

Portanto denominamos equação da continuidade a partir das equações de Faraday – Lenz de que a carga é conservativa.

APÊNDICE (IV)

Equação de Maxwell na forma diferencial: Aplicando o teorema de Gauss e o teorema de Stokes nas equações de Maxwell na forma integral, conseguimos recair na análise infinitesimal dos problemas gerais válida para volumes, superfícies e curvas em gerais. Conseguimos de maneira geral denotar as equações em forma do divergente e do rotacional, conforme os teoremas apresentados nos apêndices. Visto que as tabelas apresentam as equações gerais e os elementos intrínsecos de um campo vetorial eletromagnético, considerados a partir dos teoremas de Faraday, Ampére, Lenz, dentre outros. Considerando a Lei de Gauss para uma superfície equipotencial, podemos expressar o teorema de Gauss como a densidade de carga, igualando a expressão resultamos:

 Lei de Gauss 

   E dV     dV    E   v

v

0

0

Nesse sentido, a partir da Lei de Ampére por exemplo, usando o teorema de Stokes demonstramos a corrente como a integral da densidade de corrente dada por definição. Portanto temos:

  0 0

d E dS (Lei de Ampere ) dt s

 xB  dS    j dS     0

s

0 0

s

 x B   0 j   0 0

s

t

 dS

E t

Portanto relacionando o teorema de Gauss e Stokes ás leis de Faraday sobre fluxo magnético, ao campo magnético conservativo de Gauss e á lei de Ampere, definimos as equações gerais de Maxwell na forma diferencial de divergente e rotacional. Logo podemos formalizar as equações diferenciais de Maxwell como:

 E 

( Lei deGauss)



xB  0 xE  

Lei deGauss do Magnetismo) t

( Lei de Faraday)

x B  0 j  0 0

E ( Lei de Ampere) t

APÊNDICE (V)

No desenvolvimento das equações de Maxwell, tem-se a necessidade de se definir certos tipos de operadores diferenciais de campo vetorial. A partir da análise vetorial consideramos a interpretação física e matemática das equações que descrevem campos elétricos e magnéticos. A partir das definições de gradiente, divergente e rotacional, além dos teoremas de Gauss e Stokes, aplicam-se as formas diferenciais e integrais para as equações que explicam o comportamento de uma onda eletromagnética no vácuo. Gradiente: Seja (f) uma função vetorial num campo escalar de três variáveis (x,y,z), o





gradiente de (f) é um vetor denominado grad f ou operador Nabla   f , definida como:

F   j k i y z   x

Rotacional: Considerando F = Fxj+ Fyj+ Fzk um campo vetorial sobre ℝ³, o rotacional é um campo vetorial sobre ℝ³ definido como (  x F ), portanto temos:

i

( x F ) =

j

k

 Fz Fy Fx Fz Fy Fx   = , ,     z z  x x y  z  y Fx Fy Fz  x

 y

Divergente: Considerando F = Fxj+ Fyj+ Fzk um campo vetorial sobre ℝ³, o divergente é um escalar sobre ℝ³ definido como (  F ) ou denominado ( div f ), portanto temos:

(  F ) =

Fx Fy Fz   x y z

Laplaciano: Seja   um campo escalar. O Laplaciano é um escalar, denotado por  ²  , definido como o produto escalar do divergente com o gradiente de representado por (    ). Define-se então:

 ,

satisfatoriamente

  ²  ²  ²       x²  y ²  z ² 

 ²  = 

Teorema de Stokes: Dada uma superfície S contínua e transiente, cuja fronteira é formada por uma curva simples C, fechada, transiente e com orientação positiva. Denominamos F um campo vetorial, cujas componentes apresentam em seu intervalo de domínio suas derivadas parciais contínuas na região aberta de ℝ³ que contém (S). Então enunciamos o postulado de Gauss como:

Teorema da divergência de Gauss: Denomina-se S uma região rígida e sólida e seja P a superfície de fronteira de S, orientada positivamente para fora da região definida. Seja F um campo vetorial cujas funções componentes têm derivadas parciais contínua...