Apostila Calculo-F - Calculo com vetores e escalares, gradiente divergente, rotacional, operador PDF

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Calculo com vetores e escalares, gradiente divergente, rotacional, operador nabla....

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UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS Notas de Aula - CÁLCULO F Prof. Nicolau

Conteúdos Revisão Geral:..................................................................................................................................1 Vetores e escalares:..................................................................................................................... 1 Produto de vetores........................................................................................................................... 3 Produto escalar ou interno:..........................................................................................................3 Produto vetorial:..........................................................................................................................3 Funções vetoriais:............................................................................................................................ 4 Limites, derivadas e integrais:.....................................................................................................5 Campos escalares e vetoriais........................................................................................................... 6 O campo Gradiente.......................................................................................................................... 8 O divergente.....................................................................................................................................9 Interpretação do divergente......................................................................................................... 9 O Rotacional.................................................................................................................................. 11 O operador nabla em coordenadas polares.................................................................................... 12 O gradiente em coordenadas Cilíndricas...................................................................................12 O gradiente em coordenadas esféricas ..................................................................................... 13 Generalizando:.......................................................................................................................... 14 Integrais curvilíneas....................................................................................................................... 15 Em duas dimensões................................................................................................................... 15 Integrais curvilíneas em 3 dimensões........................................................................................17 Independência de caminho........................................................................................................ 19 Curvas fechadas simples........................................................................................................... 20 Teorema de Green..................................................................................................................... 20 Domínios simplesmente e multiplamente conexos................................................................... 22 Integrais de superfície.................................................................................................................... 24 Versor normal à uma superfície................................................................................................ 24 O termo cos( ).......................................................................................................................... 25 Fluxo......................................................................................................................................... 26 Teorema de Gauss (ou da divergência)..........................................................................................27 Teorema de Stokes.........................................................................................................................31

UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS Notas de Aula - CÁLCULO F Prof. Nicolau

Revisão Geral: Vetores e escalares: -> Escalares são grandezas completamente caracterizadas pelo seu módulo (acompanhados da unidade, nos casos físicos) São exemplos de grandezas escalares a massa, área, volume, temperatura, etc... -> Vetores são grandezas que para sua caracterização necessitam ainda da “direção” . São exemplos de vetores a velocidade, a aceleração, a força, o campo elétrico, etc... Um escalar será aqui denotado por uma letra latina em itálico, enquanto que um vetor será denotado por uma letra com uma seta sobre ela, ou por uma letra em negrito. u ou u denotam um vetor. 

Assim u indica um escalar enquanto Representação de um vetor:

Reta orientada

u

 u

1 u 2

O comprimento do segmento de reta indica o módulo e a seta indica a direção e sentido. Representação (projeção) de vetores no plano cartesiano x,y y

uy

u=u =u x iu y j

 u

ux

x 1

onde i e j são versores (vetores unitários) que apontam nas direções x e y respectivamente. Módulo do vetor (no plano xy) :

u=∣u∣=  u 2x u2y

Componentes do vetor: ux = u sen( ); uy = u sen ( ), onde

é o ângulo entre o vetor e o eixo x.

Exemplo 1: Esboçar no plano cartesiano os vetores a=3i+2j b=-4i c=4i-3j

a

e

d = - 1,5 i - 3 j e = -4 i + 3,5 j

d b

Exercício 1: Esboçar no plano cartesiano os vetores a = 2,5 i + 3 j b=4i c = -2 i - 3 j Generalizando em 3 dimensões, u =ux i + uy j + uz k

c

d=6i-4j e

u=  u x2 u2yu z2

Soma de vetores: b a

a

a

b

a+b

ou

a+b b

Se a = ax i + ay j + az k e b = bx i + by j + bz k c = a + b = (ax+ bx)i + (ay + by) j + (az + bz) k Subtração de vetores: -b

a a- b

a

b

-b

a - b = a + (-b) = (ax - bx) i + (ay - by) j + (az - bz) k 2

a

Propriedades da soma (subtração) de vetores: a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c c (a + b) = c a + c b (c + d) a = c a + d a Exercício 2: Usando os mesmos vetores do exercício anterior, calcular e representar no plano cartesiano: a-) a + c b-) 2 a -3 d c-) a + 2 b -c - 2d d-) 1,5 a - 2(b + c)

Produto de vetores Produto escalar ou interno: ab = ax bx + ay by + az bz ou ainda ab = a b cos(a) onde a é o ângulo entre os vetores a e b Exemplo 2: a=3i-2j+4k; b = -i + 3 j + 3 k ab = -3 - 6 + 12 = 3 Propriedades do produto escalar: aa = |a |2 = a2 ab = ba a (b + c) = a b + a c (c a) b = c (a b)

Produto vetorial:

a

b=

∣

∣

i j k ax a y az bx b y bz

= (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by -ay bx) k

Exemplo 3: a=3i+2j-3k b = -2 i - 3 j + k

a

b==

∣

i j k 3 3 −3 −2 −3 1

∣

12 i - 9 j - 3 k

3

Propriedades do produto vetorial: (demonstrar) b a = -(a b) (ma) b = m (a b) a (b + c) = (a b) + (a c) a (b c) = (a c) b - ( a b) c Exercício 3:- Considere os vetores v1 = 3 i + 5 j - 8 k e v2 = 5 i - 3 j + 2 k . Execute as operações indicadas. a-) v1 + v2 b-) v1 - v2 c-) v1  v2 d-) v1 v2 Exercícios 4: Repita as mesmas operações para os vetores v1 = 3 i + 5 j

e

v2 = 3 j + 2 k.

Funções vetoriais: Uma função vetorial é um vetor com componentes nas direções de x, y e z funções ao invés de valores constantes. Definição: Se D é um conjunto de números reais, então r é uma função vetorial com domínio D se existem funções escalares f(t), g(t) e h(t) tais que r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k para todo t em D. Exemplo 4: r(t) = a cos(t) i + a sen(t) j para t terminal de r(t).

0 e a > 0. Traçar a curva C determinada pelo ponto

As equações paramétricas são x = a cos(t) e y = a sen(t). Eliminando os parâmetros nas equações tem-se x2 + y2 = a2 que é a equação da circunferência de raio a. O ponto terminal de r(t) está sempre sobre a circunferência de raio a. Exercício 5: Seja r(t) = (t + 1) i + (t 2 - 4) j + t 2 k , t em ℝ. a-) Esboce r(1) e r(3). b-) Ache os vetores r(t) que estão em planos coordenados. Exemplo 5: Seja r(t) = 2 t i + (8 - 2 t2) j , com -2 t a-) Trace a curva C determinada pelo ponto terminal de r(t), e indique a orientação.

9 8 7 6

r(0) 5

b-) Trace r(t) para t = -2 ; -1 ; 0 ; 3/2 e 2.

4

r(- 1)

3

r(1,5)

Eliminando o parâmetro, x = 2 t y = 8 - 1/2 x2 . Vide resultado no gráfico.

2 1

r(- 2)

r(2)

0 -4

-3

-2

-1

0

1

Exercício 6: Seja r(t) = (t - 1) i + (t2 + 1) j , com -2 t a-) Trace a curva C determinada pelo ponto terminal de r(t), e indique a orientação. 4

2

3

4

b-) Trace r(t) para t = -2 ; -1 ; 0 ; 1 e 2. Exercício 7: a-) Trace a curva C determinada por r(t) = (2·cos t - 2) i - (5 - 5·sen t) j ; 0 b-) indique os vetores r( /2) e r( ).

t

2 e

Limites, derivadas e integrais: Obs.: tudo que é válido para funções escalares é também válido para as funções componentes da função vetorial. Definição: Seja r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k;

[

] [

] [

]

lim r t = lim f t  i lim g t  j lim ht  k ta

ta

ta

t a

Teorema 1: Se r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k e se f(t), g(t) e h(t) são diferenciáveis, então d d d d [ r t ]= f t  i g t  j ht  k dt dt dt dt Definição: Seja Seja r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k com f(t), g(t) e h(t) integráveis em [a,b], a integral definida

[∫ ] [

b

b

∫ r t  dt= a

f t  dt i

a

] [∫ ]

b

b

∫ g t  dt j a

ht  dt k

a

Exemplo 6: Seja r(t) = t2 i + (5 - t3) j + (t + t2) k , calcular: a-) a derivada de r(t) com relação a t. d 2 r t = 2 t i−3 t j  12 t  k dt b-) a integral de r(t) de 0 a 1. 1

3 1

4 1

1

[] [ ] [ ]

∫ r t  dt= t3 0

t i− 5 t− 4 0

0

3

t j t  3 2

4 1 19 j k k = i− 3 4 3 0

Exercício 8: Se r(t) = 12 t3 i + 4 e2t j + (t+1)-1 k, calcular a-) a derivada de r(t) com relação a t ; b-) a integral de r(t) de 1 a 3. 2 2 Exercício 9: Dada a função vetorial F =t−t  i2−t  j a-) diagramar o curva determinada pela extremidade do vetor com 0 t 2; b-) indicar os vetores F(t) para t = 1 e t = 1,5; c-) calcular a derivada de F(t) em função de t e determine o valor da derivada para t = 1.

Exercício 10: Se a posição de uma dada partícula no espaço é dada pelo vetor posição 5

r(t) = ln(t+1) i + sen(2 t) j + (t2-2) k para t > 0, calcular a-) a velocidade vetorial desta partícula em função do tempo; b-) a velocidade escalar desta partícula em função do tempo. 2 Exercício 11: Dada a função vetorial F =2 t −t  i2−t  j a-) diagramar o curva determinada pela extremidade da função vetorial com 0  t  2; b-) calcular a derivada de F(t) em função de t e determine o valor da derivada para t = 1.

Campos escalares e vetoriais. Definição: Se a cada ponto k de uma dada região está associado exatamente um escalar, então a coleção de todos esses escalares constitui um campo escalar. Definição: Se a cada ponto k de uma dada região está associado exatamente um vetor, então a coleção de todos esses vetores constitui um campo vetorial. Exemplo 7: Considere o interior de um rio como a região de espaço estudada. A cada ponto dentro do rio corresponde uma temperatura e esta temperatura pode ser diferente para cada ponto (x, y, z); então T(x, y, z) é um campo escalar (uma vez que temperatura é uma grandeza escalar). Considere agora que a cada ponto dentro do rio corresponde uma velocidade e que esta velocidade pode ser diferente para cada ponto (x, y, z); então V(x, y, z) é um campo vetorial (uma vez que velocidade é uma grandeza vetorial). Convenção: Dado um campo vetorial em um sistema coordenado (x, y, z), denotamos por F(x, y, z) o vetor associado ao ponto (x, y, z). Como os componentes de F dependem das coordenadas x, y e z do ponto K, escreveremos F(x, y, z) = M(x, y, z) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k onde M, N e P são funções escalares dependentes das coordenadas. Exemplo 8: Descreva o campo vetorial F(x, y) = - y i + x j .

Demonstrar que neste caso qualquer que seja (x, y) , F é perpendicular ao vetor posição r = x i + y j no plano e que |F| = |r| . Este vetor pode ser utilizado para descrever movimentos circulares. 6

Exemplo de campo vetorial, Campo de ventos, imagem gerada pelo INPE baseado em informações obtidas pelo satélite GOES. Exercício 12: Demonstrar que para qualquer trajetória em que |r| = constante, a velocidade vetorial v(x, y, z) (derivada de r com relação a t) é perpendicular a r. Definição: Seja r(x, y, z) = x i + y j + z k o vetor posição, define-se o versor Exercício 13: Descreva o campo quadrado inverso F =c

u=

r . ∣r∣

u ∣r∣2

Exercício 14: Dados os campos f = x + y , F = (x2y+z) i + xyz j e G = (x+y) j + (x -y) k, calcular: a-) FG b-) F G c-) f F d-) f + FG e-) f (G F) Exercício 15: Dados os campos f = xyz , F = x2 i + y2 j+z2 k e G = y i + z j + x k, calcular: a-) FG b-) F G c-) f F d-) f + FG e-) f (G F)

7

O campo Gradiente. O operador vetorial Nabla é definido no espaço coordenado (x, y, z) como d d d j k , ∇= i dx dy dz ao ser aplicado a um campo escalar f(x, y, z), temos o gradiente de f, ou ∇ f  x , y , z =

df  x , y , z  df  x , y , z  df  x , y , z i j k . dx dy dz

Exemplo 9: Dado o campo escalar f(x, y, z) = x2 - 4xy + z2, calcular o gradiente de f(x, y, z). Aplicando a definição, ∇ f =2 x− 4 y i − 4 x j2 z k . Exercício 16: Determinar o gradiente dos campos escalares abaixo. a-) f(x, y, z) = C/r ; onde r = |r|. b-) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2 )1/2 + (xyz)2 c-) g(x, y, z) = cos(xy + xz + yz) d-) h(x, y, z) = exp(-r2) (O apelido desta curva é “Gaussiana”). Teorema 2: O máximo da derivada direcional de f(x, y, z) no ponto (x, y, z), é | f(x, y, z)| . Demonstração: Considere ponto (x, y, z) e o vetor f(x, y, z) como fixos, mas arbitrários, e o vetor unitário v como variável. Da definição da derivada direcional, tem-se que df =∇ f  x , y , z ⋅v=∣∇ f  x , y , z∣∣v∣cos  dv onde é o ângulo entre f(x, y, z) e o versor v. Daí se observa que a derivada direcional é máxima quando = 0, ou seja, na direção de f(x, y, z). Corolário 1: O máximo da taxa de crescimento de f(x, y, z) ocorre na direção de f(x, y, z). Corolário 2: f(x, y, z) é ortogonal à superfície em que f(x, y, z) é constante. Definição : Se um campo vetorial F é gerado a partir do gradiente de um campo escalar f, isto é, F = f, dizemos que: a-) F é um campo conservativo e b-) f é o potencial de F. Exercício 17: Dados os campo vetoriais conservativos abaixo, calcular os respectivos potenciais: a-) F = 2 x sen(y) i + [x2 cos(y) -z sen(yz)] j - y sen(yz) k b-) F = (yz + 1) i + (xz + 1) j + (xy + 1 ) k c-) F = 2x i + 2y j + (1 - z) exp(-z) k Exercício 18: Determinar os campos vetoriais conservativos que têm como potenciais os campos escalares abaixo: a-) f = (xyz)1/2 b-) f = (x2 + y2 + z2)-1/2 c-) f = sen(x) cos(y) exp(-z) 8

O divergente Ao aplicarmos como produto escalar a um campo vetorial F = M i + N j + P k , temos o divergente de F(x, y, z), ou   x , y , z= dM  dN  dP . ∇⋅F dx dy dz

Interpretação do divergente. Definição: O fluxo de um dado campo vetorial F através de uma superfície S é = F nS onde n é o versor normal à superfície S. Nota 1: se S é uma superfície fechada, n sempre aponta para fora da superfície, por convenção. Nota 2: se S é uma superfície fechada fornece o fluxo total pela superfície, isto é, o que sai menos o que entra na região delimitada pela superfície.

k F j dz

i dx dy

Observe a figura acima. Nela está representado um volume elementar cúbico de lados dx, dy e dz numa região do espaço onde há um campo vetorial F. Se quisermos determinar o fluxo de F através do cubo por unidade de volume, ou seja, o fluxo que sai menos o que entra no volume cúbico, devemos tomar a projeção de F na direção da normal de cada face do cubo, multiplicar pela área da face e somar todas as contribuições, ou seja, = F  xdx , y , z ⋅i dy dzF  x , y , z ⋅−i  dy dz  F  x , ydy , z ⋅j dx dzF  x , y , z⋅− j  dx dz  F  x , y , zdz ⋅k dx dyF  x , y , z ⋅−k  dx dy Como, por convenção, escrevemos F(x, y, z) = M(x, y, z) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k, podemos escrever a taxa de variação de F como =[ M  xdx , y , z − M  x , y , z ] dy dz  [ N  x , ydy , z − N  x , y , z ] dx dz  [ P  x , y , zdz −P  x , y , z ] dx dy Se tomarmos o fluxo por unidade de volume teremos

9

 V

[ M  xdx , y , z− M  x , y , z ] dy dz dx dy dz [ N  x , ydy , z − N  x , y , z ] dx dz dx dy dz [ P  x , y , zdz − P  x , y , z ] dx dy dx dy dz =

Tomando agora os limites de dx, dy e dz tendendo a zero, temos, d  ∂M ∂N ∂P =   dV ∂x ∂y ∂z que é o divergente de F. Logo, podemos interpretar o divergente de um campo vetorial F em um dado ponto no espaço como o limite do fluxo deste campo por unidade de volume, com o volume tendendo a zero. Esta interpretação ficará mais clara após a discussão do Teorema da Divergência, adiante. O divergente está associado com fontes e sorvedouros de campo. Se em um dado ponto (x, y, z) do espaço ·F=0, a quantidade de campo que “entra” em um volume elementar centrado neste ponto é igual a quantidade de campo que sai. Se ·F > 0, a quantidade de campo que sai é maior que a quantidade de campo que entra, ou seja, há uma “fonte de campo” no interior do volume elementar; se ·F < 0, a quantidade de campo que entra é maior a que sai, ou, há um “sorvedouro de campo” no interior do volume. Exercício 19: Calcular o divergente dos campos vetoriais abaixo: a-) F = 2 x sen(y) i + [x2 cos(y) -z sen(yz)] j - y sen(yz) k b-) F = (yz + 1) i + (xz + 1) j + (xy + 1 ) k c-) F = 2x i + 2y j + 2z k d-) F = x2 i - 2 xy j + (x2 + y2) k Exercício 20: Dado f(x, y, z) = 1 - (xyz)2 , calcular

10

f).

O Rotacional Ao aplicarmos  como produto vetorial a um campo vetorial, temos o rotacional de F (x, y, z), ou  F que, exatamente como no caso do produto vetorial, pode ser escrito como

∣ ∣

i d ∇× F  x , y , z = dx M

j d dy N

k d = dz P

  

  

∂P ∂N − i ∂ y ∂z ∂M ∂P j − ∂z ∂x ∂N ∂M k − ∂x ∂y

.

Vamos imaginar a situação diagramada na figura abaixo. Uma peça quadrada de dimensões elementares dx = dy sofre uma distribuição de força como a indicada, isto é, na direção de i há uma ∂M distribuição de forças que diminue quando se desloca na direção de y (ou seja, ∂ y 0 ) e na direção de j há uma distribuição de forças que aumenta quando se desloca na direção de x (ou seja, ∂N ∂ x 0 ). Intuitivamente pode-se perceber que a peça quadrada tem uma tendência a sofrer uma rotação no sentido anti-horário. O sentido de rotação é indicado pela regra da mão direita; neste caso, a direção k indica uma rotação no sentido anti horário. Nas direções i e j ocorre algo semelhante.

O rotacional indica, então, uma tendência de rotação, de vórtice, de circuitação. Qualquer rotação pode ser descrita por rotações em torno dos eixos i, j e k. Exercício 21: Dado F = x2y i + y(1+z2) j + 3 xy2z k , calcular  F e...