Equações Lineares PDF

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Equações Lineares...

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Equações Lineares Uma equação linear é Uma equação da forma : a1 x1  a2 x2  ...  a n x n b

a a a3,...,an

Onde 1, 2, determinados.

são números reais e

(equação1)

x1, x2, x3,...,xn

são valores a serem

x1, x2, x3,...,xn são chamados incógnitas para i = 1, 2, 3, ..., n. Os números a1, a2, a3,...,an são chamados de coeficientes da equação.

Os elementos

A solução da equação 1 é uma n-lista de números reais ( que

c1, c2, c3,...,cn), de tal forma

[a1. c1 + a2. c2 + a3 . c3 + ,...,+ an . cn = b]

Exemplo. 4 x 1  7 x 2  7 x 3  3 x 4 0 onde a1  4 a 2  7 a 3 5 x1 , x 2 , x 3

a 4 3 e x4

são variáveis a serem determinadas. As variáveis podem ser representadas por exemplo x,y,z,t,...

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Sistemas de Equações Lineares É simplesmente uma coleção consistindo de várias equações lineares. Exemplo.

Sistema 1

 x1  x 2  x3 3  - x 3 1  x1  x  2 x 2 2 3 

A solução de um sistema linear é uma n-lista do tipo  x1 , x2 , x3  ou seja [ 3, - 2, 2 ] é uma solução do sistema 1, pois satisfaz cada uma das equações do sistema.

Classificação Um sistema de equações lineares pode ser:  Possível e determinado  solução única  Possível e indeterminado  infinitas soluções  Impossível  Não tem solução.

Operações Elementares Existem operações com as equações de um sistema que não alteram o sistema proposto. São as operações elementares. São sistemas de equações equivalentes pois admitem a mesma solução. 1) Permutação de duas equações. Exemplo. x  2 y 4   x  y  10

2) Multiplicação de uma equação por um número não nulo.

3

Exemplo. x  y 6   x  y 9

3) Substituição de uma equação pela soma e o produto de outra por um número não nulo. Exemplo. x  y 5  x  y 3

Para a solução de um sistema linear vários métodos podem ser utilizados, tais como o método da substituição, método da soma, método de Gauss, Regra de Cramer, etc... Para sistemas menores iremos trabalhar como método de Gauss e para sistemas maiores iremos adotar o método de Cramer.

Método de Gauss Seja o sistema:

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 x  y  z 2   x  y  2 z  z  2 x  y  z 12 

Exercícios. Resolver os sistemas abaixo pelo método de Gauss.

5  x - y z  4  a )  x  y - z -2  - x  2y  z  2   x - y  z 4  c )  x  y - z 2  x  2 y  z 2 

 x 3y - z -2  b)  - x - y  2z 4 3x  4y - 2z -4   x  y  z  t 2   x - y - 2z - 3t 5 d)  2x  y - 3z  t -9   3x - y - z  t  -6

 a  4b 3c 1  e )  a - 3b - 2c 5  2a  5b  4c 4 

Respostas esperadas. a) ( 1, 0 ,3) b) (0, 0, 2)

c) (3, 4/3 , 7/3)

d) (1, 2, 3, -4)

e) (3, -2, 2)...