Aplicações de Sistemas Lineares PDF

Preview

Summary

First and second semester course plan. Didactic content and exercises....

Description

Aplicações de sistemas lineares

1) Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carregam cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela tabela abaixo: Tipo de recipiente I II III A 4 3 3 B 5 2 3 C 2 2 3 Quais são os números de recipientes de cada categoria A, B e C se a deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e33 do tipo III? Resolução:

companhia

número de recipientes de A é x, de B é y, de C é z 4x+5y+2z =42

Resposta: 3 recipientes do tipo I, 4 do tipo II e 5 do tipo III

3x+2y+2Z = 27 2x+3y+3z = 33

2) A matriz A abaixo apresenta o número de porções de arroz, carne e salada usadas na composição dos pratos P 1 , P 2 e P 3 no restaurante Coma Bem. A matriz B fornece o custo da produção, em reais, dos pratos P 1 , P 2 e P 3 . Apresente a matriz X que fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usadas para a composição de cada prato.

A=

Arroz

carne

salada

1

2

1

1 2

1

2

2

0

custo 9 B= 8 10

x X=

y z

Resolução: porção de arroz é x, de carne é y , de salada é z x+2y+z = 9 x+y+2z = 8 2x+2y =10

Resposta :

2,50 X=

2,50 1,50

3) (Exercício 22 – p.8 KOLMAN) Uma fábrica produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Cada tonelada de plástico normal necessita de 2 horas na máquina A e de 5 horas na máquina B; cada tonelada de plástico especial necessita de 2 horas na máquina A e de 3 horas na máquina B. Se a máquina A está disponível 8 horas por dia e

a B, 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente para que as máquinas sejam plenamente utilizadas? Resolução: plástico normal é x, plástico especial é y 2x+2y = 8

Reposta: 1,5 t de plástico normal

5x+3y = 15

2,5 t de plástico especial

4) (FUVEST 2003) Um caminhão transporta maçãs, pêras e laranjas num total de 10000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, pêras e laranjas tem respectivamente 50 maçãs, 60 pêras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20 reais, 40 reais e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa R$ 3300,00, calcule quantas maçãs, pêras e laranjas estão sendo transportadas. Resolução: Indicando por x, y e z, nessa ordem, as quantidades de caixas de maçãs, de pêras e de laranjas obtém-se o sistema linear:

 20x  40y  10z  3300   50x  60y  100z  10000 Resposta: 2000maçãs, 3000 peras, 5000 laranjas  x  y  z  140  5) Um químico deseja preparar 60 litros de uma mistura que contém 40% de ácido, usando ácido em três concentrações: a primeira concentração tem 15%; a segunda tem 35% e a terceira tem 55%. Com esta quantidade de solução ácida ao seu dispor, o químico deseja que a quantidade de litros de solução de 35% seja o dobro de solução de 55%. Quantos litros de cada solução deverão ser utilizados? Resolução : Indicar por x, y, z , nessa ordem, as quantidades da solução de 15% ( 0,15), de 35% ( 0,35),e de 55% ( 0,55).

40% de 60 = 0,4 x 60 = 24

0,15 x  0,35 y  0,55z  24   y  2z  0  x  y  z  60  Resposta: 3,75 litros da solução de 15%; 37,5 litros da solução de 35% e 18,75 litros da solução de 55%. 6) Paulo recebeu uma herança de 25000 dólares e investiu parte desta herança em poupança, parte em títulos públicos e parte em fundos mútuos. Após um ano, recebeu um total de 1620 dólares de juros pelas três aplicações. A poupança pagou 6% ao ano, os títulos públicos pagaram 7% ao ano e os fundos mútuos pagaram 8% ao ano. Ele

investiu 6000 dólares a mais em títulos públicos do que em fundos mútuos. Determine quanto Paulo investiu em cada aplicação. Resolução: Indicar por x, y e z, nessa ordem, o dinheiro investido na poupança, o dinheiro investido em títulos públicos e o dinheiro investido em fundos mútuos.

0,06 x  0,07 y  0,08z  1620  Modelo matemático:  y  z  6000 x  y  z  25000  Resposta do problema: Paulo investiu 15 000 dólares em poupança, 8000 dólares em títulos públicos e 2000 dólares em fundos mútuos.

7) Sejam X, Y e Z três artigos distintos que são vendidos em certa loja. Sabe-se que X custa tanto quanto Y e Z juntos; o preço de Y é a diferença entre o dobro do de X e 50 reais; o preço de Z é a diferença entre o triplo do de Y e 80 reais. Nessas condições, pela compra dos três artigos, sendo um único exemplar de cada tipo, deverão ser desembolsados: a) R$ 160,00 b) R$ 150,00 c) R$ 120,00 d) R$ 80,00 Resolução: Indicar o preço de X por x, o de Y por y , o de Z por z x=y+z Resposta: x = 40, y = 30, z = 10 y = 2x – 50 x + y + z = 80 z = 3y – 80 alternativa : d

8) Três amigos X, Y e Z utilizam o computador todas as noites. Em relação ao tempo em horas em que cada um usa o computador, por noite, sabe-se que: o tempo de X mais o tempo de Z excede o de Y em 2 o tempo de X mais o quádruplo do tempo de Z é igual a 3 mais o dobro do tempo de Y o tempo de X mais 9 vezes o tempo de Z excede em 10 o tempo de Y A soma do número de horas de utilização do computador, pelos três amigos, em cada noite, é igual a : a) 4h b) 7h c) 5h d) 6h Resolução: Tempos : de X é x, de Y é y, de Z é z x+z=y+2

Resposta: x = 3, y = 2, z = 1

x + 4z = 3 + 2y

x + y + z = 6 horas

x + 9z = 10 + y

alternativa : d...