Lista 2 - Sistemas lineares PDF

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Geometria Analítica- Prof Grasiele...

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Lista 2 - Geometria Anal´ıtica Profa . Cl´audia Mesquita



1 0 −1 0 −1 2

     x 1 0 , I = , X = e 0 1 y

1. (ITA-SP) Considere as matrizes A =   1 B = . Se X t = (x, y) ´e solu¸ca˜o do sistema (AAt − 3I)X = B, ent˜ao quanto vale 2 x + y? 2. Quantas solu¸co˜es um sistema linear homogˆeneo pode ter? Justifique sua resposta.     0 1 x y que comutam com: (a) 3. Encontre todas as matrizes 1 1 z w   1 1 (b) 0 1 4. Determinar os valores de k para que os sistemas abaixo sejam poss´ıveis determinados, poss´ıveis indeterminados e imposs´ıveis.    x + 2y − 2z − t = 1     kx + y + z − 1 = 0  x − 2y − kz = 2 2x − 2y − 2z − 3t = −1 x + ky + z − 1 = 0 −kx + 3y − 2z = 4 (c) (b) (a) x − 2y − z − 5t = 9     x + y + kz − 1 = 0 −y − z = 2k  3x − y + z − kt = 0    x+y−z = 1  −x + 2y + kz = 1 (e) (d) 2x + 3y + kz = 3 kx + 4y − 4z = 2   x + ky + 3z = 2 2x + y + z = −2k 5. Resolva os sistemas nas vari´aveis x, y, z .  3x − 7y = a    x y z  2 .2 .2 = 8 x+y = b (a) (b) 5x + 3y = 5a + 2b  3x .3z = 39 .9y   x + 2y = a + b − 1

  2x + 4y − 6z = a (c) x − y + 4z = b  6y − 14z = c

6. Determine os valores de θ que tornam as matrizes abaixo invers´ıveis.   sen(θ) cos(θ) 0 1  sen(θ) cos(θ) 0 0   (a) A =   sen(θ) 1 0 0  0 0 1 0   0 1 0 0 1 0 0 0   (b) A =   0 0 2−θ 1  0 0 0 3−θ   1 2 3 7. Considere a matriz A =  2 3 1 . Use escalonamento para calcular a inversa de A. 3 2 1 1

3 ´e uma matriz de ordem 3 com 8. Considere o sistema linear AX = B onde A = (aij )i,j=1 det(A) 6= 0 e a11 = 1. 3 (a) Encontre uma matriz U1 de ordem 3 tal que U1 A seja uma matriz B com B = (bij )i,j=1 satisfazendo bi1 = 0 para todo i 6= 1.

(b) Encontre uma matriz U2 de ordem 3 tal que U2 [(U1 )A] = U2 B seja uma matriz triangular superior.   a 0 b 2 9. Seja M =  a a 4 4  a matriz aumentada de um sistema linear. Para quais valores 0 a 2 b de a e b o sistema admite: (a) Solu¸ca˜o u ´nica (b) Solu¸ca˜o com uma vari´avel livre (c) Solu¸ca˜o com duas vari´aveis livres (d) Nenhuma solu¸ca˜o 10. Considere o sistema AX = B, com A uma matriz m×n e B uma matriz m×1. Chamamos de sistema homogˆeneo associado a este, ao sistema AX = O, isto ´e, ao sistema obtido substituindo B pela matriz nula de ordem m × 1. Mostre que se Y1 e Y2 s˜ao solu¸co˜es do sistema homogˆeneo AX = O, ent˜ ao Y = aY1 + bY2 ser´a tamb´em solu¸ca˜o do sistema homogˆeneo, qualquer que sejam as constantes a e e b

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