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1 de 16 Universidade Federal de Sergipe Núcleo de Engenharia Mecânica Disciplina: Mecânica dos Materiais 2019-2 Prof. André Luiz Costa

Lista de Exercícios para Prova 2 Torção 1. Para a barra mostrada na figura, determine o torque T que causa uma tensão de cisalhamento máxima de 70 MPa. Resposta: 641 N.m

4. Determine o torque que deve ser aplicado em (a) um eixo sólido de 90 mm de diâmetro com tensão admissível de 75 MPa e b) um eixo tubular de mesma massa do anterior e com 90 mm de diâmetro interno. Resposta: a) 10,74 kN.m, b) 22,8 kN.m 5. As rodas A e B são conectadas pelos eixos sólidos AB e BC, e sofrem os torques de 300 N.m e 400 N.m, respectivamente. Determine a tensão de cisalhamento máxima em cada eixo. Resposta: 56,6 MPa e 36,6 MPa

2. Para a mesma barra da questão 1, determine a tensão de cisalhamento se o torque aplicado for de 800 N.m. Resposta: 87,3 MPa 3. Para o carregamento mostrado na figura, a) determine a máxima tensão de cisalhamento, b) determine o diâmetro de uma barra sólida que sofreria a mesma tensão de cisalhamento do tubo. Resposta: a) 70,5 MPa, b) 55,8 mm

6. A fim de reduzir a massa total do conjunto da questão anterior, determine o menor diâmetro do eixo BC para o qual a atual maior tensão de cisalhamento no conjunto não seja aumentada. Resposta: 39,8 mm 7. Um eixo é feito de uma liga de aço com tensão de cisalhamento admissível adm = 84 MPa. Se o diâmetro do eixo for 37,5 mm, a) determine o torque máximo T que pode ser transmitido. b) Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 25 mm de diâmetro no eixo? Faça um

2 de 16 rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso. Resposta: a) T = 870 N.m, b) T’ = 698 N.m

8. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Resposta: 75,45 MPa

9. O eixo maciço de 32 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Se o eixo estiver apoiado em mancais lisos em A e B, que não existem a torque, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no eixo nos pontos C e D. Indique a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. Resposta: C = 28,75 MPa, D = - 11,66 MPa

10. O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado interligadas por uma redução em B. O tubo menor tem diâmetro externo de 18,75 mm e diâmetro interno de 17 mm, enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 25 mm e diâmetro interno de 21,5 mm. Se o tubo estiver firmemente preso à parede em C, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada tubo quando são aplicadas as forças mostradas na figura. Resposta: AB = 62,55 MPa, BC = 18,89 MPa

11. A barra sólida AB tem diâmetro de 60 mm e é feita de aço com tensão de cisalhamento admissível de 85 MPa. O tubo CD tem diâmetro externo de 90 mm e espessura de 6 mm, e é feito de alumínio com tensão de cisalhamento admissível de 54 MPa. Determine o maior torque T que pode ser aplicado em A. Resposta: 3,37 kN.m

3 de 16 12. A barra sólida BC tem diâmetro de 30 mm e é feita de alumínio com adm = 25 MPa. A barra AB é tubular com diâmetro externo de 25 mm, e é feita de latão com adm = 50 MPa. Determine o maior diâmetro interno da barra AB para se ter o mesmo coeficiente de segurança em cada barra. Dica: maior diâmetro, menor coef.seg. Resposta: 15,18 mm

16. O eixo de transmissão AB do veículo deve ser um tubo de parede fina com adm = 50 MPa. O motor transmite 125 kW quando o eixo gira a 1500 rpm. Determine a espessura mínima do tubo para um diâmetro externo de 62,5 mm. Resposta: 3,0 mm. 13. Um torque T = 1000 N.m é aplicado como mostrado. Sabendo que o diâmetro do eixo AB é 56 mm e o diâmetro do eixo CD é 42 mm, determine a máxima tensão de cisalhamento em cada eixo. Resposta: AB = 72,5 MPa, CD = 68,7 MPa 17. O motor pode desenvolver 100 W quando gira a 80 rpm. Se a tensão de cisalhamento admissível para o eixo for adm = 28 MPa, determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o menor diâmetro do eixo que pode ser usado. Resposta: 15 mm 14. Um torque T = 1000 N.m é aplicado como na questão anterior. Sabendo que a tensão admissível em cada eixo é de 60 MPa, determine os diâmetros no eixo AB e no eixo CD. Resposta: dAB = 59,6 mm, dCD = 43,9 mm 15. O tubo de cobre tem diâmetro externo de 62,5 mm e diâmetro interno de 57,5 mm. Se estiver preso à parede em C e for subetido a um torque uniformemente distribuído de 625 N.m/m como mostra a figura, determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B na superfície externa do tubo. Resposta: A = 13,79 MPa, B = 24,14 MPa

4 de 16 18. O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25 mm e está apoiado nos mancais lisos em D e E. O eixo está acoplado a um motor em C que transmite 3 kW de potência ao eixo quando está girando a 50 rps. Se as engrenagens A e B consomem 1kW e 2kW, respectivamente, determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões AB e BC do eixo. Resposta: AB = 1,04 MPa, BC = 3,11 MPa

21. A barra sólida de latão AB (G = 39 GPa) está colada a barra sólida de alumínio BC (G = 27 GPa). Detemine o ângulo de torção em B e em A. O torque na extremidade é de 180 N.m Resposta: B = 0,741o, A = 1,573o

19. O motor transmite 40 kW quando está girando a 1350 rpm em A. Esse carregamento é transmitido ao eixo de aço BC do ventilador pelo sistema de correia a polia mostrado na figura. Determine o menor diâmetro desse eixo se a tensão de cisalhamento admissível for 84 MPa. Resposta: 32,5 mm

22. Os torques mostrados são exercidos nas rodas A e B. Sabendo que os eixos são sólidos e feitos de aço (G = 77 GPa), determine o ângulo de torção entre a) A e B, b) A e C. Respostas: AB = 2,53o, AC = 3,42o

20. Determine o ângulo de torção máximo para o eixo de aço (G = 77 GPa) mostrado na figura. a) se o eixo for sólido, b) se o eixo é um tubo com 20 mm de diâmetro interno. Resposta: a) 4,21o, b) 5,25o

5 de 16 23. Determine o maior diâmetro de uma barra de aço (G = 77 GPa) com 3 m de comprimento, se esta barra deve ser torcida em 30o sem exceder uma tensão de cisalhamento de 80 MPa. Resposta: 11,91 mm 24. O eixo maciço de aço A36 (G = 75 GPa) de 20 mm de diâmetro é submetido aos torques mostrados. Determine o ângulo de torção da extremidade B. Resposta: 5,739o

25. As especificações de projeto de um eixo de transmissão circular com 2 m de comprimento requer que o ângulo de torção não exceda 3o quando um torque de 9 kN.m for aplicado. Determine o diâmetro do eixo sabendo que o eixo é feito de a) aço (G = 77 GPa, adm = 90 MPa), b) bronze (G = 42 GPa, adm = 35 MPa). Dica: tem que calcular o diâmetro para as duas restrições: tensão e ângulo, Resposta: a) 82,1 mm, b) 109,4 mm

26. Dois eixos sólidos de aço (G = 77 GPa) são conectados por engrenagens como mostrado. Sabendo que o raio da engrenagem B é 20 mm, determine o ângulo de torção na extremidade A quando TA = 75 N.m. Dica: A = AB + B Resposta: 7,94o

27. O parafuso de aço (G = 75 GPa) com 8 mm de diâmetro está parafusado firmemente em A. Determine as forças conjugadas F que devem ser aplicadas à chave de torque de modo que a tensão de cisalhamento máxima no parafuso seja de 18 MPa. Calcule também o deslocamento s correspondente de cada força F necessário para causar essa tensão. Considere que a chave é rígida. Resposta: F = 6,03 N, s = 0,72 mm

28. A turbina desenvolve 150 kW de potência, que é transmitida às engrenagens de tal modo que C recebe 70% e D recebe 30%. Se a rotação do eixo de aço (G = 75 GPa) de 100 mm de diâmetro for de 800 rpm, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo e o ângulo de torção na extremidade livre E. Resposta: 9,12 MPa, 0,5852o

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29. O motor transmite 32 kW de potência ao eixo de aço inox (G = 75 GPa) quando gira a 20 Hz. O eixo é apoiado nos mancais A e B que permitem livre rotação do eixo. As engrenagens C e D absorvem 20 kW e 12 kW, respectivamente. Determine o diâmetro do eixo se a tensão admissível for de 56 MPa e o ângulo de torção admissível na porção CD for de 0,20o. Dica: calcule o diâmetro para as duas restrições. Resposta: 29,4 mm

31. Um torque de 4 kN.m é aplicado na extremidade A do eixo como mostrado. Sabendose que Gaço = 77 GPa e Galm = 27 GPa, determine (a) a máxima tensão de cisalhamento na barra de aço, (b) a máxima tensão de cisalhamento na camisa de alumínio, (c) o ângulo de torção em A. Resposta: (a) 73,6 MPa, (b) 34,4 MPa, (c) 5,07o

32. O eixo de aço (G = 75 GPa) tem diâmetro de 50 mm e está preso na extremidades A e B. Se for submetido ao torque indicado, determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões AC e CB do eixo. Resposta: AC = 8,15 MPa, BC = 4,07 MPa 30. O eixo maciço de 60 mm de diâmetro é feito de aço A-36 (G = 75 GPa) e está sujeito aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados mostrados na figura. Determine o ângulo de torção na extremidade livre A do eixo devido a esses carregamentos. Resposta: A = 0,432o

7 de 16 33. O tubo de bronze (G = 38 GPa) tem diâmetro externo de 37,5 mm e espessura de 0,3 mm. A conexão C está sendo apertada com uma chave de torque. Se o torque desenvolvido em A for 16 N.m, determine o valor F das forças conjugadas. O tubo está engastado na extremidade B. Resposta: 120 N

34. Para a mesma figura do exercício 33, considere agora o tubo com 37,5 mm de diâmetro externo e espessura de 3 mm. Se for a força F for de 100 N, qual a tensão de cisalhamento máxima no tubo? Resposta: max = 3,21 MPa

36. Dois eixos de aço com flanges são conectados por parafusos de maneira que não há movimento relativo na junção. Determine a máxima tensão de cisalhamento em cada eixo quando um torque T = 500 N.m é aplicado em B. (use Gaço = 77 GPa). Resposta: AB = 39,6 MPa, BC = 31,7 MPa

37. Os eixos de aço são fixos na parte inferior e um torque T = 50 N.m é aplicado na extremidade A do eixo AB. Determine (a) a tensão máxima de cisalhamento no eixo CD, (b) o ângulo de torção na extremidade A. Use Gaço = 77 GPa. Resposta: (a) 47,1 MPa, (b) 0,779o

35. O eixo é feito de aço tem diâmetro de 40 mm e está preso em suas extremidades A e B. Se for submetido ao conjugado de forças da figura, determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões AC e CB. Resposta: AC = 9,55 MPa, BC = 6,37 MPa

Dica:

8 de 16 40. Considere o mesmo sistema do exercício anterior. Se dAB = 16,0 mm, dCD = 20 mm, dEF = 28 mm, fmotor = 24Hz e adm = 75 MPa, determine a máxima potência transmitida. Resposta: 7,11 kW.

38. Um tubo de aço com 60 mm de diâmetro externo deve ser usado para transmitir um torque de 350 N.m sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 12 MPa. Uma série de tubos no estoque tem espessuras de 2, 4, 6, 8 e 10 mm. Qual o tubo que deve ser usado? Resposta: aquele com espessura de 8 mm.

39. Três eixos e quatro engrenagens formam um trem de engrenagens para transmitir 7,5 kW de um motor no ponto A para uma máquina no ponto F. Sabendo que o motor gira a 30 Hz e que a tensão de cisalhamento admissível em cada eixo é 60 MPa, determine o diâmetro de cada eixo. Resposta: dAB = 15,0 mm, dCD = 20,4 mm, dEF = 27,6 mm.

41. Um eixo de aço deve transmitir 150 kW a 360 rpm. Dimensione um eixo sólido de 2,5 m de comprimento de maneira que a tensão máxima seja 50 MPa e o ângulo máximo de torção seja de 3o. Use G = 77 GPa. Dica: calcule o diâmetro para cada caso e use o maior. Resposta: d = 74 mm.

42. Um eixo tubular de 1,6 m de comprimento e diâmetro externo de 42 mm é feito de aço com Tadm = 75 MPa e G = 77 GPa. Sabendo que o maior ângulo de torção admissível é de 4o para um torque de 900 N.m, determine o diâmetro interno do eixo. Resposta: dint = 24,9 mm

Para os problemas seguintes use o gráfico:

9 de 16 43. A tensão de cisalhamento admissível para o aço do eixo mostrado é adm = 8 MPa. Se os elementos forem interligados por um filete de solda de raio r = 4 mm, determine o torque máximo T que pode ser aplicado. Resposta: T = 20,11 N.m

44. O eixo escalonado gira a 450 rpm. Sabendo que r = 4 mm, determine a máxima potência transmitida para tmax = 45 MPa. Resposta: 268 kW

45. O eixo está preso na parede em A e é submetido aos torques mostrados na figura. Determine a tensão de cisalhamento máxima em cada seção do eixo. Na mudança de diâmetro o raio de concordância é r = 4,5 mm. Resposta: CD = 47,16 MPa, DB = 12,3 MPa, BE = 1,18 MPa, EA = 17,68 MPa

46. Um torque de 25 N.m é aplicado ao eixo escalonado da figura. O raio do filete foi feito de acordo com a equação: r = ½ (D-d). Se D = 24 mm, determine a tensão máxima de cisalhamento no eixo quando (a) d = 20 mm e (b) r = 1,2 mm Resposta: (a) 21,6 MPa, (b) 17,9 MPa.

Flexão Pura 47. Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno M = 2 kN.m. Determine a tensão máxima no elemento se o momento for aplicado (a) em torno do eixo z e (b) em torno do eixo y. Resposta: a) 13,89 MPa, b) 27,78 MPa

10 de 16 48. A haste de aço com diâmetro de 20 mm está sujeita a um momento interno M = 300 N.m como mostrado. Determine a tensão criada nos pontos A e B. Resposta: A = 382 MPa, B = 270 MPa

51. O momento indicado na figura atua no plano vertical. Determine as tensões nos pontos A e B. Resposta: A = - 116,4 MPa, B = -87,3 MPa

49. A viga tem a seção transversal mostrada na figura. Se for feita de aço com tensão admissível adm = 170 MPa, determine o maior momento interno ao qual ela pode resistir se o momento for aplicado (a) em torno do eixo z e (b) em torno do eixo y. Resposta: a) Mz = 14,15 kN, b) My = 4,08 kN.m 52. A área da seção transversal da escora de alumínio tem forma de cruz. Se ela for submetida ao momento M = 8 kN.m, determine a tensão de flexão que age nos pontos A e B e mostre os resultados em elementos de volume localizados nesses pontos. Resposta: A = 49,4 MPa, B = 4,5 MPa

50. Foram apresentadas duas alternativas para o projeto de uma viga. Determine qual delas suportará um momento de M = 150 kN.m com a menor quantidade de tensão de flexão. Resposta: alternativa b com max = 74,72 MPa.

11 de 16 53. Sabendo que para a viga mostrada a maior tensão admissível em tração é 120 MPa e a maior tensão admissível em compressão é 150 MPa, determine o maior momento fletor que pode ser aplicado. Resposta: 7,67 kN.m

55. Sabendo que M = 250 N.m, determine a máxima tensão na viga mostrada quando o raio do adoçamento r é (a) 4 mm, (b) 8 mm. Resposta: a) 219 MPa, b) 176 MPa

54. A viga mostrada é feita de nylon com tensão admissível de 24 MPa em tensão e 30 MPa em compressão. Determine o maior momento M que pode ser aplicado. Resposta: 849 N.m 56. Considere a figura do problema 9. Sabendo que a tensão admissível para a viga é de 90 MPa, determine o momento fletor máximo para o raio do filete igual a (a) 8 mm, (b) 12 mm. Resposta: a) 128 N.m, b) 142 N.m

12 de 16 57. Um componente de aço (adm = 80 MPa) foi projetado da maneira mostrada na figura (a), onde r = 15 mm. Se a barra for reprojetada como na figura (b), qual o aumento (%) no momento fletor que pode ser aplicado? Resposta: 22,4% (Ma = 1,25 kN.m, Mb = 1,53 kN.m)

59. A porção vertical da prensa mostrada consiste de um tubo retangular com espessura t = 10 mm. Sabendo que a prensa trabalha com carga P = 20 kN, determine as tensões nos pontos A e B. Resposta: A = 112,8 MPa, b) B = -96,0 MPa

58. A barra entalhada simplesmente apoiada é submetida a duas forças P. Determine o maior valor de P que pode ser aplicada sem provocar escoamento do material. Cada entalhe tem raio r = 3 mm. esc = 250 MPa. Resposta: P = 468,76 N Dica: Nesta configuração de viga, o momento máximo ocorre entre as cargas e vale P vezes a distância do ponto de aplicação da carga até a extremidade.

60. Uma barra de aço (E = 200 GPa) em forma de C é usada como um dinamômetro para determinar a força aplicada como mostrado. A seção transversal da barra é um quadrado com 40 mm de lado. Se a deformação medida no ponto D foi  = 450 x 10-6, determine a intensidade da força P. Resposta: 9 kN

13 de 16 61. Sabendo que P = 8 kN, determine as tensões nos pontos A e B. Resposta: A = -102,8 MPa, B = -80,6 MPa

62. Um desvio h deve ser feito em uma barra circular de diâmetro d. Sabendo que a tensão máxima após o desvio não pode exceder o valor de 4 vezes a tensão máxima na barra reta,

determine o maior valor do desvio que pode ser usado. Resposta: 0,375d

63. Um desvio h deve ser feito num tubo de metal com 18 mm de diâmetro externo e 2 mm de espessura. Sabendo que a tensão máxima após o desvio não pode exceder o valor de 4 vezes a tensão máxima no tubo reto, determine o maior valor do desvio que pode ser usado. Resposta: 10,83 mm

Carregamento Transversal 64. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B. Indique as componentes de tensão de cisalhamento num elemento de volume localizado nestes pontos. Dados: V = 15 kN, w = 125 mm. Resposta: A = 1,99 MPa, B = 1,65 MPa

65. Determine a tensão de cisalhamento máxima na viga. Resposta: A = 19,87 MPa

14 de 16 66. A viga é feita de madeira com tensão de cisalhamento admissível adm = 11,2 MPa e tem seção transversal retangular com lados medindo a e 1,5a. Se for submetida a um cisalhamento de V = 20 kN, determine o valor de a. Resposta: a = 42,26 mm

70. Para a viga e o carregamento mostrados, determine: (a) a maior tensão de cisalhamento na seção n-n (b) a tensão de cisalhamento no ponto a. Resposta: a) 0,92 MPa, b) 0,765 MPa

67. Para viga do exercício anterior, se a = 250 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima e faça um esboço da distribuição de tensão na viga. Resposta: max = 0,32 MPa

68. Determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo se V = 75 kN. Resposta: max = 43,17 MPa

69. Determine a tensão de cisalhamento máxima para a barra mostrada na figura. Resposta: max = 23,58 MPa

71. Considere o perfil de 3 m de comprimento mostrado abaixo, o qual deve suportar uma carga P = 2,0 Ton na extremidade livre. Sabendo que a tensão de escoamento do material é de 220 MPa, qual o coeficiente de segurança da viga? Resposta: 7,5

15 de 16 72. A barra sólida tem diâmetro d. Para o carregamento mostrado, determine as tensões normais e de cisalhamento atuantes nos pontos críticos A, B, C e D se P1 = P2 = P; b = 2a. Resposta: A = 30,56 Pa/d3, A = 0 B = 0, B = 3,4 P/d2

74. Uma barra tubular está sujeita ao carregamento mostrado. Qual é o Coef. Seg. do tubo para a) P = 1 Kg, b) P = 10 Kg, c) P = 100 Kg ? Dados: L = 10 cm, dext = 2 cm, dint = 1,8 cm, esc = 180 MPa, Dica: calcule para flexão e cisalhamento nos pontos críticos.

C= -30,56 Pa/d3, C = 0 D= 0, D = 3,4 P/d2

73. Repita o exercício anterior considerando que as forças estão defasadas de 90o como na figura. Resposta: A = 10,19 Pa/d3 , A = 1,7 P/d2 B = 20,38 Pa/d3 , B = 1,7 P/d2 C= -10,19 Pa/d3, C = 1,7 P/d2 D= -20,38 Pa/d3, D = 1,7 P/d2

75. Uma viga de madeira AB de comprimento L = 2 m suporta uma carga concentrada P = 40 kN localizada exatamente no metade do comprimento como mostrado na figura. (a) Mostre que a razão max/max é igual a h/2L. (b) Determine a largura h e a espessura b da viga, para max = 960 kPa e max = 12 MPa. Dica: tem que saber o esforço cortante máximo e o momento fletor máximo! Resposta: b) h = 320 mm, b = 195,3 mm.

16 de 16 76. Para a viga mostrada, determine a largura h sabendo que adm = 12 MPa. Resposta: h = 361 mm.

tubo com diâmetro interno de 100 mm e espessura de 3 mm que estava disponível no estoque. Qual o coeficiente de segurança desta instalação se o tubo ficar completamente cheio de fluido. Dica: considere carregamento distribuído do fluido e do peso p...