Prova 2 calculo III PDF

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Summary

segunda prova de calculo III com respostas. conteúdo: plano tangente e reta normal,Comprimento de arco, vetores tangente, normal....

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Unipampa/Bag´ e

C´ alculo III – Mauro Negr˜ ao

17/Outubro/2019

Segunda Avalia¸ca ˜o Matr´ıcula:

Nota

´ proibido o uso de qualquer dispositivo eletrˆ E onico. A interpreta¸ c˜ ao das quest˜ oes faz parte da avalia¸ c˜ ao. Mantenha seu celular desligado. Cada quest˜ ao vale 2, 5 pontos.

(1a ) O raio de curvatura em t = 0 para ~r (t) = 2sen(3t + π)ˆı − 2cos(−3t + 2π)ˆ vale: (A) ∞

(B) 3

(C) 6

(D)

4 5

(E) 2π

(F) 3π

(G)

6 5

(H)

π 8

(I)

4π 3

(J) N RA

√ 2 3 t2 t ˆ vale: (2 ) O comprimento de arco entre 0 ≤ t ≤ 2 para ~r(t) = ˆı + 2 3 3 28 13 27 2 (B) (C) (D) (E) (A) 4 3 10 3 3 a

(F) 1

(G) 2

(H) 3

(I) arctg(2)

(J) N RA

(3a ) O vetor normal em t = 1 para ~r(t) = tˆı + ln(t)ˆ vale: ~ (1) = 2ˆı − 2ˆ ~ (1) = −ˆı +ˆ ~ (1) = ˆı − 1ˆ ~ (1) = 2ˆı − 2ˆ (B) N (D) N (E) N (C) N 3 3 √ √ √ √ 2 2 ~ (1) = ~ (1) = −ˆı + 0ˆ (J) N RA ~ (1) = −2 3ˆı + 2 3ˆ (G) N ~ (1) = 0ˆı −ˆ (I) N (F) N ˆ (H) N ˆı − 2 2

~ (1) = −2ˆı + 2ˆ (A) N

x +1 ´ e girada em torno de x. A superf´ıcie gerada tem como equa¸ c˜ ao: 2 x2 x2 y 2 + = 1 − z2 (B) z 2 − y 2 + x − 2 = 0 (C) (A) + y2 = 1 + z2 (D) x2 − 3y 2 − 6z 2 − y − 1 = 0 9 4 3 √ y2 z2 x2 y2 = 1 − z2 (H) y = 4x2 − z 2 − + = z 2 − 2x (G) (E) y = x2 − 4z 2 + z (F) x2 + 4 9 9 4 (4a ) A reta y =

(I) x2 − 4y 2 − 4z 2 = x + 1

(J) N RA

Qual seria a sua idade se vocˆe n˜ao soubesse quantos anos vocˆe tem?

Unipampa/Bag´ e

C´ alculo III – Mauro Negr˜ ao

18/Outubro/2019

Solu¸ca ˜o da Segunda Avalia¸ca ˜o (1a ) O raio de curvatura em t = 0 para ~r (t) = 2sen(3t + π)ˆı − 2cos(−3t + 2π)ˆ x = 2sen(3t + π) ⇒x’=6cos(3t+π) e x′′ = −18sen(3t + π) y = −2cos(−3t + 2π) ⇒y’=-6sen(-3t+2π) e y ′′ = 18cos(−3t + 2π) Com isso, ρ(t) =

(36cos2 (3t + π) + 36sen2 (−3t + 2π ))3/2 ⇒ ρ(0) = 2 |108cos(3t + π)cos(−3t + 2π ) + 108sen(3t + π)sen(−3t + 2π)|

√ t2 2 3 (2 ) O comprimento de arco entre 0 ≤ t ≤ 2 para ~r (t) = ˆı + t ˆ: 2 3 t2 x= ⇒x’=t √2 √ 23 y= t ⇒y’= 2t2 3 Z 2 Z 2√ √ 13 2 4 t + 2t dt = t 1 + t2 dt ⇒ s = Com isso, s = 3 0 0 a

(3a ) O vetor normal em t = 1 para ~r(t) = tˆı + ln(t)ˆ: √   r 2 1 ~r′ (t) = ˆı + 1ˆ ⇒ ~r′ (t) = 1 + 1 = 1 + t . Com isso, T ~ (t) = √ t ˆı + √ ˆ. 2 2 t t t 1+t 1 + t2 1 t ˆ. ı− Derivando esta express˜ao temos: T~ ′ (t) = 3/2 3/2ˆ (1 + t2 ) (1 + t2 ) s r   1 t2 1 1   = . O m´odulo desta express˜ao ´e dado por  T~ ′ (t) = + = (1 + t2 )2 (1 + t2 ) (1 + t2 )3 (1 + t2 )3 √ √ 1 2 2 t ~ ~ ˆ ˆı − ı−  ⇒ N (1) = Assim, o vetor normal fica N (t) = 1/2 ˆ 1/2 ˆ 2 2 2 2 (1 + t ) (1 + t )

p x + 1 ´e girada em torno de x. Assim, ´e a vari´avel y que mudar´a para y 7→ y2 + z 2 . Logo 2 p x2 x 2 2 + x + 1 implicando em 4y2 + 4z 2 = x2 + 4x + 4 y + z = + 1 que elevando ao quadrado temos que y2 + z 2 = 4 2 (4a ) A reta y =...