Calculo III - Campos Conservativos PDF

Preview

Summary

Campos Conservativos...

Description

Capítulo 16 Integração em campos vetoriais 52. Circulação nula Seja C a elipse na qual o plano 2x + 3y – z = 0 encontra o cilindro x2 + y2 = 12. Mostre, sem calcular nenhuma integral de linha diretamente, que a circulação do campo F = xi + yj + zk em torno de C em qualquer direção é nula. 53. Escoamento ao longo de uma curva O campo F = xyi + yj – yzk é o campo de velocidade de um escoamento no espaço. Encontre o escoamento de (0, 0, 0) até (1, 1, 1) ao longo da curva de interseção do cilindro y = x2 e do plano z = x. (Sugestão: utilize t = x como parâmetro.)

a. Uma vez em torno da curva C do Exercício 52, no sentido horário quando visto de cima. b. Ao longo do segmento de reta de (1, 1, 1) a (2, 1, –1).

USO DO COMPUTADOR Nos Exercícios 55-60, utilize um SAC para executar as etapas a seguir, encontrando o trabalho realizado pela força F sobre o caminho dado: a. Encontre dr para o caminho r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k. b. Calcule a força F ao longo do caminho. F # dr.

c. Calcule

z

381

C

z5x

55. F = xy6i + 3x(xy5 + 2)j; r(t) = (2 cos t)i + (sen t)j, 0 ≤ t ≤ 2p. 3 2 56. F = i + j; r(t) = (cos t)i + (sen t)j, 0 ≤ t ≤ p. 1 + x2 1 + y2

(1, 1, 1) y

y 5 x2 x

54. Escoamento de um campo gradiente mento do campo F = §(xy2z3):

16.3

Encontre o escoa-

57. F = (y + yz cos xyz)i + (x2 + xz cos xyz)j + (z + xy cos xyz)k; r(t) = (2 cos t)i + (3 sen t)j + k, 0 ≤ t ≤ 2p. 58. F = 2xyi – y2j + zexk; r(t) = –ti +1tj + 3tk, 1 ≤ t ≤ 4. 59. F = (2y + sen x)i + (z2 + (1/3)cos y)j + x4k; r(t) = (sen t)i + (cos t)j + (sen 2t)k, –p/2 ≤ t ≤ p/2. 1 60. F = (x2y)i + x3j + xyk; r(t) = (cos t)i + (sen t)j + (2 sen2 t – 1)k, 3 0 ≤ t ≤ 2p.

Independência do caminho, campos conservativos e funções potenciais Um campo gravitacional G é um campo vetorial que representa o efeito da gravidade em um ponto no espaço devido à presença de um objeto com massa. A força gravitacional em um corpo de massa m posicionado no campo é dada por F = mG. De forma semelhante, um campo elétrico E é um campo vetorial no espaço que representa o efeito de forças elétricas em uma partícula carregada dentro dele. A força em um corpo de carga q posicionado no campo é dada por F = qE. Em campos gravitacionais e elétricos, a quantidade de trabalho exigida para mover uma massa ou carga de um ponto a outro depende das posições inicial e final do objeto – e não do caminho percorrido entre essas posições. Nesta seção, estudaremos campos vetoriais com essa propriedade e o cálculo de integrais de trabalho associadas a eles.

Independência do caminho Se A e B forem dois pontos em uma região aberta D no espaço, a integral de linha de F ao longo de C de A até B para um campo F definido em D geralmente depende do caminho percorrido C, conforme visto na Seção 16.1. Para alguns campos especiais, no entanto, o valor da integral é o mesmo para todos os caminhos entre A e B.

DEFINIÇÕES Seja F um campo vetorial definido em uma região aberta D no espaço, e suponha que para quaisquer dois pontos A e B em D, a integral de linha 1C F ∙ dr ao longo de um caminho C entre A e B em D seja a mesma para todos os caminhos entre A e B. Então, a integral 1C F ∙ dr é independente do caminho em D e o campo F é conservativo em D. A palavra conservativo vem da física, na qual ela se refere a campos nos quais o princípio de conservação de energia é válido. Quando uma integral de linha é independente do caminho C entre os pontos A e B, às vezes representamos a integral

382

Cálculo

pelo símbolo 1BA, e não o símbolo usual de integral de linha 1C. Essa substituição nos ajuda a lembrar da propriedade de independência do caminho. Sob condições de diferenciabilidade normalmente satisfeitas na prática, mostraremos que um campo F será conservativo se, e somente se, for o campo gradiente de uma função escalar ƒ, ou seja, se, e somente se, F = §ƒ para alguma ƒ. A função ƒ, então, tem um nome especial.

DEFINIÇÃO Se F é um campo vetorial definido em D e F = §ƒ para alguma função escalar ƒ em D, então ƒ é chamada de função potencial para F.

Um potencial gravitacional é uma função escalar cujo campo gradiente é um campo gravitacional; um potencial elétrico é uma função escalar cujo campo gradiente é um campo elétrico, e assim por diante. Como veremos, uma vez que tenhamos encontrado uma função potencial ƒ para um campo F, podemos calcular todas as integrais de linha no domínio de F sobre qualquer caminho entre A e B por B

B

F # dr =

A

§ƒ # dr = ƒsBd - ƒsAd.

(1)

A

Se você pensar em §ƒ para funções de várias variáveis como sendo algo como a derivada ƒ¿ para funções de uma variável, então você verá que a Equação 1 é o análogo no cálculo vetorial do Teorema Fundamental do Cálculo b

ƒ¿sxd dx = ƒsbd - ƒsad. a

Os campos conservativos possuem outras propriedades notáveis. Por exemplo, dizer que F é conservativo em D equivale a dizer que a integral de F ao redor de todo caminho fechado em D é zero. Certas condições nas curvas, campos e domínios devem ser satisfeitas para a Equação 1 ser válida. Discutiremos essas condições a seguir.

Hipóteses sobre curvas, campos vetoriais e domínios Para que os cálculos e resultados que produziremos abaixo sejam válidos, devemos assumir certas propriedades para curvas, superfícies, domínios e campos vetoriais que considerarmos. Forneceremos essas hipóteses nos enunciados dos teoremas, e elas também se aplicam aos exemplos e exercícios, a menos que de outra forma especificado. As curvas que consideramos são lisas por partes. Tais curvas são compostas por um número finito de partes lisas conectadas pelas extremidades, conforme discutido na Seção 13.1. Trataremos dos campos vetoriais F cujos componentes possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Os domínios D que consideramos são regiões abertas no espaço, de forma que todo ponto em D seja o centro de uma esfera aberta que está inteiramente em D (veja a Seção 13.1). Assumimos também que D é conexo. Para uma região aberta, isso significa que quaisquer dois pontos em D podem ser ligados por uma curva lisa que esteja na região. Por fim, assumimos que D é simplesmente conexo, o que significa que todo laço em D pode ser contraído a um ponto em D sem nunca deixar D. O plano com um disco removido é uma região bidimensional que não é simplesmente conexa; um laço no plano que passa ao redor do disco não pode ser contraído a um ponto sem passar por dentro do “buraco” deixado pelo disco removido (veja a Figura 16.22c). De maneira semelhante, se removermos uma reta do espaço, a região remanescente D não é simplesmente conexa. Uma curva envolvendo a reta não poderia ser encolhida a um ponto enquanto permanecesse dentro de D.

Capítulo 16 Integração em campos vetoriais

383

Conexidade e conexidade simples não são a mesma coisa, e uma propriedade não implica a outra. Pense em regiões conexas como se fossem “um único pedaço” e simplesmente conexas como aquelas que não possuem “furos que capturam laços fechados”. O espaço todo em si é tanto conexo quanto simplesmente conexo. A Figura 16.22 ilustra algumas dessas propriedades.

y

Simplesmente conexa

Atenção Alguns dos resultados neste capítulo podem não ser válidos se aplicados a situações em que as condições impostas não são válidas. Em especial, o teste dos componentes para campos conservativos, fornecido adiante nesta seção, não é válido nos domínios que não são simplesmente conexos (veja o Exemplo 5).

x

Integrais de linha em campos conservativos

(a) z

Os campos gradiente F são obtidos através da derivação de uma função escalar ƒ. O teorema análogo ao Teorema Fundamental do Cálculo fornece uma maneira de calcular as integrais de linha de campos gradiente.

Simplesmente conexa

TEOREMA 1 — Teorema fundamental das integrais de linha Seja C uma curva lisa unindo o ponto A ao ponto B no plano ou no espaço e parametrizada por r(t). Seja ƒ uma função derivável com um vetor gradiente contínuo F = §ƒ em um domínio D contendo C. Então

y

x (b)

F # dr = ƒ(B) - ƒ(A). C

y

Como o teorema fundamental, o Teorema 1 fornece uma maneira de calcular integrais de linha sem ter de tomar os limites das somas de Riemann ou encontrar a integral de linha através do procedimento utilizado na Seção 16.2. Antes de provarmos o Teorema 1, fornecemos um exemplo.

C1 Não é simplesmente conexa x

EXEMPLO 1

Suponha que o campo de força F = §ƒ seja o gradiente da função

(c)

ƒ(x, y, z) = z

1 . x2 + y2 + z2

Encontre o trabalho realizado por F na movimentação de um objeto ao longo de uma curva lisa C ligando (1, 0, 0) a (0, 0, 2), que não passa pela origem. Solução Uma aplicação do Teorema 1 mostra que o trabalho realizado por F ao longo de qualquer curva lisa C ligando os dois pontos e não passando pela origem é

C2 Não é simplesmente conexa

y

x

F # dr = ƒ(0, 0, 2) - ƒ(1, 0, 0) = (d)

FIGURA 16.22 Quatro regiões conexas. Em (a) e (b), as regiões são simplesmente conexas. Em (c) e (d), as regiões não são simplesmente conexas porque as curvas C1 e C2 não podem ser contraídas a um ponto dentro das regiões que as contêm.

C

3 1 - ( - 1) = . 4 4

A força gravitacional devido a um planeta, e a força elétrica associada com uma partícula carregada, podem ambas ser modeladas pelo campo F dado no Exemplo 1 a menos de uma constante que dependa das unidades de medida. Prova do Teorema 1 Suponha que A e B sejam dois pontos na região D e que C: r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k, a ≤ t ≤ b, seja uma curva lisa em D ligando A a B.

384

Cálculo

Utilizamos a forma abreviada r(t) = xi + yj + zk para a parametrização da curva. Ao longo da curva, ƒ é uma função derivável de t e Regra da cadeia na Seção 14.4 com x = gstd, y = hstd, z = kstd

0ƒ dy 0ƒ dx 0ƒ dz dƒ + = + dt 0z dt 0x dt 0y dt = §ƒ # a

dy dr dx dz dr = F# . kb = §ƒ # j + i + dt dt dt dt dt

Porque F = §ƒ

Portanto, F # dr = C

t=b t=a

F#

b

dr dt = dt

a

dƒ dt dt

r(a ) = A, r(b ) = B

b

= ƒsgstd, hstd, kstdd d = ƒsBd - ƒsAd. a

Dessa forma, vemos a partir do Teorema 1 que a integral de linha de um campo gradiente F = §ƒ é calculada diretamente, uma vez que conheçamos a função ƒ. Muitos campos vetoriais importantes que aparecem em aplicações, de fato, são campos gradientes. O próximo resultado, que se segue a partir do Teorema 1, mostra que qualquer campo conservativo é desse tipo.

TEOREMA 2 — Campos conservativos são campos gradientes Seja F = Mi + Nj + Pk um campo vetorial cujos componentes são contínuos sobre uma região conexa aberta D no espaço. Então F é conservativo se, e somente se, F for um campo gradiente §ƒ para uma função derivável ƒ. O Teorema 2 diz que F = §ƒ se, e somente se, para quaisquer dois pontos A e B na região D, o valor da integral de linha 1C F ∙ dr é independente do caminho C ligando A a B em D.

z D

C0 A (x0, y, z) B0 L B (x, y, z) x0

y

x x

FIGURA 16.23 A função ƒ(x, y, z) na prova do Teorema 2 é calculada por uma integral de linha 1C F ∙ dr = ƒ(B0) entre 0 A e B0, mais uma integral de linha 1L F ∙ dr ao longo de um segmento de reta L paralelo ao eixo x e ligando B0 a B localizado em (x, y, z). O valor de ƒ em A é ƒ(A) = 0.

Prova do Teorema 2 Se F for um campo gradiente, então F = §ƒ para uma função derivável ƒ, e o Teorema 1 mostra que 1C F ∙ dr = ƒ(B) – ƒ(A). O valor da integral de linha não depende de C, mas somente de suas extremidades A e B. Sendo assim, a integral de linha é independente do caminho e F satisfaz a definição de um campo conservativo. Por outro lado, suponha que F seja um campo vetorial conservativo. Desejamos encontrar uma função ƒ em D satisfazendo §ƒ = F. Primeiro, escolha um ponto A em D e defina ƒ(A) = 0. Para qualquer outro ponto B em D, defina ƒ(B) igual a 1C F ∙ dr, onde C seja qualquer caminho em D entre A e B. O valor de ƒ(B) não depende da escolha de C, uma vez que F é conservativo. Para mostrar que §ƒ = F, precisamos demonstrar que ∂ƒ/∂x = M, ∂ƒ/∂y = N e ∂ƒ/∂z = P. Suponha que B tenha coordenadas (x, y, z). Por definição, o valor da função ƒ em um ponto próximo B0 localizado em (x 0, y, z) é 1C F ∙ dr, onde C0 é qualquer 0 caminho entre A e B0. Escolhemos um caminho C = C0 ª L entre A e B formado primeiro pelo trajeto ao longo de C0 para chegarmos a B0, e em seguida pelo trajeto ao longo do segmento de reta L entre B0 e B (Figura 16.23). Quando B0 é próximo de B, o segmento L está em D e, uma vez que o valor ƒ(B) é independente do caminho entre A e B, F # dr +

ƒ(x, y, z) = C0

F # dr. L

Derivando, temos 0 0 ƒ(x, y, z) = 0x a 0x

F # dr + C0

L

F # dr b.

Capítulo 16 Integração em campos vetoriais

385

Somente o último termo à direita depende de x , portanto 0 0 ƒ(x, y, z) = 0x 0x

F # dr. L

Agora parametrize L como r(t) = ti + yj + zk, x 0 ≤ t ≤ x. Então dr/dt = i, F ∙ dr/dt = M x e 1L F ∙ dr = 1x0 M(t, y, z) dt. Substituição nos dá 0 0 ƒ(x, y, z) = 0x 0x

x

M(t, y, z) dt = M(x, y, z) x0

pelo Teorema Fundamental do Cálculo. As derivadas parciais ∂ƒ/∂y = N e ∂ƒ/∂z = P seguem de maneira semelhante, mostrando que F = §ƒ.

EXEMPLO 2

Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo F = yzi + xzj + xyk = §ƒ, onde ƒ(x , y, z) = xyz,

ao longo de qualquer curva lisa C ligando o ponto A(–1, 3, 9) ao ponto B(1, 6, –4). Solução Com ƒ(x , y, z) = xyz, temos

F # dr = C

B

§ƒ # dr

A

= ƒsBd - ƒsAd

F = §ƒ e independência do caminho Teorema 1

= xyz ƒ s1,6, -4d - xyz ƒ s-1,3,9d = s1 ds 6 ds - 4 d - s - 1 ds 3 ds 9 d = - 24 + 27 = 3. Uma propriedade muito útil de integrais de linhas em campos conservativos vem à tona quando o caminho de integração é uma curva fechada, ou laço. Geralmente utilizamos a notação D para integração ao redor de um caminho fechado (discutida C

com mais detalhes na próxima seção).

TEOREMA 3 — Propriedade do laço para campos conservativos mações a seguir são equivalentes.

As afir-

1. D F ∙ dr = 0 ao redor de todo laço (isto é, curva fechada C) em D. C

2. O campo F é conservativo em D. B C2

C1

C1

A

B –C 2

A

FIGURA 16.24 Se tivermos dois caminhos entre A e B, um deles poderá ser invertido para formar um laço.

Prova de que a Parte 1 1 Parte 2 Desejamos mostrar que para quaisquer dois pontos A e B em D, a integral de F ∙ dr tem o mesmo valor sobre quaisquer dois caminhos C1 e C2 de A a B. Invertemos a direção em C2 para formar o caminho –C2 de B a A (Figura 16.24). Juntos, C1 e –C2 formam um laço C e, por suposição, F # dr C1

F # dr = C2

F # dr + C1

F # dr = -C2

F # dr = 0. C

Assim, as integrais sobre C1 e C2 fornecem o mesmo valor. Observe que a definição de F ∙ dr mostra que mudar a direção ao longo de uma curva inverte o sinal da integral de linha.

386

Cálculo B

C2

B

–C 2

C1

C1

Prova de que Parte 2 1 Parte 1 Desejamos mostrar que a integral de F ∙ dr é zero sobre qualquer laço C. Escolhemos dois pontos A e B em C e os utilizamos para quebrar C em dois pedaços: C1 de A a B, seguido por C2 de volta de B a A (Figura 16.25). Então F

F # dr =

C1

F # dr +

C2

F # dr =

B A

F # dr -

B A

F # dr = 0.

C

A

A

FIGURA 16.25 Se A e B estiverem em um laço, podemos inverter parte do laço para formar dois caminhos entre A e B.

O diagrama a seguir resume os resultados dos Teoremas 2 e 3. Teore ma 2

F = §ƒ sobre D

3

Teorema 3

F conservativo em D

3

F # dr = 0 F C sobre qualquer laço em D

Surgem duas questões: 1. Como sabemos se um determinado campo vetorial F é conservativo? 2. Se F é de fato conservativo, como encontramos uma função potencial ƒ (de forma que F = §ƒ)?

Encontrando potenciais para campos conservativos O teste para um campo vetorial conservativo envolve a equivalência de determinadas derivadas parciais dos componentes do campo.

Teste das componentes para campos conservativos Seja F = M(x , y, z)i + N(x , y, z)j + P(x , y, z)k um campo em um domínio conexo e simplesmente conexo, cujas funções componentes possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Então, F é conservativo se, e somente se, 0P 0M 0N 0P 0M 0N (2) e = = 0y . = 0z , 0x 0z 0x 0y Prova de que as Equações 2 são válidas se F for conservativo Existe uma função potencial ƒ de forma que F = Mi + N j + P k =

0ƒ 0ƒ 0ƒ i + j + k. 0x 0y 0z

Consequentemente, 0 2ƒ 0P = 0 0ƒ a b = 0y 0y 0z 0y 0z =

0 2ƒ 0z 0y

=

0 0ƒ 0N a b = . 0z 0y 0z

Teorema das derivadas mistas, Seção 14.3

As outras nas Equações 2 são provadas de maneira semelhante. A segunda metade da prova, de que as Equações 2 implicam que F é conservativo, é uma consequência do teorema de Stokes, estudado na Seção 16.7, e requer que consideremos que o domínio de F seja simplesmente conexo.

Capítulo 16 Integração em campos vetoriais

387

Uma vez que sabemos que F é conservativo, geralmente desejamos encontrar uma função potencial para F. Isso requer a solução da equação §ƒ = F ou 0ƒ 0ƒ 0ƒ i + j + k = Mi + Nj + Pk 0x 0y 0z para ƒ. Conseguimos isso integrando as três equações 0ƒ = M, 0x

0ƒ = N, 0y

0ƒ = P, 0z

conforme ilustrado no exemplo a seguir.

EXEMPLO 3

Mostre que F = (ex cos y + yz)i + (xz – ex sen y)j + (xy + z)k é conservativo sobre seu domínio natural e encontre uma função potencial para ele. Solução O domínio natural de F é todo o espaço, que é conexo e simplesmente conexo. Aplicamos o teste nas Equações 2 para

M = ex cos y + yz,

N = xz – ex sen y,

P = xy + z

e calculamos 0M = y = 0P, 0x 0z

0P = x = 0N, 0z 0y

0N = - e x sen y + z = 0M . 0y 0x

As derivadas parciais são contínuas, portanto essas igualdades nos dizem que F é conservativo, de modo que existe uma função ƒ com §ƒ = F (Teorema 2). Encontramos ƒ integrando as equações 0ƒ = e x cos y + yz, 0x

0ƒ = xz - e x sen y, 0y

0ƒ = xy + z . 0z

(3)

Integramos a primeira equação com relação a x , mantendo y e z fixos, para obter ƒ(x, y, z) = ex cos y + xyz + g(y, z). Escrevemos a constante de integração como uma função de y e z porque seu valor pode depender de y e z , embora não de x . Então, calculamos ∂ƒ/∂y a partir dessa equação e comparamos com a expressão para ∂ƒ/∂y nas Equações 3. Isso nos dá 0g - e x sen y + xz + 0y = xz - e x sen y, assim ∂g/∂y = 0. Portanto, g é uma função somente de z, e ƒ(x, y, z) = ex cos y + xyz + h(z). Agora calculamos ∂ƒ/∂z a partir dessa equação e a comparamos com a fórmula para ∂ƒ/∂z nas Equações 3. Isso dá xy +

dh = xy + z dz

ou

assim, z2 hszd = 2 + C.

dh = z, dz

388

Cálculo

Consequentement...