477914303 Calculo III ESFM Vallejo pdf PDF

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Apuntes de C ́alculo IIIbasados en el curso del maestroRa ́ul Vallejo GaramendiCiudad de M ́exico Enero 2017Ra ́ul Vallejo Apuntes de C ́alculoiiApuntes de C ́alculo Ra ́ul Vallejo Cap ́ıtulo 3.................................... 132 Cap ́ıtulo 4.................................... 160 ́INDICE GENER...

Description

Apuntes de C´ alculo III

basados en el curso del maestro

Ra´ ul Vallejo Garamendi

Ciudad de M´exico

Enero 2017

Ra´ ul Vallejo

Apuntes de C´ a lculo

ii

´Indice general 1. El espacio vectorial Rn 1.1. Definici´on . . . . . . 1.2. Producto escalar . . 1.3. Norma . . . . . . . . 1.4. Distancia . . . . . .

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3 3 4 7 9

2. Topolog´ıa de Rn 2.1. Preliminares . . . 2.2. Conjuntos en Rn 2.3. Topolog´ıa de Rn . 2.4. Sucesiones en Rn 2.5. Compacidad . . . 2.6. Conexidad . . . .

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11 11 13 16 24 30 35

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43 43 47 53 62 69 72 76

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79 79 98 105 113

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3. Funciones 3.1. Funciones . . . . . . . . . . . 3.2. Tipos de funciones . . . . . . 3.3. Continuidad . . . . . . . . . . 3.4. Arco-conexidad y convexidad 3.5. Continuidad uniforme . . . . . 3.6. Homeomorfismos . . . . . . . 3.7. L´ımites de funciones . . . . .

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4. Diferenciabilidad 4.1. Diferencial . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Derivadas de orden superior . . . . 4.3. M´aximos y m´ınimos de una funci´on 4.4. Dos teoremas importantes . . . . .

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5. Soluci´ on a los ejercicios 115 5.1. Cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2. Cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 iii

Apuntes de C´ a lculo

Ra´ ul Vallejo

5.3. Cap´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4. Cap´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

´ INDICE GENERAL

1

´INDICE GENERAL

Ra´ ul Vallejo

´ INDICE GENERAL

Apuntes de C´ a lculo

2

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1 El espacio vectorial Rn 1.1.

Definici´ on

Definimos Rn de la siguiente manera: Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xj ∈ R, j = 1, 2, . . . , n}

Dados x, y ∈ Rn , x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) y α ∈ R, definimos las siguientes operaciones: x + y : = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) αx : = (αx1 , αx2 , . . . , αxn )

(1.1) (1.2)

Con estas operaciones Rn forma un espacio vectorial. A los elementos en Rn les llamaremos vectores y los elementos de R escalares. Las operaciones cumplen las siguientes propiedades para cualesquiera x, y, z ∈ Rn y cualesquiera α, β ∈ R: i) x + y = y + x (Propiedad conmutativa para la suma)

ii) (x + y) + z = x + (y + z) (Propiedad asociativa para la suma) iii) Existe el 0˜ = (0, 0, . . . , 0) tal que 0˜ + x = x (Elemento neutro aditivo) iv) Para toda x ∈ Rn existe −x = (−x1 , −x2 , . . . , −xn ) tal que x + (−x) = 0˜ (Inverso aditivo) v) (αβ)x = α(βx) (Propiedad asociativa para el producto por escalar) vi) (α+β)x = αx+βx (Propiedad distributiva del producto por escalar sobre escalares) vii) α(x + y) = αx + αy (Propiedad distribituva del producto por escalar sobre vectores) viii) 1 · x = x (Neutro multiplicativo) 3

Ra´ ul Vallejo

1.2.

Apuntes de C´ a lculo

Producto escalar

Definici´ on. Definimos el producto escalar de dos vectores como la funci´on h , i : Rn × Rn → R, (x, y) 7→ hx, yi de modo tal que: hx, yi :=

n X

xj yj = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn

j=1

Proposici´ on 1 (Propiedades del producto escalar). Para cualesquiera x, y, z ∈ Rn y para cualquier α ∈ R se tienen las siguientes propiedades: i) Positividad: hx, xi ≥ 0 hx, xi = 0 ⇔ x = 0 iii) Simetr´ıa: hx, yi = hy, xi iv) Linealidad: hx + y, zi = hx, zi + hy, zi hαx, yi = αhx, yi = hx, αyi Demostraci´ on. i) Sea x ∈ Rn . Luego, para j = 1, . . . , n, como xj es real entonces x2j ≥ 0. Por lo tanto n X x2j ≥ 0 hx, xi = j=1

ii) Si x = 0˜, entonces hx, xi = n

Si hx, xi =

X j=1

n X

0 = 0.

j=1

xj2 = 0, como xj ∈ R para j = 1, . . . , n entonces xj2 ≥ 0 y como hx, xi

es una suma de reales positivos igual a cero, entonces xj = 0 para toda j = 1, . . . , n. iii) Sean x, y ∈ Rn . R es un campo por lo que el producto conmuta, por lo tanto: hx, yi = 1.2. PRODUCTO ESCALAR

n X

xj yj =

n X j=1

j=1

4

yj xj = hy, xi CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL RN

Apuntes de C´ a lculo

Ra´ ul Vallejo

iv) Sean x, y, z ∈ Rn . R es un campo por lo tanto el producto distribuye sobre la suma, entonces: hx + y, zi =

n X

(xj + yj )zj =

j=1

n X

(xj zj + yj zj ) =

j=1

n X j=1

xj zj +

n X j=1

yj zj = hx, zi + hy, zi

v) Sea α ∈ R y x ∈ Rn . Tenemos que: n n X X α(xj yj ) (αxj )yj = hαx, yi = j=1 n X

=α

Asoc. del producto en R

j=1

xj yj

Dist. del producto sobre la suma en R

j=1

= αhx, yi Similarmente: n n X X (αxj )yj = α(xj yj ) hαx, yi =

=

j=1 n X

Asociatividad del producto en R

j=1

xj (αyj )

Conm. y asoc. del producto en R

j=1

= hx, αyi

Proposici´ on 2 (Desigualdad de Schwarz). Para cualesquiera x, y ∈ Rn se tiene que: (hx, yi)2 ≤ hx, xihy, yi

(1.3)

Demostraci´ on. Si x o y son el 0˜ la desigualdad es obvia. Supongamos entonces x 6= 0˜ y y 6= 0˜. Sea λ ∈ R. Tenemos que: hx + λy, x + λyi = hx, x + λyi + hλy, x + λyi Aditividad de h, i = hx, xi + hx, λyi + hλy, xi + hλy, λyi Aditividad de h, i 2 = hx, xi + λhx, yi + λhx, yi + λ hy, yi Simetr´ıa y homogeneidad de h, i = hx, xi + 2λhx, yi + λ2 hy, yi ≥ 0 h, i es definido positivo N CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL R

5

1.2. PRODUCTO ESCALAR

Ra´ ul Vallejo

Apuntes de C´ a lculo

La expresi´on hx, xi + 2λhx, yi + λ2 hy, yi es un polinomio de grado 2 en la variable λ y como es mayor o igual que cero para todo λ ∈ R, tiene a lo m´as una ra´ız. Luego el discriminante del polinomio es menor o igual que cero, es decir: 4(hx, yi)2 − 4hx, xihy, yi ≤ 0 4(hx, yi)2 ≤ 4hx, xihy, yi (hx, yi)2 ≤ hx, xihy, yi

demostrando as´ı la desigualdad 1.3

Proposici´ on 3. Sean x, y ∈ Rn entonces: p p |hx, yi| = hx, xi hy, yi ⇐⇒ x, y son linealmente dependientes.

Demostraci´ on. Supongamos que x y y son linealmente dependientes, luego existe λ ∈ R tal que x = λy. Por lo tanto:

|hx, yi| = |hx, λxi| = |λhx, xi| p p = |λ| hx, xi hx, xi p p = hx, xi λ2 hx, xi p p = hx, xi hλx, λxi p p = hx, xi hy, yi p p Supongamos ahora que |hx, yi| = hx, xi hy, yi. Si x o y es 0˜ la igualdad se cumple y la dependencia lineal es obvia, supongamos entonces que x y y no son cero y demos una combinaci´on lineal de ellos igual a 0. α, β ∈ R αx + βy = 0˜ Tomando producto escalar de la combinaci´on lineal consigo misma:

hαx + βy, αx + βyi = α2 hx, xi + 2αβhx, yi + β 2 hy, yi = 0 Resolviendo las ra´ıces para β tenemos que: p −2αhx, yi ± 4(hx, yi)2 − 4hx, xihy, y i β= 2hy, yi Pero por nuestra hip´otesis, el discriminante se anula y tenemos que si α 6= 0 (es decir, que la combinaci´on lineal no es la trivial): hx, yi β λ := = − α hy, yi Por lo tanto x+λy = x−

1.2. PRODUCTO ESCALAR

hx, yi y = 0 y por lo tanto x y y son linealmente dependientes hy, yi 6

CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL RN

Apuntes de C´ a lculo

1.3.

Ra´ ul Vallejo

Norma

Definici´ on. Definimos la norma euclidiana de un vector x ∈ Rn como la funci´ on n k k : R → R, x 7→ kxk tal que: p kxk := hx, xi Ejemplos:

q

2

Si x ∈ R , x = (x1 , x2 ), entonces kxk = x21 + x22 q x ∈ R3 , x = (x1 , x2 , x3 ), luego kxk = x21 + x22 + x32

Proposici´ on 4 (Propiedades de la norma euclidiana). Para toda x, y ∈ Rn i) kxk ≥ 0 ii) kxk = 0 ⇔ x = 0˜ iii) Si λ ∈ R, kλxk = |λ| kxk iv) Desigualdad del tri´ angulo kx + yk ≤ kxk + kyk

(1.4)

Demostraci´ on. i), ii) y iii) se siguen r´apidamente de i), ii) y v) respectivamente de la proposici´on 1. Demostremos pues la desigualdad del tri´angulo. Tenemos que: kx + y k2 = hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi = kxk2 + 2hx, yi + kyk2

≤ kxk2 + 2|hx, yi| + kyk2

De la desigualdad de Schwarz (1.3) se sigue que: kx + y k2 ≤ kxk2 + 2hx, yi + kyk2

≤ kxk2 + 2 kxk kyk + ky k2

= (kxk + ky k)2

Tomando ra´ız cuadrada a ambos lados de la desigualdad tenemos que: kx + yk ≤ kxk + kyk que es la desigualdad 1.4 Ejercicios N CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL R

7

1.3. NORMA

Ra´ ul Vallejo

Apuntes de C´ a lculo

1. Sean x, y ∈ Rn entonces: kx + yk = kxk + kyk ⇐⇒ y = λx, λ ≥ 0 2. Para toda x, y ∈ Rn se tiene la igualdad del paralelograma:  2 2 2 2 kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk

Proposici´ on 5. Para cualesquiera x, y ∈ Rn se cumple: |kxk − kyk| ≤ kx − yk

(1.5)

(1.6)

Demostraci´ on. Por la desigualdad del tri´angulo (1.4) tenemos: kxk = kx + y − yk ≤ kx − yk + ky k ∴ kxk − kyk ≤ kx − yk

(1)

Similarmente, kyk − kxk ≤ ky − xk = | − 1| kx − yk = kx − yk. De lo anterior y (1) se sigue la desigualdad 1.6 Proposici´ on 6. Sea x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . Entonces: |xj | ≤ kxk ≤

n X k=1

|xk |

j = 1, . . . , n

Demostraci´ on. Para cualquier j ∈ {1, . . . , n} tenemos: |xj |2 ≤

n X

|xk |2

k=1 v u n uX ∴ |xj | ≤ t |xk |2 = kxk

(1)

k=1

Por otro lado, tenemos que: n X k=1

|xk |

!2

=

n X

x2k +

k=1

n n X X k=1 l6=k

|xk ||xl |

Dado que la segunda suma es de t´erminos positivos entonces: !2 n n X X ≥ |xk | x2k k=1

k=1

∴

n X k=1

|xk | ≥ kxk

(2)

De (1) y (2) se sigue lo que quer´ıamos demostrar 1.3. NORMA

8

CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL RN

Apuntes de C´ a lculo

Ra´ ul Vallejo

Definici´ on. Una norma en Rn es una funci´ on ϕ : Rn → R que cumple con: 1. ϕ(x) ≥ 0 2. ϕ(x) = 0 ⇔ x = 0˜ 3. ϕ(αx) = |α|ϕ(x) para todo α ∈ R 4. ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) para cualesquiera x, y ∈ Rn Definici´ on. Definimos la norma 1 como: kxk1 =

n X k=1

|xk |

x ∈ Rn

Definimos la norma infinito o norma del m´ aximo como: kxk∞ = m´ax {|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |}

x ∈ Rn

Ejercicios 3. Pruebe que la norma 1 y la norma infinito son, efectivamente, normas. 4. Pruebe que kxk∞ ≤ kxk ≤ kxk1 ∀x ∈ Rn .

1.4.

Distancia

Definici´ on. Sean x, y ∈ Rn . Definimos la distancia de x a y, denotada por d(x, y) como: d(x, y) = kx − yk Proposici´ on 7. Para todo x, y, z ∈ Rn se cumple: i) d(x, y) ≥ 0 ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y iii) d(x, y) = d(y, x) iv) d(x, y) ≤ d(x, z ) + d(z, y) (desigualdad del tri´ angulo) Demostraci´ on. Se siguen directamente de las propiedades de la norma (4).

N CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL R

9

1.4. DISTANCIA

Ra´ ul Vallejo

1.4. DISTANCIA

Apuntes de C´ a lculo

10

CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL RN

Cap´ıtulo 2 Topolog´ıa de Rn 2.1.

Preliminares

Definici´ on. Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A est´a contenido en B si ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B. Lo denotamos por A ⊂ B . Definici´ on (Igualdad de conjuntos). El conjunto A = B si A ⊂ B y B ⊂ A. Definici´ on. Definimos la diferencia de conjunto como: A \ B := {x ∈ A | x ∈ / B} Definici´ on. Dado I un conjunto de ´ındices definimos una familia o colecci´ on de conjuntos como {Aα}α∈I con Aα alg´ un conjunto para cada α ∈ I . Por ejemplo: I = {1, 2, 3} entonces {A1 , A2 , A3 } es una familia de conjuntos. {Aα}α∈R . I puede ser igual a N o a Z por ejemplo. Definici´ on (Uni´on de una colecci´on de conjuntos). Dada una colecci´ on {Aα}α∈I definimos [ la uni´ on de los conjuntos Aα, denotada por Aα como: α∈I

[

α∈I

Aα : = {x | x ∈ Aα para alg´ un α ∈ I} = {x | ∃α ∈ I ∋ x ∈ Aα}

Ejemplos: 11

Ra´ ul Vallejo

Apuntes de C´ a lculo

Sean A = {n | n ∈ N} y B =



   1 1 1 1 1 1 . , entonces A ∪ B = n ∈ N y , , , , 2 3 4 2 3 4

  [ 1 para cada k ∈ N. Entonces Sea Ak = 0, Ak = (0, 1). k k∈N

Demostraci´ on. 1. Sea x ∈

[

k∈N

Ak , luego para alg´ un k ∈ N x ∈ Ak . Entonces 0 < x <

lo tanto x ∈ (0, 1). Como x fue arbitraria, concluimos que

[

k∈N

1 ≤ 1 y por k

Ak ⊂ (0, 1).

2. Sea x ∈ (0, 1), entonces x > 0. Por la propiedad arquimediana  existe k0 ∈ N  1 1 1 = Ak0 de donde , luego x ∈ 0, tal que > k0 y por lo tanto 0 < x < k0 k0 x [ [ Ak . concluimos que x ∈ Ak y por lo tanto (0, 1) ⊂ k∈N

k∈N

De 1. y 2., y por la definici´ on de igualdad de conjuntos, concluimos que

[

Ak =

k∈N

(0, 1)

Definici´ on (Intersecci´on de una familia de conjuntos). Dada una familia de conjuntos \ Ak como: on de los conjuntos Aα, denotada por {Aα}α∈I definimos la intersecci´ α∈I

\

α∈I

Ak := {x | x ∈ Aα ∀α ∈ I}

Ejemplos: Sean A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5} entonces A ∩ B = {2, 3}. Sean A = {1, 2} y B = {4, 5}. Como A y B no comparten elementos en com´ un decimos que su intersecci´ on es vac´ıa y lo denotamos por A ∩ B = ∅. Ejercicios   1. Para cada k ∈ N definamos Ak = x = (x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 > k . Pruebe entonces que: \ [ Ak = A1 Ak = ∅ k∈N

k∈N

2.1. PRELIMINARES

12

CAP´ITULO 2. TOPOLOG´IA DE RN

Apuntes de C´ a lculo

2.2.

Ra´ ul Vallejo

Conjuntos en Rn

Describa los siguientes conjuntos de manera gr´afica: A = {x = (x1 , x2 ) | 2x1 − x2 + 1 < 0}. La recta y = 2x1 + 1 es nuestra referencia: todos los puntos por encima de ella son el conjunto A. En efecto, tomando (x1 , x2 ) de tal modo que x2 > y = 2x1 + 1, implica que 2x1 − x2 + 1 < 0 y por lo tanto (x1 , x2 ) ∈ A. Si tomamos (x1 , x2 ) con x2 ≤ y = 2x1 + 1 entonces 2x1 + 1 − x2 ≥ 0 y por lo tanto (x1 , x2 ) ∈ / A.

Conjunto A

  B = (x1 , x2 ) | x12 ≥ x2 .

Cuando x12 = x2 tenemos la gr´afica de la par´abola. Como adem´ as el conjunto pide 2 x1 ≥ x2 entonces todos los puntos (x1 , x2 ) por debajo de dicha gr´ afica estar´an en el conjunto B .

Conjunto B N CAP´ITULO 2. TOPOLOG´IA DE R

13

N

2.2. CONJUNTOS EN R

Ra´ ul Vallejo

Apuntes de C´ a lculo

  C = (x1 , x2 ) | x12 + x22 ≤ 2x1 .

De la desigualdad tenemos que x12 − 2x1 + x22 ≤ 0. Completando el trinomio llegamos a que (x1 − 1)2 + x22 ≤ 1. Cuando se cumple la igualdad, tenemos una elipse con centro en (1, 0) y con la desigualdad menor que obtenemos todos los puntos dentro de la elipse. En efecto, tomando un punto dentro de la elipse (x1 , x2 ), supongamos que x2 > 0 y tomando y > 0 de tal modo que (x1 , y) est´e sobre la elipse, tenemos que x2 < y (de lo contrario el punto se saldr´ıa del a´rea delimitada por la elipse), entonces x22 < y2 ⇒ (x1 − 1)2 + x22 < (x1 − 1)2 + y 2 = 1 ⇒ (x1 , x2 ) ∈ C. De manera an´aloga para x2 < 0. Por u ´ltimo, si un punto est´ a fuera de la elipse (x1 , x2 ) supongamos x2 > 0 y sea y > 0 tal que (x1 , y) est´e sobre la elipse. Como el punto (x1 , x2 ) est´ a fuera de la elipse entonces x2 > y y se concluye que (x1 , x2 ) ∈ / C. Similarmente si x2 < 0. Con ello hemos probado que el conjunto C es el a´rea delimitada por la elipse y ella misma.

Conjunto C

D = {(x1 , x2 ) | |x1 | = 1}. Como |x1 | = 1 entonces los u ´nicos valores que puede tomar son {−1, 1}. No hay ninguna restricci´on respecto a x2 por lo tanto el conjunto D son las rectas paralelas al eje y que pasan por (1, 0) y (−1, 0). N

2.2. CONJUNTOS EN R

14

CAP´ITULO 2. TOPOLOG´IA DE RN

Apuntes de C´ a lculo

Ra´ ul Vallejo

Conjunto D

E = {(x1 , x2 ) | |x1 + 2x2 | < 1}.

−1 − x1 1 − x1 De la desigualdad se sigue que −1 < x1 +2x2 < 1 y a su vez . < x2 < 2 2 Se sigue que las dos rectas representadas por los costados de la desigualdad delimitan la regi´on descrita por el conjunto.

Conjunto E Ejercicios 2. Dibuje los siguientes conjuntos:   a) A = x = (x1 , x2 ) | x12 − x22 ≥ 1   b) B = x = (x1 , x2 ) | 2x12 − 3x22 = 3

c) C = {x = (x1 , x2 ) | |2x1 | + |x2 | = 3}   d ) D = x = (x1 , x2 ) | x12 + x22 ≤ |x1 | − x2 + 4   e) E = x = (x1 , x2 ) | |x1 | ≤ x22

N CAP´ITULO 2. TOPOLOG´IA DE R

15

N

2.2. CONJUNTOS EN R

Ra´ ul Vallejo

2.3.

Apuntes de C´ a lculo

Topolog´ıa de Rn

Definici´ on. Sea a ∈ Rn y ε > 0. Definimos la vecindad de radio ε con centro en a, denotada por Vε (a), como: Vε (a) : = {x ∈ Rn | d(x, a) < ε} = {x ∈ Rn | kx − ak < ε} Por ejemplo, si a ∈ R2 , a = (a1 , a2 ), dado un ε > 0 tenemos:   Vε (a) = x ∈ R2 | kx − ak < ε n o p ...