Esa biella-manovella - ESERCIZIO PDF

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A MANOVELLISMO DI PRIMO GENERE MECCANISMO BIELLA-MANOVELLA In figura è rappresentato un meccanismo biella-manovella, la cui manovella ha una velocità angolare oraria costante n = 1500 giri/min. Sono dati: r = 125 mm, l1 = 250 mm, l2 = 100 mm. Si vuole determinare, per la posizione in cui T = & 60°, la velocità del pistone V A , la velocità del & baricentro della biella V G e la velocità angolare E della biella. & Determinare, inoltre, l’accelerazione a A del & pistone, l’accelerazione del baricentro della biella aG e l’accelerazione angolare E Z 2 della biella, sempre nelle condizioni precedenti. Utilizzando per il disegno una scala Sd = 0.04 m/cm, le dimensioni del meccanismo diventano:

OB

r 125 mm 0.125 m

OB 3.125 cm

AG

l1

AG

6.25 cm

GB

l2 100 mm 0.1 m

GB

2.5 cm

AB

l1 l2 350 mm 0.35m

AB

8.75 cm

250 mm 0.25 m

Le dimensioni del disegno si ottengono dividendo per la scala Sd le dimensioni in m del sistema. In fig. 1 è riportato il disegno in scala del manovellismo nella configurazione dell’esempio.

fig.1 Composizione: il manovellismo di primo genere, fig. 1, è una catena cinematica composta da: 1 1 1 1

manovella OB, biella AB, corsoio o pistone C, cerniera fissa O che vincola la manovella al telaio,

Meccanica delle Macchine

1

1 cerniera mobile B (bottone di manovella o testa di biella) che vincola la manovella alla biella, 1 cerniera mobile A (piede di biella) che vincola la biella al corsoio, 1 coppia prismatica con asse AO che costringe il corsoio a traslare lungo l’asse della coppia stessa. Gradi di libertà: il manovellismo ha un solo grado di libertà, infatti ogni elemento del sistema preso separatamente (manovella, biella, corsoio) possiede nel piano 3 gradi di libertà, per cui complessivamente il sistema possiede 9 gradi di libertà prima di introdurre i vincoli. Le cerniere O, B, A, e la coppia prismatica tolgono ognuna 2 gradi di libertà, per cui i vincoli complessivamente tolgono 8 gradi di libertà . Ad ogni posizione angolare della manovella corrisponde, in modo univoco, una posizione del pistone C e viceversa. Funzionamento: il meccanismo trasforma il moto rotatorio della manovella OB in moto traslatorio alternativo del pistone C tra i due punti estremi A’ ed A” (fig. 1). Nella rotazione della manovella OB, quando il punto B passa per la posizione B’, il punto A occupa la posizione A’ (punto morto inferiore in cui la distanza A’O = AB – OB); quando il punto B passa per la posizione B”, il punto A occupa la posizione A” (punto morto superiore in cui la distanza A”O = AB + OB). La distanza A’A” percorsa dal pistone nel moto alternativo definisce la corsa c del pistone data da 2OB , cioè dal doppio della lunghezza della manovella. Ovviamente la velocità nei punti estremi della corsa è nulla. Il meccanismo permette anche la trasformazione del moto traslatorio alternativo del pistone in moto rotatorio della manovella. Determinazione delle velocità Velocità angolare della manovella Z1 = costante rad giri 2S 157  Z1 Z 1500 s min 60 La velocità del punto B appartenente alla manovella BO vale: O ( )1 Z V  kB B rad m nota in modulo: Z 1 BO Z 1 r 157  0.125 m 19.635  s s direzione: normale a OB verso: concorde con la velocità angolare Z 1 Per la determinazione del verso della velocità V B , dato dallo sviluppo del prodotto vettoriale, si può operare in questo modo: considerare il vettore (B-O) con il verso

S

nello stesso 2 verso della velocità angolare Z1, ottenendo così il vettore (B1 – O) che indica il verso da dare al vettore V B . indicato nella fig. 2 e farlo ruotare di

m è s  cm possibile ricavare il segmento rappresentativo del modulo del vettore velocità e riportarlo sul disegno; basta dividere la velocità espressa in m/s per la scala ed ottenere così il corrispondente valore in cm. fig.2

Meccanica delle Macchine

Introducendo per le velocità una scala SV

6. 4

2

m l s SV

/ms 3cm  /ms cm La velocità V B è riportata in fig. 3, in cui è evidenziata la distribuzione lineare di velocità per attorno al punto O. tutti i della manovella P Z V  kP O ( )1 V B 19.635

19.635 

1 6. 4

fig.3 Consideriamo adesso la velocità del punto A espressa con l'equazione fondamentale della cinematica del corpo rigido applicata alla biella: k (A B )2    A B VZ V in cui V B è la velocità del punto B appartenente alla biella; Z2 ) VAB / B Aè(kla velocità concui  A ruota rispetto a B; Z 2 è la velocità angolare della biella. Considerando i vettori si può osservare che: V A è noto solo in direzione (l'asse della coppia prismatica CO , in questo caso la direzione orizzontale) V B è noto in direzione verso e modulo (ricavato precedentemente come vettore velocità del punto B della manovella) Z 2  k (AB ) è noto solo in direzione, quella normale alla biella AB .

fig.4a

Si conoscono un vettore e le direzioni degli altri due per cui è possibile costruire il triangolo delle velocità per ricavare V A ed Z2, operando in questo modo: dal punto A si riporta il vettore V B , dall'estremo A1 si riporta la direzione (normale ad A B ) del vettore  punto A si riporta la direzione del Z 2  k(AB ) , dal vettore V A (direzione orizzontale), le due direzioni si

intersecano nel punto A2, fig. 4a.

Meccanica delle Macchine

3

Per determinare i versi basta ricordare che V A è la somma degli altri due vettori per cui i versi competenti ai vettori sono quelli riportati in fig. 4b. Per determinare i moduli basta rilevare i segmenti rappresentativi dei vettori e moltiplicarli per la scala delle velocità SV. fig.4b Per quanto riguarda la velocità del punto A, nota già in direzione, si possono ricavare anche il verso ed il modulo: verso è da A ad A2, per cui il punto A sta muovendosi verso O; m · m modulo VA AA2 SV §¨ 3.1 cm  6.4 ¸ 19.84 s  cm ¹ s ©





Per il vettore Z 2 verso da A1 ad A2



A A

k(A B ) , già  noto in direzione, si ricavano:



§ 1.6 cm  6.4  m · 10.24 m ¨ ¸ s  cm ¹ s © E’ possibile adesso ricavare anche la velocità angolare della biella Z2 sia in modulo che in verso.

modulo Z 2 AB

Modulo: Z2

1

2

Z 2 AB AB

SV

10.24 /ms 0.35 m

oppure operando in scala: Z 2

29.26

A2  S V AB  S d

rad s

m 1.6 cm  6.4 A s  cm 1 m 8.75 cm  0.04 cm

29.26

rad s

Verso: antiorario determinabile osservando che il vettore

Z2



k(A B ) è ottenuto facendo ruotare (A-B) di

S 2

in senso antiorario come è visibile in fig. 4c. fig.4c Il triangolo di velocità, che per chiarezza è stato sviluppato nelle fig. 4, può naturalmente essere determinato direttamente sulla figura in scala. I vettori V B , V A e V / BA sono riportati anche in fig. 3. Per quanto riguarda la velocità V G del baricentro G della biella, possiamo scrivere l’equazione fondamentale della cinematica applicata sempre ai punti della biella con riferimento al punto B: V BV VB Z/ V G k (G B) 2 G B in cui: V G è incognito in direzione, verso e modulo. V B è noto in direzione, verso e modulo. Z 2  k(GB ) è noto in direzione, verso e modulo:  direzione normale a GB , cioè alla biella; Meccanica delle Macchine

4



  

verso concordemente con il verso antiorario di Z2; modulo GB ricavabile analiticamente essendo già nota Z2 oppure graficamente osservando che tutti i punti della biella, oltre a traslare con la stessa velocità VB , ruotano attorno a B con la stessa velocità angolare Z2 e con velocità lineare proporzionale alla loro distanza dallo stesso punto B, ne risulta una distribuzione di velocità con vertice in B, come riportato in fig. 3. Graficamente: si unisce il vertice di V / BA con il punto B, linea tratteggiata in fig. 3, evidenziando la distribuzione triangolare di velocità con vertice in B; dal punto G si conduce la normale alla direzione GB , l’intersezione di questa normale con la linea tratteggiata individua l’estremo del vettore V / GB , per cui è possibile ricavare il modulo Z 2GB ed individuare completamente il vettore Z2



k(GB ) . 

A questo punto basta comporre i due vettori noti V B e Z 2



k(GB ) per  ricavare in

direzione, verso e modulo il vettore V G (fig. 5a).

fig.5a

fig.5b

In fig. 5b è riportata la costruzione grafica per definire il triangolo di velocità quando, come nel caso in esame, sono noti due vettori e si vuole determinare il vettore somma in modo univoco, operando in questo modo: dal punto G si riporta il vettore noto V B , dall’estremo G1 si riporta l’altro vettore noto V / GB , infine si congiunge il punto G con il punto G2 ottenendo così la direzione del vettore somma VG. Il verso del vettore V G è individuato rispettando la somma di vettori, mentre il modulo è definito dal segmento in scala GG2 . Per ottenere il modulo reale della velocità VG basta moltiplicare il valore del segmento GG2 per la scala SV : m · m § V G GG 2 SV ¨2.95 cm 6.4  ¸ 18.88 s  cm ¹ s © Determinazione delle accelerazioni rad Velocità angolare della manovella Z 1 157 cos tan te s rad Velocità angolare della biella Z 2 29.26 s L’accelerazione del punto B appartenente alla manovella OB vale: 2 Z 1 a  Zk1B O ( ) B O ( )   B ma Z 1 0 essendo Z 1 = costante per cui:



Meccanica delle Macchine



5

O ( ) 2 Za1 B L’accelerazione del punto B che ruota attorno ad O è data solo dalla componente centripeta nota in: direzione: secondo l’asse OB della manovella verso: da B verso O (centripeta) 2 rad m modulo: Z 12 BO 157 2 2 0.125m 3081 2 s s m Introducendo una scala delle accelerazioni Sa 500 2 è possibile ricavare il segmento s  cm rappresentativo del modulo del vettore accelerazione e riportarlo sul disegno, basta dividere m l’accelerazione espressa in 2 per la scala ed ottenere così il valore in cm: s § m 1 · § m 1 cm  s 2 · ¸ 6 16 cm . a B Z 21 BO ¨¨ 3081 2  ¸ ¨¨ 3081 2  s Sa ¹ © s 500 m¸ ¸¹ © B

L’accelerazione è riportata in fig. 6, rappresentata nella scala scelta per le accelerazioni. Consideriamo adesso l’accelerazione del punto A espressa con l’equazione, del teorema di Rivals, applicata alla biella: 2 a2 a / a ABA kZ(AB (AB ) B Ba Z 2 ) in cui: a B è l’accelerazione del punto B della biella, a / B èA l’accelerazione con cui A ruota rispetto a B con le due componenti tangenziale Z 2  k(AB ) e centripeta  Z 2 (AB )2

>

@

Considerando i vettori si può osservare che: a A è noto solo in direzione (traslazione orizzontale secondo l’asse della coppia prismatica). a B è noto in direzione, verso e modulo (ricavato precedentemente come vettore accelerazione del punto B della manovella)  Z 2  k(AB ) è  noto solo in direzione, quella normale al vettore (A-B) o che lo stesso normale alla biella AB. 2 Z 2 ( A B) è noto in direzione, verso e modulo, infatti: direzione : secondo la congiungente AB verso: da A verso B (A ruota attorno a B) rad 2 m modulo: Z 22 AB 29 26 2 2  0 35 m . 299 2 . s s Per riportare il modulo sul disegno occorre dividere per la scala delle accelerazioni Sa: § m 1 · m 1 cm  s 2 Z 22 AB ¨¨ 299 2  ¸ 299 2  # 0.6 cm s Sa ¹ s 500 ¸ m © Tutti i vettori noti e le direzioni dei vettori sono riportati sempre in fig. 6.

Meccanica delle Macchine

6



 

fig.6 Graficamente la relazione tra le accelerazioni: 2      Z 2 a a kZ(AB (AB )  A B 2 ) può essere costruita direttamente sulla fig. 6, ma per chiarezza il procedimento viene illustrato con riferimento alla figura 7a. Dal punto A si riporta il vettore a B ; dall’estremo A1 si riporta il vettore Z 22 ( A B) ; dall’estremo A 2 si riporta  la direzione (normale ad AB) del vettore Z2   k (AB ) ; dal  punto A si riporta la direzione del vettore a A . Le due direzioni si intersecano nel punto A3; in questo modo resta determinato il poligono delle accelerazioni. I versi dei vettori restano determinati dalla composizione di più vettori ( nel nostro caso 3) che danno come risultante il vettore a A (fig. 7a). Per determinare i moduli delle accelerazioni basta rilevare i relativi segmenti e moltiplicarli per la scala delle accelerazioni. Per l’accelerazione del punto A, già nota la direzione, si possono ricavare: verso: da A ad A3 il punto sta accelerando (concorde con

fig.7a V A)

modulo: a A

 AA

3

Sa

Meccanica delle Macchine



m · §  2 ¨ 2cm  500 ¸ s  cm ¹ ©

1000

m s2

7

Per il vettore Z 2  verso: da A2 ad A3 modulo:

Z 2 AB

k(AB ) , già  noto in direzione, si ricavano:

A A 2

3

Sa



m · § ¨ 5.45 cm  500 2 ¸ s  cm ¹ ©

2725

m s2

E’ possibile adesso ricavare l’accelerazione angolare Z2 della biella, sia in modulo che in verso: Z 2 AB 2725 /ms 2 rad modulo: Z 2 7786 2 s 0.35 m AB m 5.45 cm  500 2 A S A  s  cm 7786 rad 2 a 1 operando in scala: Z 2 m s2 AB  S d 8.75 cm  0.04 cm verso: orario determinabile osservando che il vettore

Z2



k(AB ) è  ottenuto facendo ruotare (A-B) di

S

2

in

verso orario così come è visibile in fig. 7b. La biella nella configurazione data sta decelerando ( Z2 discorde con Z 2 ). fig.7b

Per quanto riguarda l’accelerazione aG del baricentro G della biella, possiamo scrivere l’equazione delle accelerazioni (teorema di Rivals) applicata sempre ai punti della biella con riferimento al punto B: 2  aB aZ/ 2 a a GB kZ (GB2 ) (GB ) B in cui: a B è l’accelerazione del punto B della biella; a / è l’accelerazione con cui G ruota rispetto a B con le due componenti tangenziale G B    Z 2  k(GB ) e centripeta Z 22 (G B) . 

>

@

Considerando i vettori, si può osservare che: a G è incognito in direzione, verso e modulo; a B è noto in direzione, verso e modulo come prima; Z 2  k(GB ) è noto in direzione, verso e modulo, infatti: direzione: secondo la normale a GB verso: concordemente al verso di Z2 rad m modulo: Z 2 GB 7786 2  0.1 m 778.6 2 s s Per riportare il vettore sul disegno occorre dividere per la scala delle accelerazioni Sa : m 1 cm  s 2 · § ¸ 1.56 cm Z 2 GB ¨¨ 778.6 2   s 500 m ¸¹ ©

Z 2 (G

2 verso e modulo, infatti: B ) è noto indirezione, direzione: secondo la congiungente GB

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8

 

verso: da G verso B (G ruota attorno a B) rad 2 m  modulo: Z 22 GB 29 262 2 0 .1 m .85 .61 2 equivalente in scala a 0.17cm s s Tutti i vettori noti sono riportati in scala sul disegno di fig. 6. Graficamente il vettore aG può essere ricavato direttamente sulla fig. 6, ma per chiarezza il procedimento viene illustrato con riferimento alla fig. 8. Dal punto G si riporta il vettore noto aB ; dal punto G1 si riporta il vettore noto  2 G2 si riporta il Z 2 (G B ) ; dal punto vettore noto k GB( ) 2  fino  Z

fig.8

all’estremo G3. La congiungente G con G3 individua la direzione del vettore aG ; la regola della composizione permette di ricavare il verso da G a G3; la lunghezza del segmento GG3 moltiplicata per la scala delle accelerazioni permette di ricavare il modulo reale aG .

GG



§ 4 7 cm 500  m · a 2350 m ¨ ¸ s2 s 2  cm ¹ © In fig. 9 sono riportate tutte le grandezze cinematiche richieste dal problema. G

3

Sa

fig.9

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9

.

Z 1 0 rad

Z 1 157 rad s Z2

29.26 rad

VB

19.635 m

VA

19.84 m

VG

19. 88 m

s

s

Z 2

s2 7786 rad

aB

299 m

s

aA

s

aG

s2

s2 1000 m 2 s m 2350 2 s

Nota sulle velocità Vi è un altro metodo, oltre al precedente e sempre grafico, per ottenere le velocità VA , VG ed Z 2, facendo ricorso al centro di istantanea rotazione CV della biella. Il CV della biella si trova all’intersezione delle normali alle velocità o alle traiettorie dei punti della biella secondo le espressioni: V  VB) k( Z2   C B A

Z2



V C  VA)

k(

Z2

CG  V  V ) k( che evidenziano anche il fatto che tutti i punti della biella ruotano con velocità angolare Z2 attorno al CV e velocità, tangenti alle traiettorie circolari di centro CV, proporzionali alla loro distanza dal CV. Il metodo viene illustrato con riferimento alla fig. 10. La velocità V B del punto B è nota in direzione, verso e modulo e si ricava, come già visto, dal moto della manovella. La velocità VA del punto A non è nota, però si conosce la traiettoria del punto A, nel nostro caso retta orizzontale per A. Dal punto B si traccia la retta normale alla velocità VB ; dal punto A si traccia la retta normale alla traiettoria di A; l’intersezione delle due rette determina il punto CV (centro d’istantanea rotazione della biella). La congiungente CV con il punto G individua la retta a cui deve essere normale la VG velocità del baricentro. Da B Z 2 V VB e BC rilevando la distanza BC V 16 ,5 cm sul disegno, si ricava la V , nota velocità angolare Z2. 19.63 m s VB rad Z2 # 29 ,6 s BCV  Sd 16.5 cm  0.04 m cm Il verso della velocità angolare Z 2 della biella si ricava osservando che il punto B ruota attorno a CV con una velocità VB a cui compete una Z2 di verso antiorario. I moduli delle velocità dei punti A e G si ricavano osservando che ad essi corrispondono rispettivamente i punti G’ e A’ alla stessa distanza e con velocità VG’ e VA’ corrispondenti alla distribuzione lineare di velocità con centro in CV e riferimento VB . VA = VA’ in modulo essendo ACV = A’CV VG = VG’ in modulo essendo GCV = G’CV Ovviamente i versi delle velocità VG e VA devono essere coerenti con VB e di conseguenza con Z 2. La costruzione grafica e le velocità sono riportate nella fig. 10. G

B

B

B

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10

fig. 10

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11...