Esercizio 2 - cinematica PDF

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cinematica...

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Esercizio n.2 Nel meccanismo biella-manovella non centrato riportato in Figura 1 la lunghezza della manovella AB è 8.5 cm e quella della biella è 27 cm. La manovella è collegata al telaio per mezzo della coppia rotoidale A, e ruota con una velocità angolare costante di 100 giri/min. Tutte le coppie cinematiche sono prive di attrito. Per la posizione indicata, con angolo θ = 30°, si svolga l’analisi cinematica completa del meccanismo. B

θ C

A

2 cm

Figura 1

Il meccanismo considerato è un

MECCANISMO BIELLA -MANOVELLA

(o

MECCANISMO DI SPINTA ),

utilizzato per convertire, per mezzo della biella BC, il moto rotatorio della manovella motrice AB, in un MOTO ALTERNATIVO lineare del PISTONE C. In generale, un meccanismo biella-manovella può essere utilizzato con due obiettivi funzionali distinti: •

convertire un moto rotatorio in un moto alternativo lineare: è il caso trattato nel presente esercizio. In questo caso il membro movente è la manovella, mentre il cedente è il pistone. Meccanismi biella-manovella di questo tipo vengono impiegati nei compressori alternativi, ove la manovella è generalmente messa in rotazione da motori elettrici;

•

convertire un moto alternativo lineare in un moto rotatorio: è il caso dei motori a combustione interna, ove il membro movente è il pistone (sulla cui testa agisce la pressione generata dalla combustione della miscela aria-combustibile), ed il cedente è la manovella (solidale all’albero motore).

Il meccanismo in Figura 1 è detto

NON CENTRATO

poiché il centro della coppia rotoidale A non

giace sull’asse cinematico della coppia prismatica. In Figura 2 è riportato lo schema cinematico del meccanismo studiato.

1

B

θ C

A

2 cm

Figura 2

CALCOLO DEL NUMERO DI GRADI DI LIBERTÀ Si utilizza l’equazione di Grübler per verificare che il numero totale di gradi di libertà del meccanismo è pari ad 1. Infatti m=4 (nel conteggio si è incluso il membro di lunghezza nulla che connette la coppia rotoidale

PIEDE DI BIELLA

e quella prismatica in C), c1 =4 (vi sono tre coppie

rotoidali ed una prismatica). Quindi:

n = 3(m − 1) − 2c1 = 3⋅ (4 − 1) − 2 ⋅ 4 = 1 Alternativamente, è possibile considerare la coppia in C come una coppia di classe c2 (c2=1). In tal caso il numero totale di membri da considerare è m=3 (non va considerato il membro di lunghezza nulla che connette la coppia rotoidale e quella prismatica in C) e c1=2. Vale quindi:

n = 3(m − 1) − 2c1 − c2 = 3⋅ (3 − 1) − 2 ⋅ 2 − 1⋅ 1 = 1 Infine, si può pervenire allo stesso risultato scomponendo il meccanismo in gruppi di Assur. Si identifica immediatamente la diade RRP (di terza specie e DEGENERE visto che è nulla la lunghezza del membro che connette la seconda coppia rotoidale e la coppia prismatica) B-C ed il meccanismo base costituito dalla sola manovella motrice AB (membro movente del meccanismo). Poiché la diade non aggiunge alcun grado di libertà al meccanismo base, si verifica agevolmente che il meccanismo ha un solo grado di libertà.

ANALISI CINEMATICA DI POSIZIONE Figura 3 mostra il poligono di chiusura per il meccanismo studiato. Ai membri binari AB e BC sono   stati associati i vettori z1 e z2 . Inoltre, per descrivere la posizione del pattino in C lungo l’asse  cinematico della coppia prismatica, è stato introdotto il vettore z 3 tra il simbolo di coppia prismatica nel punto C ed il punto D fisso a telaio ed appartenente al medesimo asse. Per  semplificare i calcoli, D è stato scelto in modo tale che il vettore z4 = ( D − A) associato al telaio sia ortogonale all’asse cinematico della coppia prismatica. Questa modalità di assegnazione dei vettori

2

ha validità generale nel caso si considerino coppie prismatiche con un membro solidale al telaio (GUIDE). Nel caso di coppie prismatiche con entrambi i membri mobili rispetto al telaio (GLIFI) si dovrà in ogni caso introdurre un vettore orientato secondo l’asse cinematico della coppia (come il  vettore z 3 sopra indicato), che unisca il simbolo di coppia prismatica ad un punto opportunamente scelto sull’asse cinematico (ad esempio, potrà essere un ulteriore simbolo di copia). Seguendo il verso di percorrenza indicato in Figura 3 per l’unica maglia del poligono, si può scrivere la seguente equazione di chiusura di posizione:     z1 + z 2 + z 3 + z 4 = 0

(1)

ed in termini scalari:

B

y

 z1

 z2

A

C

 z4  z3

x

D

Figura 3

 z1 cos ϕ1 + z 2 cos ϕ 2 + z 3 cos ϕ 3 + z 4 cos ϕ 4 = 0   z1 sin ϕ1 + z2 sin ϕ2 + z3 sin ϕ3 + z4 sin ϕ4 = 0

(2)

In questo esercizio si è posizionata l’origine del sistema di riferimento nel punto A e si è orientato l’asse x parallelamente all’asse cinematico della coppia prismatica in modo tale da avere ϕ1 = π − θ . Tale scelta semplifica l’impostazione del problema. La seguente tabella mostra quali termini z i e ϕi sono noti e quali incogniti: Tabella 1

ϕ1 = π − θ = 5 π 6 rad : coordinata libera ϕ 2 = ? : orientazione della biella, incognita del

z1 = AB = 8.5 ⋅10 −2 m : lunghezza manovella z2 = BC = 27 ⋅10 −2 m : lunghezza biella

problema cinematico z3 = ? : posizione pistone, incognita del ϕ 3 = 0 : asse cinematico della coppia C problema cinematico parallelo all’asse x  −2 z4 = 2 ⋅10 m : distanza tra A e C misurata sulla ϕ 4 = π / 2 rad : z 4 è ortogonale all’asse x verticale. I valori costanti assunti da ϕ 3 e ϕ 4 consento di riscrivere il sistema (2) come segue: 3

 z1 cos ϕ1 + z 2 cos ϕ2 + z3 = 0   z1 sin ϕ1 + z2 sin ϕ2 + z4 = 0

(3)

La seconda equazione del sistema (3) è nella sola incognita ϕ 2 , e può essere agevolmente risolta in forma analitica:

sin ϕ 2 = − ( z1 sin ϕ1 + z4 ) z2 Questa equazione ammette due soluzioni nell’intervallo [0,2π ] : 1. ϕ 2 = arcsin (− (z1 sinϕ 1 + z 4 ) z 2 ) = 6.050 rad 2. ϕ 2 = π − arcsin (− (z 1 sin ϕ1 + z 4 ) z 2 ) = 3.375 rad Le due soluzioni calcolate corrispondono alle due configurazioni mostrate in Figura 4, entrambe compatibili con il valore assunto dalla coordinata libera ϕ 1 . Naturalmente, la configurazione di interesse nel presente esercizio è quella rappresentata in nero, corrispondente al secondo dei due valori calcolati sopra.

B

y

 z2

 z2

 z1

C

A

 z3

 z4 D

x

C

 z3

Figura 4

La prima equazione del sistema (3), lineare nell’incognita z3 , consente di ricavare il valore (unico) di tale incognita:

z 3 = −z1 cos ϕ1 − z 2 cos ϕ 2 = 0 .3363 m Si noti che se si fosse interessati alla seconda soluzione compatibile con il valore assegnato della coordinata libera, la precedente relazione, calcolata con ϕ2 = 6 .050 rad , fornirebbe z3 = − 0.1891 m, ove il segno negativo del modulo (apparentemente scorretto) è coerente con il cambio di  orientazione del vettore z3 mostrato in Figura 4. Per il meccanismo di spinta considerato, è stato quindi possibile risolvere il problema cinematico di posizione senza ricorrere ad un metodo di soluzione numerico iterativo.

4

ANALISI CINEMATICA DI VELOCITÀ Derivando rispetto al tempo le equazioni di chiusura di posizione in forma scalare (3) si possono ottenere le equazioni di chiusura di velocità in forma scalare. Si osservi che:   • i vettori z1 e z2 , nel tempo, possono solo variare l’orientamento, quindi la loro velocità

•

angolare sarà, in generale, diversa da zero, mentre le velocità relative saranno sempre uguali a   zero. Nelle equazioni di chiusura di velocità troveremo quindi i soli contributi dei vettori ω1 × z1   e ω2 × z 2 ;  il vettore z3 , nel tempo, può solo variare in modulo, quindi la sua velocità angolare sarà sempre uguale a zero, mentre la velocità relative sarà, in generale, diversa da zero. Nelle equazioni di  chiusura di velocità troveremo quindi il solo contributo del vettore w3 ;

•

 il vettore z4 , poiché solidale al telaio, non fornisce alcun contributo.

Si può quindi scrivere:

− z1 sin ϕ1ϕ1 − z2 sin ϕ2ϕ 2 + z3 = 0   z1 cos ϕ1ϕ1 + z 2 cos ϕ2 ϕ 2 = 0

(4)

È noto che la manovella motrice ruota con velocità angolare costante ϕ1 = 100

giri rad . Si =10 .47 min s

può quindi riscrivere il sistema in forma matriciale, e risolvere:

z − z 1 sin ϕ1  − 2.935 rad / s − z 2 sin ϕ 2 1   ϕ 2  ϕ 2  −1  − 1 sinϕ1  ⋅   = −   ⋅ϕ1    = −[J ] ⋅  ⋅ ϕ1 =   z  z 0 2 cos ϕ 2   0.6284 m / s   z 3   z1 cos ϕ1   z1 cosϕ1    3  [J ]

ANALISI CINEMATICA DI ACCELERAZIONE Si derivino due volte rispetto al tempo le equazioni di chiusura del sistema (3): − z 1 cos ϕ1ϕ12 − z 2 cos ϕ 2ϕ 22 − z 2 sin ϕ2ϕ2 + z3 = 0 (5)  − z1 sin ϕ1ϕ12 − z 2 sin ϕ2ϕ22 + z2 cos ϕ2ϕ2 = 0   Si osservi che i vettori z1 e z2 , di lunghezza fissa, non introducono contributi legati alle  accelerazioni relative e complementari. Il vettore z3 , invece, potendo variare solo in modulo, introduce il solo contributo legato all’accelerazione relativa. Infine, poiché la manovella ruota a velocità angolare costante, l’accelerazione angolare ϕ1 della manovella è pari a zero, e nullo è naturalmente anche il contributo legato a tale accelerazione angolare. La soluzione del precedente sistema, lineare nelle incogniteϕ2 e z3 , è:

5

2 2 ϕ2  − z 1 cos ϕ1ϕ 1 − z 2 cosϕ 2ϕ 2  − 15.695 rad / s2  −1  = = − ⋅ J []     2 2   − z 1 sinϕ1ϕ 1 − z 2 sinϕ 2ϕ 2   − 9 .353 m / s2   z3 

M ETODO DI SOLUZIONE BASATO SULLA SCOMPOSIZIONE IN G RUPPI DIA SSUR Per completezza, si risolve il solo problema cinematico di posizione seguendo l’approccio basato sulla scomposizione del meccanismo in gruppi di Assur. Come già evidenziato, si può scomporre il meccanismo in una diade degenere di terza specie B-C ed in un meccanismo base costituito dalla manovella motrice AB. La sequenza di soluzione da seguire è quindi: meccanismo base  diade B-C. Analizzare il meccanismo base significa, di fatto, calcolare la posizione dell’estremo B della manovella cui la diade si collega: Mantenendo in A l’origine del riferimento, e conservando la simbologia precedentemente utilizzata, si può scrivere:

 xB − xA = z1 cos ϕ1 x B = z1 cos ϕ1 = −0.0736 m   y B = z1 sin ϕ1 = 0.0425 m  y B − y A = z1 sin ϕ1 In generale, la soluzione in forma analitica del problema cinematico di posizione per una diade di terza specie si ottiene proiettando i vettori del poligono di chiusura della diade lungo l’asse cinematico della coppia prismatica ed in direzione ortogonale allo stesso asse. Si introducano   quindi, come mostrato in Figura 5, due vettori z 5 e z6 , uno parallelo e l’altro ortogonale all’asse cinematico e la cui intersezione identifica il punto E.

B

 z1

 z2

 z6

C

y A x

 z5

E Figura 5

Le

coordinate del

punto E nel

riferimento cartesiano sono: xE = x B = −0.0736 m

e

y E = yC = −0 .02 m . Di conseguenza, si ricava immediatamente: z6 sin ϕ 6 = z6 = yB − yE = 0.0625 m essendo ϕ 6 = π 2 rad .

6

Proiettando ora l’equazione di chiusura lungo l’asse ortogonale all’asse cinematico, in questo caso parallelo all’asse y, si ottiene: z6 + z2 sin ϕ2 = 0 . Nel risolvere tale equazione non lineare bisogna tenere presente che due sono le soluzioni possibili:

ϕ 2 = arcsin (− z 6 z 2 ) = − 0.2336 rad e ϕ 2 = π − arcsin( − z 6 z 2) = 3.375 rad . La seconda delle due soluzioni calcolate è, come già osservato, quella che corrisponde alla configurazione considerata. Dalla proiezione dell’equazione di chiusura lungo l’asse cinematico della coppia prismatica, parallelo all’asse x, si può infine ottenere: z5 = − z 2 cos ϕ 2 = 0 .2627 m . A verifica della correttezza del risultato ottenuto, si osservi che sommando a z 5 la proiezione del  vettore z1 lungo l’asse x si ottiene: z 5 + z1 cosθ = 0.3363 m = z 3 .

Si prega di segnalare eventuali errori a: Prof. Alberto Trevisani Dipartimento di Tecnica e Gestione dei sistemi industriali (DTG) Università degli Studi di Padova Stradella S. Nicola 3, 36100 VICENZA email: [email protected]

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