Esame Statistica con soluzioni - Corso Spes Unimi Prof. Leorato PDF

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Simulazione D'esame statistica - Corso Management Prof. Samantha Leorato UNIMI...

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Modulo di Statistica Durata della prova 45 minuti Domanda 1 Si osserva il carattere “colore degli occhi” in una popolazione. Si tratta di un carattere: a) Quantitativo discreto c) Qualitativo sconnesso

b) Qualitativo ordinale d) Quantitativo continuo

Domanda 2 Quale dei seguenti non `e un indice di dispersione a) Il coefficiente di variazione c) La varianza

b) L’intervallo interquartile d) La mediana

Domanda 3 Se il coefficiente di correlazione ρXY = 0 allora a) X e Y sono incorrelate c) X e Y sono indipendenti

b) X e Y sono legate da una relazione lineare inversa d) X e Y sono legate da una relazione lineare diretta

Domanda 4 Si supponga di osservare la distribuzione congiunta dei due caratteri qualitativi: X = genere e Y = ruolo accademico (Ricercatore, Professore associato, Professore ordinario). Per verificare l’ipotesi che la distribuzione in ruolo accademico sia indipendente dal genere, `e opportuno utilizzare a) Il coefficiente di correlazione R2 c) Il test T per ipotesi sulle medie

b) Il test del chi-quadrato d) Il test Z per la differenza tra proporzioni

NB. Negli esercizi, nel caso di numeri piccoli, si consiglia di tenere almeno le prime 3 cifre diverse dallo zero, dopo la virgola (es. 0.000223) Esercizio 1 Si considerino i seguenti dati relativi allo stato di Israele e a persone di et`a superiore a 50 anni (dati riferiti al 15 agosto 2021, dati soggetti ad arrotondamento) Vaccinati Non vaccinati Totale Ricoverati 330 170 Nessun ricovero o negativi 2132670 2318500 Totale 186000 2319000 a) Si completi la tabella. b) Si verifichi l’ipotesi che ricoveri e vaccinazioni siano due fenomeni indipendenti (ad un livello α = 0.0005); c) Si usi un test appropriato per verificare l’ipotesi che il vaccino sia inutile o addirittura dannoso (contro l’alternativa che sia invece efficace a ridurre la probabilit`a di ricovero), ossia, indicando con pV la probabilit`a di ricovero di un vaccinato e con pN quella di un non-vaccinato, verificare H0 : pV ≥ pN contro l’alternativa H1 : pV < pN al livello dell’1%. 1

Esercizio 2 Il pronto soccorso policlinico Casilino (RM), nel mese di agosto, ha osservato: (i) Un caso positivo Covid-19 ogni 770 vaccinati (ii) Un caso positivo Covid-19 ogni 33 non-vaccinati Sapendo che, nella regione Lazio, circa il 70% della popolazione `e vaccinata: a) Calcolare la probabilit`a che il test di un qualsiasi paziente del pronto soccorso sia positivo b) Calcolare la probabilit`a che un paziente testato positivo sia vaccinato c) Calcolare la probabilit`a che, su un gruppo di 1000 test effettuati in ospedale, ci siano almeno 14 positivi.

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Soluzioni Domanda 1: c) Qualitativo sconnesso Domanda 2: d) La mediana Domanda 3: a) X e Y sono incorrelate Domanda 4: b) Il test del chi-quadrato Esercizio 1 Esercizio 1 a) Ricoverati Nessun ricovero o negativi Totale

Vaccinati Non vaccinati Totale 330 170 500 2132670 185830 2318500 2133000 186000 2319000

b) L’ipotesi di indipendenza pu`o essere verificata usando un test del chi-quadrato.   2 2 2 2 2132670 185830 170 330 − 1 = 0.000197295 + + + χ˜2 = 186000 ∗ 2318500 500 ∗ 2133000 500 ∗ 186000 2318500 ∗ 2133000 da cui χ2 = 2319000 ∗ 0.00019729 = 457.5 Questo valore `e molto maggiore del valore critico al livello α = 0.0005, che (dalle tavole) risulta essere uguale a 12.115 (dalla riga corrispondente a df=1), quindi possiamo decisamente rifiutare l’ipotesi di indipendenza dei ricoveri dalla vaccinazione. c) Mentre il test precedente consente soltanto di verificare se la vaccinazione non abbia alcun impatto rilevante sulla probabilit`a di ricovero, in questo caso vogliamo escludere che i vaccinati abbiano un maggior rischio di essere ricoverati. Possiamo utilizzare un test di confronto tra proporzioni, dove: pV = 330/2133000 = 0.000154712 = ricoveri vaccinati su totale vacicnati pN = 170/186000 = 0.00091398 = ricoveri non vaccinati su totale non vacicnati La statistica da utilizzare `e:

dove pˆ =

nV pv +nN pN nv +nN

=

500 2319000

pN − pV Z=r   pˆ(1 − pˆ) n1V + n1N

= 0.00021561. Quindi, otteniamo Z = 21.3898

Rifiutiamo l’ipotesi nulla (all’1%) nel caso in cui Z > z0.01 = 2.33. Visto che 21.38 `e decisamente maggiore di 2.33, possiamo concludere che la probabilit`a di ricovero di un vaccinato `e inferiore a quella di un non vaccinato. P.S. Il numero reale di casi tra i vaccinati `e stato aumentato da 290 a 330, mentre i ricoverati tra i non vaccinati sono stati arrotondati da 171 a 170, per poter avere un totale di esattamente 500 casi di ricovero. Anche il totale di vaccinati e non vaccinati sono stati ridotti (per arrotondamento): le 3

frequenze reali sono 186078 non vaccinati e 2133516 vaccinati. Utilizzando la tabella a doppia entrata realmente osservata le statistiche test avrebbero avuto valori ancora pi` u alti. Esercizio 2 Anche in questo caso i dati reali sono stati approssimati per ottenere una probabilit` a P (P os) esatta: il valore realmente osservato `e P (P os | V acc) = 1/789, quindi ancora inferiore a quello utilizzato nell’esercizio. a) Calcolare la probabilit` a che un qualsiasi paziente sia positivo. Si ha che P (P os | V accino) = 1/770, mentre P (P os | N o V accino) = 1/33, quindi: 1 1 P (P os) = P (P os | V acc)∗P (V accino)+P (P os | N o V acc)∗P (no vacc) = 0.7∗ +0.3∗ = 0.01 770 33 b) Calcolare la probabilit` a che un paziente testato positivo sia vaccinato. Si calcola la probabilit` a condizionata: P (V accino | P os) =

P (P os | V accino)P (vaccino) 0.7/770 = 0, 09090909 = 0.01 P (P os)

c) Calcolare la probabilit`a che, su un gruppo di 1000 test effettuati in ospedale, ci siano almeno 14 positivi. Definiamo la variabile X = {numero di positivi su 1000 test}. Si ha X ∼ Binomiale(0.01, 1000), che pu` o essere approssimata, poich´e n = 1000 `e sufficientemente grande, con una v.a. gaussiana: X − 10 X − 0.01 ∗ 1000 √ = √ ≈ Z ∼ N (0, 1). 1000 ∗ 0.01 ∗ 0.99 9.9 Quindi, possiamo scrivere P (X > 14) = P



X − 10 14 − 10 √ > √ 9.9 9.9

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

≈ P (Z > 1.27) = 1 − 0.898 = 0.102...