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CORSI DI STUDI: INGEGNERIA CIVILE (Classe L-7); INGEGNERIA INDUSTRIALE (Classe L-9) Esame di ISTITUZIONI DI MATEMATICA

6 c.f.u.

Prof. Matteo Cavaleri

Il candidato risolva i seguenti esercizi mettendo in evidenza i passaggi utilizzati.

Esercizio 1 Risolvere le seguenti disequazioni (4,4,4,5 punti rispettivamente). a)

|x + 2| − x2 ≤0 x2 + 3

b)

√ x > 1 − 2x;

c) log1/3 (3x2 − 2x) ≥ 0; d)

sin(x) − 2 sin(x) cos(x) > 0, cos(x) − 7

x ∈ [0, 2π).

Soluzione esercizio 1

(a) x ≤ −1 ∨ x ≥ 2 1 (b) x > 4 1 2 (c) − ≤ x < 0 ∨ < x ≤ 1; 3 3 π 5π (d) 0 < x < ∨ π < x < 3 3 Esercizio 2 Calcolare il seguente limite (3/30).  3 √ √ n +5 n 5 2n ln n→∞ n3 lim



Soluzione esercizio 2 √ 5 2.

Esercizio 3 Calcolare il seguente limite (3/30). lim

n→∞



n2 + 1 n2 − 2

n−1  2n4 +7 2 n +1

Soluzione esercizio 3 e6 .

Esercizio 4 Studiare la convergenza della seguente serie (3/30). ∞ X n3 + n2 + sin(n) n=1

n5 + 5

Soluzione esercizio 4 La serie converge.

Esercizio 5 Siano dati i numeri complessi z1 = 2 − 3i, z2 = −5 + i, z3 := 7 − 18i. Calcolare argomento e modulo del seguente numero complesso (2/30): z1 z2 + z3 . Soluzione esercizio 5 Argomento: Modulo: 1.

3 π, 2

GLI STUDENTI CHE NON HANNO SVOLTO LE E-TIVITY O CHE NON SONO SODDISFATTI DEL PUNTEGGIO OTTENUTO DALLE E-TIVITY POSSONO SVOLGERE I SEGUENTI ESERCIZI. IMPORTANTE: La compilazione parziale o totale della seguente sezione di esercizi annulla la valutazione delle e-tivity. Esercizio 6 Calcolare il dominio della seguente funzione (1,5/30) f (x) =

p

x3

−

2 x2

+

r 3

x2 − 16 , x−6

Soluzione esercizio 6

Dom(f ) = {x ∈ R : x = 0 ∨ 2 ≤ x < 6 ∨ x > 6}, Esercizio 7 √ Sia dato il numero complesso z = 1 + 3i, calcolare z 5 . (1,5/30)

Soluzione esercizio 7

√ 16 − 16 3i

Il tempo a disposizione per la prova è di 90 minuti. Lo studente deve rispondere attenendosi rigorosamente ai quesiti proposti.

Data Firma dello Studente...