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PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA SEGUNDA EDICIÓN RUFINO MOYA C. Facultad d e C ien cias N atinales y Matemática. Universidad N acional dei Callao, Perú, GREGO RIO SA R A V IA A . D ep a rta m en to d e Estadística. Universidad Fed eral d e Minas Gerais, Brasil PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADIS...

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PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA SEGUNDA EDICIÓN

RUFINO MOYA C. Facultad d e C ien cias N atinales y Matemática. Universidad N acional dei Callao, Perú,

GREGO RIO SA R A V IA A . D ep a rta m en to d e Estadística. Universidad Fed eral d e Minas Gerais, Brasil

PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADISTICA Rufino Moya C. Gregorio Saravia A. Impreso en Perú

Printed in Perú

Hecho el depósito legal. Ley N° 26905 ©

Derechos Reservados del Autor Prohibida la reproducción total o parcial de la obra, sin previa autorización escrita del Autor y del Editor de la misma.

©

Aníbal Jesús Paredes Galván - Edito Derechos Reservados Jr. Natalio Sánchez 220 - Ofic. 1101

Composición y Diagramación: Rufino Moya C Montaje: Editorial San Marcos RUC: 11029221

PRÓLOGO A LA SEGUNDA EDICIÓN

T i deseo de mejorar et contenido y ía e?qposición pedagógica de ía primera edición nos fia [(evado a preparar ésta. Los cornejos de algunos colegas y la experiencia con ía primera edición fia permitido escribir este, que esperamos constituya un mejor texto. Asimismo esperamos que las adiciones e innovacio­ nes contribuya a conseguir estos objetivos. Tsta versión presenta e l mismo esquema de la primera edición. Asi, por la diversidad de sus ejemplos y problemas propuestos este libro será degran ayuda a estudiantes de \Estadística, Ingeniería, Tconomía, (Biología, Ciencias, etc. y consta de 9 capítulos, los 6 primeros tratan e l cálculo de probabilidades. 'Éstos ^ abarcan la probabilidad, aquí se ha introducido nociones de (a teoría de confiabilidad; las variables aleatorias; Cas distribuciones de probabilidad dis­ cretas y continuas. T n las distribuciones discretas se consideran también la multinomialy unageneralización de la fiipergeométrica. Los capítulos 7,8 y 9 abordan la inferencia estadística. ‘Muchas personas fian colaborado para la existencia de este libro. (Destacan: (VAL‘E9\(TÍ9{'% V TQ A SALAS gerentegeneral de EditorialCiencias por per-

mitimos usar libremente su taller y Brindado todas (as facilidades; 9fá9\(cy T'EflSl 'MU'E'Bjyt secretaria de 'Editorial Ciencias en e l mecanografiado del original; SVM'EfJCO C U LQ U 'E CfUJ&JLLO estudiante de la facultad de Ciencias \Económicas de la Universidad Oracional del Callao en la d ifícil tarea de corrección del mecanografiado y e l montaje; Lie . en matemática SÜ^MAOj^ 'DO ‘V*£%¿E!XP (B. quien estuvo siempre dispuesto a colaborar desinteresadamente en lasgráficas y con sus consejos; R 9 {l(B5\L TSAffSD'ES (jRL'VÁlhjpor faber aceptado e l reto de 'Editar este te$to. 'También egresamos nuestro agradecimiento a todos los colegas de las dife­ rentes Universidades delpaís que nos fian honrado a l utilizar (a primera 1 Edi­ ción, especialmente a JUJA a v b". Entonces, A = {xe ! R / a < c < x < b ) . EJEMPLO 20 En el experimento aleatorio del ejemplo 14, sea A : "Se necesita más de cuatro lanzamientos". Entonces, A = {SSSSC , SSSSSC , SSSSSSC, Consideremos ahora los espacios muéstrales del ejemplo 1. Asi tenemos que, en

8} :

s C v h>2 " S , son sucesos;

En

íl2 : wj * 1 , üj2 s 2 , w 3 = 3 ,

- 4 , tü5 = 5 , io6 = 6 son

sucesos.

Finalmente diremos que un suceso w es favorable a un evento A, si aje A. Así SSSSC es un suceso favorable al evento A del ejemplo 20, igualmente los su­ cesos SSSSSSC , SSSSSSSC; son favorables al evento A, en cambio no lo son C, SC , SSC. EJEMPLO 21 Sea el experimento, e : "lanzar una moneda tres veces", y sea el suceso oi3 = SCS. Hallar los posibles eventos en los cuales ü>3 sea un su­ ceso favorable. SOLUCION La Selección de

üj3,

implica la ocurrencia de los siguientes even­

tos (y de muchos más). Los eventos que a continuación se dan son eventos di^ ferentes y no son representaciones diferentes del mismo evento. Ai : "ocurre exactamente dos sellos"; A 2 : "ocurre a lo más una cara" y A 3 : "en el segundo lanzamiento sale una cara". EJEMPLO 22 En el espacio muestral del ejemplo 9, describir los

siguientes

eventos: A : "Todas las damas escogen la tienda 1 ó todas escogen la tienda 2". B : "Dos escogen la tienda 1 y las otras dos la tienda 2".

Probabilidad e Inferencia Estadística

15

SOLUCION A * { ( 1 , 1 , 1 , 1 ) * (2 , 2 , 2 , 2 )}. B = {(xj , x2 » x 3 , xu) / 2 x. son 1 , 2 x. son 2 }. \

A*

EJEMPLO 23 Considere el espacio muestral del ejemplo 10 y escriba loselemen tos de los siguientes eventos: A : "Todos los transistores están apagados o todos están prendidos". B : "Sólo el último transistor verificado está prendido". SOLUCION

A = {(0 , 0 ,0 , 0 , 0) , (1 , I , 1 , 1 , 1)}. B = í(0 # 0 ,0 # 0 , 1)}. PROBLEM AS \2

1. Dé un ejemplo de experimento aleatorio que es de interés para (a) un in­ geniero electricista, (b) un economista, (c) el gerente de una compañía de

automóviles, (d) un ingeniero de comunicaciones, (e)

un

especialista en genética, (g)un biólogo,

unmédico,

(h) un gerente

(f) -

deventas.

2. Construir el espacio muestral apropiado para los siguientes experimentos aleatorios. (a) Elegir una carta de una baraja de 52 cartas. (b)

Verificar el estado de dos transistores (apagado o prendido).

(c)

Verificar el estado de 10 transistores iguales (apagado o prendido).

(d)

Se lanzan n monedas y se observa el número de caras.

(e)

Se pregunta a una persona por la fecha de su nacimiento (día del año).

(f) Inspeccionar las medidas de seguridad contra accidentes de una fábrica. (g) Se pregunta a n personas por la fecha de su nacimiento (día del año). (h) Un dardo se lanza en un blanco circular de radio r . (i) Extraer una muestra de 5 bolas con reemplazamiento de una urna que con­ tiene 12 bolas diferentes (esto es, las bolas se devuelve a la urna

an­

tes de extraer por segunda vez). 3. Un inversionista planea escoger dos de las cinco oportunidades de inver­ sión que le han recomendado. Describa el espacio muestral que representa las opciones posibles. 4. Tres artículos son extraídos con reposición, de un lote de mercancías; cada artículo ha de ser identificado como defectuosos "Du y no defectuo­

Rufino Moya C - Gregorio SaraoUr A.

so "N“ . Describa todos los puntos posibles del espacio muestral para este experimento. 5. Dos personas A y B se distribuyen al azar en tres oficinas numerada 1, 2 y 3. Si las dos personas pueden estar en la misma oficina, defina un espa_ ció muestral adecuado. 6 . Tres personas A , B y C se distribuyen al azar en dos oficinas

numeradas

con 1 y 2. Describa un espacio muestral adecuado a este experimento, (a) si los tres pueden estar en una misma oficina; (b) sí sólo se puede asi£ nar una persona a cada oficina. 7. Durante el día, una máquina produce tres artículos cuya calidad

indivi­

dual, definida como defectuoso o no defectuoso, se determina al final del día. Describa el espacio muestral generado por la producción diaria. 8 . El ala de un avión se ensambla con un número grande de remaches. Se ins­

pecciona una sola unidad y el factor de importancia es el número de rem^ ches defectuosos. Describa el espacio muestral. 9. Suponga que la demanda diaria de gasolina en una estación de servicio es^ tá acotada por 1,000 galones, que se lleva a un registro diario de venta. Describa el espacio muestral. 10. Se desea medir la resistencia al corte de dos puntos de soldadura. Supo­ niendo que el límite superior está dado por U, describa el espacio mues­ tral . 11. De un grupo de transistores producidos bajo condiciones similares, se e£ coge una sola unidad, se coloca bajo prueba en un ambiente similar a uso diseñado y luego se prueba hasta que falla. Describir el

espacio

su -

muestral 12. En el problema 11. (a) suponga que el experimento consiste en extraer dos transistores y se prueba hasta que fallan. Describir el espacio muestral (b) suponga que el experimento consiste en escoger 5 transistores y se prueba hasta que fallan. Describir el espacio muestral. 13. Una urna contiene cuatro fichas numeradas: 2,4,6, y 8 ; una segunda

urna

contiene cinco fichas numeradas: 1,3,5,7, y 9. Sea un experimento aleato rio que consiste en extraer una ficha de la primera urna y luego una fi­ cha de la segunda urna, describir el espacio muestral. 14. Una urna contiene tres fichas numeradas: 1,2,3; un experimento

consiste

en lanzar un dado y luego extraer una ficha de la urna. Describir el es-

s' \ '

y 7

Probabilidad c Inferencia Estadística

pació muestral. 15. Una línea de producción clasifica sus productos en defectuosos "D" y

no

defectuosos "N". De un almacén donde guardan la producción diaria de esta línea, se extraen artículos hasta observar tres defectuosos consecutivos o hasta que se hayan verificado cinco artículos. Construir el espacio

-

muestral. 16. Lanzar un dado hasta que ocurra el número 4. Hallar el espacio

muestral

asociado a este experimento. 17. Una moneda se lanza tres veces. Describa los siguientes eventos: A

"ocurre por lo menos 2 caras".

B

"ocurre sello en el tercer lanzamiento". "ocurre a lo más una cara".

18. En cierto sector de Lima, hay cuatro supermercados (numeradas 1,2,3,4). Seis damas que viven en ese sector seleccionan al azar y en forma

inde­

pendiente, un supermercado para hacer sus compras sin salir de su sector (a) Dar un espacio muestral adecuado para este experimento. (b) Describir los siguientes eventos: A : "Todas las damas escogen uno de los tres primerossupermercados" B : "Dos escogen el supermercado N° 2 , dos el supermercado N°3 y las

-

otras dos el N° 4". C : "Dos escogen el supermercado N° 2 y las otras diferentes supermerca­ dos". 19. Tres máquinas idénticas que funcionan independientemente se mantienen funcionando hasta darle de baja y se anota el tiempo que duran.

-

Suponer

que ninguno dura más de 10 años. (a) Definir un espacio muestral adecuado para este experimento. (b) Describir los siguientes eventos: A : "Las tres máquinas duran más de 8 años". B : "El menor tiempo de duración de los tres es

de 7 años".

C : "Ninguna es dada de baja antes de los 9 años". D : "El mayor tiempo de duración de los tres es

de 9 años".

20. En el espacio muestral del problema 4, describe los siguientes eventos: A : "Ocurre al menos 2 artículos no defectuosos". B : "Ocurre exactamente 2 artículos no defectuosos". 21. En el problema 16, describir el evento, "se necesitan por lo menos 5 lan zamientos".

22. El gerente general de una firma comercial, entrevista a 10 aspirantes

a

un puesto. Cada uno de los aspirantes es calificado como: Deficiente, íte guiar, Bueno, Excelente. (a) Dar un espacio muestral adecuado para este experimento . (b) Describir los siguientes eventos. A : "Todos los aspirantes son calificados como deficientes o excelentes". B : "Sólo la última persona extrevistada es calificado como excelente'. 23. Considere el experimento de contar el número de carros que pasan por

un

punto de una autopista. Describa los siguientes eventos: A : "Pasan un número par de carros". B : "El número de carros que pasan es múltiplo de 6 ". C : "Pasan por lo menos 20 carros". D : "Pasan a lo más 15 carros". 24. En el problema 12. Describir los siguientes eventos. (1) en la parte (a). A : "Los dos transistores duran a lo más 2,000 horas". B : "El primero dura más (2)

de 2,000 horas, el otro menos de 3,000 horas".

En la parte (b).

A : "Los cinco duran por

lo menos 1,000 horas pero menos de 2,000 horas".

B : "El primero dura más

de 2,000 horas, los demás a lo más 2,500 horas".

1 3 ALGEBRA DE EVENTOS___________________________________________ Hemos identificado el espacio muestral con el conjunto universal de la teoría de conjuntos, y los eventos como subconjunto del espacio muestral. Identificaremos también el conjunto vacio () de la teoría de conjuntos con el evento imposible, esto es, un evento que no ocurre. Por ejemplo, en el experimento lanzar dos dados simultáneamente, el evento A : "obtener suma 14", es un evento imposible. Al espacio muestral se llama también evento se guro. En lo que sigue haremos una breve exposición a manera de revisión de la teo ría de conjuntos en el lenguaje de eventos. Es decir, desde que los eventos son conjuntos, las operaciones de intersección "H", unión "U", inclusión " c " serán definidos para eventos; las leyes y prooiedades de la teoría de conjuntos son válidas.

13.1 O PERACIO NES CON EVENTOS

SUB-EVENTOS Dado dos eventos, A y B se dice que A está contenido en B o nue A es sub-evento de B y denotado por " A c 8 ", si todo suceso favorable a A, es favorable a B. En otras palabras, si ocurre el evento A, entonces

ocurre

el evento B. (Ver fig. 1.3.1a). En símbolos A cz B , si w € A

*> ü> € B.

EJEMPLO 1 Consideremos el experimento, lanzar una moneda hasta que ocurra cara y contar el número de lanzamientos de la moneda. Definimos los siguien­ tes eventos. A :

"Se necesita

por lo menos 20 lanzamientos*'.

B :

"Se necesita

más de 5lanzamientos".

En este experimento el espacio muestral es = {1,2,3,4,5, Entonces,

A = {20 , 21 , 22, ... } B = {6 , 7 , 8 , 9 , 10, ...}

es claro que

A c B.

IGUALDAD DE EVENTOS Se dice que dos eventos A y B son tguatcA t y se por "A = B", si

denota

A c B y B c A .

EJEMPLO 2 En el experimento del ejemplo 1, consideremos los eventos, A :

"Se necesita a lo más

10 lanzamientos".

B :

"Se necesitamenos de 11 lanzamientos".

Entonces, A * {1 , 2 , 3 , 4 . 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10}

y

B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,8 ,9 , 10} es claro que

A = B.

UNION DE EVENTOS Dado dos eventos

A y B, se llama unión de. A con B y se de­

signa por UA U B" al evento formado por los sucesos que pertenecen a A 5 a B ó a ambos, es decir si ocurre el evento A ó B ó ambos. En símbolos (ver fig, 1.3.1a) A U B = (o)€fi/u)€ A

V

w

EB)

EJEMPLO 3 En el experimento del ejemplo 1, consideremos los siguientes everi tos .

t .

tV W m lf\\

Rufino Moya C. - Gregorio SaraOia A.

VCVV Vs

A : "Se necesita un número par de lanzamientos". B : "Se necesita más de 10 lanzamientos". Fs decir, A = (2 , 4 , 6 , 8 , 10, ...} B = {11 , 12 , 13 , 14, ...} Entonces, es claro que

A U B = {2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 11, 12 , 13 , 14, .. n

En general, se dice que ocurre el evento M

A., sí y sólo sí ocurre al

me-

nos uno de los eventos A. . a.

INTERSECCION Dado los

eventos A y B, sellama ¿ntexAzctUÓn d& A con 8 y

denota "A n B", ó "AB"

al evento formado por todos los sucesos favorables

a

A y a B. Es decir, ambos eventos A y B ocurren (la ocurrencia conjunta de

A

se

y B). En símbolos (ver fig. 1.3.1c) AB = A fl B = (üj € Q f oiEA A tüEB) EJEMPLO 4 En los eventos A y B del ejemplo 3. Se tiene que A D B = {12 , 14 , 16 , 18, ...} n

En general se dice que

ocurre el evento

p|

A. ,si y sólo si ocurren

to*

dos los eventos A. . -c DIFERENCIA Dado los eventos

A y B, se llama dliexencAJi de. A

cor

B y se de­

nota "A - B" al evento formado por los sucesos favorables a A que no son fa­ vorables a B. En símbolos (ver fig. 1.3.Id). A - B = {w€ íí / t o € A A ü > í B} EJEMPLO 5 En los eventos A y B definidos en el ejemplo 3, se tiene que A - B = {2 , 4 , 6 , 8 , 10}

y

B - A = {11 , 13 , 15 , 17,..,} COMPLEMENTO Si A es un evento del espacio muestral íl, se llama Complemento

dz A, denotado por A'o Á al evento formado por todos los sucesos que no per­ tenecen a A. Es decir, no ocurre el evento A. En símbolos. (Ver fig. 1.3.le) A' = Á = n - A = { w e n / w <

A}

EJEMPLO 6 Los complementos de los eventos definidos en el ejemplo 3, respectivamente:

son -

Probabilidad e Inferencia Estadística

Á = { 1 , 3 , 5 , 7 , . . . } = { ü) é Q / B

w

es impar}

{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 , 10}

Fig. 1.3.1

LEYES DISTRIBUTIVAS Dado los eventos A , B y C, entonces

(Di) : A n (B U C) = (A n B ) U ( A n C) (D2 ) : A U (B n C) = ( A U B ) n ( A U C ) A manera de ilustración presentaremos la demostración de Dj dejando para el lector. Dj : Demostraremos que a n (b u c) c (a n b ) u (a n c)

y Sea m E

(a n

b)

A O (B U C)

u (a n c ) c V

a

n (b u c)

w ( A y (dj f B ó u £ C)

(w £ A y w f B) ó (w 6 A y üj£ C) (ü) 6 A fl B) ó

Lo cual implica que, Sea atiora

(ti)

€ A n c)

uí € (A n B) U (A n C) A D (B U C) c (A fl B) U (A n C)

/s\-

Pufino Moya C. - Gregorio Saravia A.

w € (A n B) U (A fl C)

(íi>€Aytü£ B ) ó (u £ A y u t C) w £ A y ( u £ B ó u C C ) w 6 Ayaj€(BUC) w € A 0 (B U C)

lo cual implica que (A n de

b)

u |Anc)cAn(3UC)

(4)

(3) y (4) se tiene que a n (b

u c) = (a n b) u ( A n c )

LEYES DE DE-MORGAN Sean los eventos A y B. (DMi) : A n B

*

ÍU

B

(DM2) : A U B

=

A O B

Demostraremos DMj a manera de ilustración y dejaremos DM 2 como

ejerci­

cio para el lector. DMi : Ensayaremos una prueba más directa, id

€ A n B

u 6 8

ai ¿=1

-C— 1

(A n A^)

( A U K¿)

NOTA Hemos visto que un evento puede definirse verbalmente, de manera que es importante expresarlo en términos de operaciones entre eventos. Considere^

*

mos por ejemplo los eventos A y B, entonces: El evento de que ocurra por lo menos uno de ellos (esto es, uno o más de ellos), se puede escribir como A U B. El evento de que ninguno de los dos ocurra, se escribe como Á B . El evento de que ocurra exactamente uno de los dos eventos puede escribirse así,

AB U

A B

donde "o" está en el sentido de exclusión en este caso.

U .2 EVENTOS M U TU A M E N TE EX C LU YE N TE S Y C O LE C TIV A M E N TE EXHAUSTIVOS

DEFINICION 1.3.1 Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral,se dice que son mutuamente. exc£ui/en¿e¿ si no pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. En símbolos,

si

Afl B

s • EJEMPLO 7 Se lanza un dado dos veces. Sean los eventos: A : "La suma de los puntos obtenidos en los dos lanzamientos es 7". B : "En los dos dados se obtiene el mismo número". A y B son eventos mutuamente excluyentes, pues el evento A es el conjunto ((3 , 4) , (4 , 3) , (1 , 6 ) , (6 , 1) , (5 , 2) , (2 , 5)} y B es el c...