Ex 4.6 aula 20 - Exercícios resolvidos PDF

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Exercícios resolvidos...

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4.6 Numa análise de regressão linear simples foram obtidos, a partir de uma amostra de 6 pares de valores de X e Y, os seguintes resultados: R2 = 0.64, Sx = 3 e Sy = 5, sendo estes últimos os desvios-padrão das variáveis X e Y na amostra. a) Determine o intervalo de confiança a 95% para 1, sabendo que Y é uma função crescente de X. Intervalo de confiança: 0.025 0.025 95%: 𝛽1 ∈ [𝛽󰆹1 − 𝑡𝑛−𝑝 𝜎𝛽1 ; 𝛽󰆹1 + 𝑡𝑛−𝑝 𝜎𝛽1 ]

Informação disponível: 1. Regressão linear simples 2. 𝑁 = 6

3. 𝑅 2 =

𝑆𝑄𝐸 𝑆𝑄𝑇

= 0.64

4. 𝑆𝑥 = 3 ⟹ 𝑆𝑥2 = 9 ⇔

5. 𝑆𝑦 = 5 ⟹ 𝑆𝑦2 = 9 ⇔

∑(𝑋𝑖 −𝑋 )2 𝑁−1

∑(𝑌𝑖 −𝑌 )2 𝑁−1

= 9 ⟹ ∑(𝑋𝑖 − 𝑋)2 = 9 × (6 − 1) = 45

= 25 ⟹ ∑(𝑌𝑖 − 𝑌 )2 = 25 × (6 − 1) = 125 = 𝑆𝑄𝑇

6. Y é uma função crescente de X ⟹ 𝛽󰆹1 > 0 Uso da informação: 7. Usando (3) e (5):

8. Usando (1), (4) e (7):

𝑆𝑄𝐸 = 0.64𝑆𝑄𝑇 = 0.64 × 125 = 80 𝑆𝑄𝐸 = 𝛽󰆹12 ∑(𝑋𝑖 − 𝑋  )2 80 = 45𝛽󰆹12

𝛽󰆹12 = 1.778

𝛽󰆹1 = ±1.333 9. Usando (6) e (8):

10. Usando (5) e (7):

𝛽󰆹1 = 1.333 𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝐸 = 125 − 80 = 45

𝜎 2 =

𝑁−𝑝 𝑆𝑄𝑅

=

45 = 11.25 4

11. Usando (1), (4) e (10): 𝜎𝛽

1

Resposta:

𝜎 2 = 0.5 = √∑(𝑋𝑖 − 𝑋 = √11.25 45  )2

𝛽1 ∈ [1.333 − 2.776 × 0.5; 1.333 + 2.776 × 0.5] 𝛽1 ∈ [−0.055; 2.721]

b) Teste ao nível de significância de 5% a hipótese H0:  1 = 0 contra H1:  1  0; compare com a). 𝐻0 : 𝛽1 = 0 𝐻1 : 𝛽1 ≠ 0 𝑡=

1.333 = 2.667 0.5

0.025 𝑡6−2 = 2.776

0.025 ⟶ Não se rejeita 𝐻0 , o que já era de esperar, pois o intervalo de confiança em a) 𝑡 < 𝑡6−2 contém o valor 0.

2...