Exercícios resolvidos aula 8 PDF

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Exercicios resolvidos...

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MECÂNICA DOS SOLOS II (G3315) - AULA 8 - OBRAS DE TERRA - ESTRUTURAS DE CONTENÇÃO - PARTE 3 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS NA AULA EXERCÍCIO 1 - SLIDE 53: Verificar a estabilidade do muro com retroaterro inclinado quanto ao tombamento e deslizamento. Utilizar a teoria de Rankine para cálculo do empuxo. DADOS: γn = 17 kN/m³; γcon = 22 kN/m³; c = 0; 𝜙 = 30°; i = 10°; Mesmo solo de ambos os lados da estrutura.

RESOLUÇÃO: a)

Determinação dos esforços atuantes

1.

Empuxos

Determinação do coeficiente de empuxo ativo e do empuxo ativo atuante contra a estrutura de contenção. 𝐾𝑎 =

cos 𝑖 − √𝑐𝑜𝑠 2 𝑖 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜙

cos 𝑖 + √𝑐𝑜𝑠 2 𝑖 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜙

=

cos 10° − √𝑐𝑜𝑠 2 10° − 𝑐𝑜𝑠 2 30°

cos 10° + √𝑐𝑜𝑠2 10° − 𝑐𝑜𝑠2 30°

𝜎′𝑣 = 𝛾𝑛 ∙ ℎ = 17 ∙ 5 = 𝟖𝟓 𝒌𝑷𝒂 𝜎′ℎ = 𝜎′𝑣 ∙ 𝐾𝑎 = 85 ∙ 0,35 = 𝟐𝟗, 𝟕𝟓 𝒌𝑷𝒂

5m

Ea 10°

29,45 kPa

= 𝟎, 𝟑𝟓

𝐸𝑎 =

𝜎′ℎ ∙ ℎ 2

=

𝑦𝑎 = 

29,75 ∙ 5 = 𝟕𝟒, 𝟑𝟖 𝒌𝑵/𝒎 2 ℎ 5 = = 𝟏, 𝟔𝟕 𝒎 3 3

Determinação do coeficiente de empuxo passivo e do empuxo passivo atuante contra a estrutura de contenção. 𝜙 30° 𝐾𝑝 = 𝑡𝑔2 (45° + ) = 𝑡𝑔2 (45° + ) = 𝟑, 𝟎 2 2 𝜎′𝑣 = 𝛾𝑛 ∙ ℎ = 17 ∙ 1 = 𝟏𝟕 𝒌𝑷𝒂 𝜎′ℎ = 𝜎′𝑣 ∙ 𝐾𝑝 = 17 ∙ 3,0 = 𝟓𝟏 𝒌𝑷𝒂

Ep 51 kPa 𝐸𝑝 =

𝜎′ℎ ∙ ℎ 51 ∙ 1 = 𝟐𝟓, 𝟓 𝒌𝑵/𝒎 = 2 2 𝑦𝑝 = 

ℎ 1 = = 𝟎, 𝟑𝟑 𝒎 3 3

1m

2.

Peso próprio do muro

Região

Área (m²)

Peso (kN/m) γ · Área

I

3,5 ∙ 0,55 = 1,93

22 ∙ 1,93 = 42,46

II

3,5 ∙

22 ∙ 2,36 = 51,92

III

1,5 ∙ 1,9 = 2,85

22 ∙ 2,85 = 62,7

IV

3,5 ∙

17 ∙ 2,36 = 40,12

∑

1,35 = 2,36 2 1,35 = 2,36 2

197,2

Posição 𝒙 (m) Em relação a O

0,55 = 0,275 2 1,35 0,55 + =1 3 1,90 = 0,95 2 2 ∙ 1,35 0,55 + = 1,45 3

𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝟏𝟗𝟕, 𝟐 𝒌𝑵/𝒎 𝑥 =

𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 181,34 = 𝟎, 𝟗𝟐 𝒎 = 197,2 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Representação dos esforços atuantes

Momento (kN) Peso ·  𝒙

42,46 ∙ 0,275 = 11,68 51,92 ∙ 1 = 51,92 62,7 ∙ 0,95 = 59,57 40,12 ∙ 1,45 = 58,17

181,34

b)

Verificação da Estabilidade do Muro

1.

Tombamento 𝐹𝑆 = 𝐹𝑆 =

𝑀𝑅𝐸𝑆 ≥ 1,5 𝑀𝑆𝑂𝐿𝐼𝐶

𝑊 ∙ 𝑥1 + 𝐸𝑎𝑣 ∙ 𝑥2 197,2 ∙ 0,92 + ( 74,38 ∙ 𝑠𝑒𝑛 10°) ∙ 1,90 181,42 + 24,54 = = 𝐸𝑎ℎ ∙ 𝑦1 (74,38 ∙ cos 10°) ∙ 1,67 122,32 𝐹𝑆 = 𝟏, 𝟔𝟖 > 𝟏, 𝟓; 𝑶𝑲!

2.

Deslizamento 𝐹𝑆 =

∑ 𝐹𝑅𝐸𝑆 ≥ 1,5 ∑ 𝐹𝑆𝑂𝐿𝐼𝐶

𝐹𝑆 =

𝐸𝑝 + 𝑆 𝐸𝑎ℎ

Inicialmente, devemos determinar o esforço cisalhante atuante na base do muro, para tal, utilizaremos a expressão que leva em consideração a análise a longo prazo. 𝑆 = 𝐵 ∙ [𝑐′𝑤 + (

𝑊 − 𝑢) ∙ tan 𝛿] 𝐵

2 2 ∙ 𝑐 = ∙ 0 = 𝟎 → 𝐴𝑑𝑒𝑠ã𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 − 𝑚𝑢𝑟𝑜 3 3 2 2 𝛿 = ∙ 𝜙 = ∙ 30° = 𝟐𝟎° → Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 − 𝑚𝑢𝑟𝑜 3 3 𝑐′𝑤 =

𝑆 = 1,90 ∙ [0 + (

197,2 − 0) ∙ tan 20°] = 𝟕𝟏, 𝟕𝟕 𝒌𝑵/𝒎 1,90

Com a obtenção do esforço cisalhante atuante na base do muro, podemos, por sua vez, definir o valor do fator de segurança quanto ao deslizamento. 𝐹𝑆 =

𝐸𝑝 + 𝑆 𝐸𝑎ℎ

=

25,5 + 71,77 = 𝟏, 𝟑𝟑 < 𝟏, 𝟓; 𝑵ã𝒐 𝑶𝑲! 74,38 ∙ cos 10°

EXERCÍCIO 2 - SLIDE 54: Verificar a estabilidade do muro quanto ao tombamento e deslizamento. Utilizar a teoria de Rankine para cálculo do empuxo. Dimensões em metros. DADOS: γn = 19 kN/m³; γcon = 25 kN/m³; c = 0; 𝜙 = 34°; q = 20 kPa; Mesmo solo de ambos os lados da estrutura.

RESOLUÇÃO: a)

Determinação dos esforços atuantes

1.

Empuxos

Determinação do coeficiente de empuxo ativo e do empuxo ativo atuante contra a estrutura de contenção. 𝐾𝑎 = 𝑡𝑔2 (45° −

𝜙 34° ) = 𝑡𝑔2 (45° − ) = 𝟎, 𝟐𝟖 2 2

Empuxo ativo devido ao solo 𝜎′𝑣 = 𝛾𝑛 ∙ ℎ = 19 ∙ 6 = 𝟏𝟏𝟒 𝒌𝑷𝒂 𝜎′ℎ = 𝜎′𝑣 ∙ 𝐾𝑎 = 114 ∙ 0,28 = 𝟑𝟏, 𝟗𝟐 𝒌𝑷𝒂

6m

Ea 31,92 kPa 𝐸𝑎1 =

𝜎′ℎ ∙ ℎ 31,92 ∙ 6 = = 𝟗𝟓, 𝟕𝟔 𝒌𝑵/𝒎 2 2

𝑦𝑎1 = 

ℎ

6 = 𝟐, 𝟎 𝒎 =3

3 Empuxo ativo devido à sobrecarga aplicada no terreno

𝜎′ℎ = 𝐾𝑎 ∙ 𝑞 = 0,28 ∙ 20 = 𝟓, 𝟔 𝒌𝑷𝒂

6m

Ea

5,6 kPa 𝐸𝑎2 = 𝜎 ′ ℎ ∙ ℎ = 5,6 ∙ 6 = 𝟑𝟑, 𝟔 𝒌𝑵/𝒎  𝑦𝑎2 =

ℎ 6 = = 𝟑, 𝟎 𝒎 2 2

Empuxo ativo total 𝐸𝑎𝑡 = 𝐸𝑎1 + 𝐸𝑎2 = 95,76 + 33,6 = 𝟏𝟐𝟗, 𝟑𝟔 𝒌𝑵/𝒎 𝑦𝑎𝑡 = 

∑ 𝐸𝑛 ∙ 𝑦 𝑛 (95,76 ∙ 2) + (33,6 ∙ 3) = 𝟐, 𝟐𝟔 𝒎 = 129,36 𝐸𝑡

Determinação do coeficiente de empuxo passivo e do empuxo passivo atuante contra a estrutura de contenção. 𝐾𝑝 = 𝑡𝑔2 (45° +

𝜙 34° ) = 𝑡𝑔2 (45° + ) = 𝟑, 𝟓𝟒 2 2

𝜎′𝑣 = 𝛾𝑛 ∙ ℎ = 19 ∙ 1 = 𝟏𝟗 𝒌𝑷𝒂 𝜎′ℎ = 𝜎′𝑣 ∙ 𝐾𝑝 = 19 ∙ 3,54 = 𝟔𝟕, 𝟐𝟔 𝒌𝑷𝒂

Ep 67,26 kPa 𝐸𝑝 =

𝜎′ℎ ∙ ℎ 67,26 ∙ 1 = 𝟑𝟑, 𝟔𝟑 𝒌𝑵/𝒎 = 2 2  𝑦𝑝 =

ℎ 1 = = 𝟎, 𝟑𝟑 𝒎 3 3

1m

2. Peso próprio do muro

Região

Área (m²)

I II III ∑

5,4 ∙ 0,6 = 3,24 2,5 ∙ 0,6 = 1,5 5,4 ∙ 1,9 = 10,26

Peso (kN/m) γ · Área

25 ∙ 3,24 = 81 25 ∙ 1,5 = 37,5 19 ∙ 10,26 = 194,94

313,44

Posição 𝒙 (m) Em relação a O

0,6⁄ 2 = 0,3 2,5⁄ 2 = 1,25 0,6 + 1,9 ⁄2 = 1,55

𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝟑𝟏𝟑, 𝟒𝟒 𝒌𝑵/𝒎 𝑥 =

𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 373,34 = 𝟏, 𝟏𝟗 𝒎 = 313,44 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Representação dos esforços atuantes

b)

Verificação da Estabilidade do Muro

1.

Tombamento 𝐹𝑆 =

𝑀𝑅𝐸𝑆 ≥ 1,5 𝑀𝑆𝑂𝐿𝐼𝐶

Momento (kN) Peso ·  𝒙

81 ∙ 0,3 = 24,3 37,5 ∙ 1,25 = 46,88 194,94 ∙ 1,55 = 302,16

373,34

𝐹𝑆 =

𝑊 ∙ 𝑥1

𝐸𝑎 ∙ 𝑦1

=

313,44 ∙ 1,19 372,99 = 129,36 ∙ 2,26 292,35

𝐹𝑆 = 𝟏, 𝟐𝟖 < 𝟏, 𝟓; 𝑵ã𝒐 𝑶𝑲! 2.

Deslizamento 𝐹𝑆 =

∑ 𝐹𝑅𝐸𝑆 ≥ 1,5 ∑ 𝐹𝑆𝑂𝐿𝐼𝐶

𝐹𝑆 =

𝐸𝑝 + 𝑆 𝐸𝑎

Inicialmente, devemos determinar o esforço cisalhante atuante na base do muro, para tal, utilizaremos a expressão que leva em consideração a análise a longo prazo. 𝑆 = 𝐵 ∙ [𝑐′𝑤 + (

𝑊 − 𝑢) ∙ tan 𝛿] 𝐵

2 2 𝑐′𝑤 = ∙ 0 = ∙ 0 = 𝟎 → 𝐴𝑑𝑒𝑠ã𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 − 𝑚𝑢𝑟𝑜 3 3 2 2 𝛿 = ∙ 𝜙 = ∙ 34° = 𝟐𝟐, 𝟔𝟕° → Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 − 𝑚𝑢𝑟𝑜 3 3 𝑆 = 2,50 ∙ [0 + (

313,44 − 0) ∙ tan 22,67°] = 𝟏𝟑𝟎, 𝟗𝟐 𝒌𝑵/𝒎 2,50

Com a obtenção do esforço cisalhante atuante na base do muro, podemos, por sua vez, definir o valor do fator de segurança quanto ao deslizamento. 𝐹𝑆 =

𝐸𝑝 + 𝑆 𝐸𝑎

=

33,63 + 130,92 = 𝟏, 𝟐𝟕 < 𝟏, 𝟓; 𝑵ã𝒐 𝑶𝑲! 129,36

EXERCÍCIO 3 - SLIDE 55: Verificar a estabilidade quanto ao tombamento e deslizamento do muro com retroaterro horizontal. Utilizar a teoria de Rankine para cálculo dos empuxos. Dimensões em metros. DADOS: γn = 17 kN/m³; γcon = 25 kN/m³; c = 0; 𝜙 = 35°. Mesmo solo de ambos os lados da estrutura.

RESOLUÇÃO: a)

Determinação dos esforços atuantes

1.

Empuxos

Determinação do coeficiente de empuxo ativo e do empuxo ativo atuante contra a estrutura de contenção. 𝐾𝑎 = 𝑡𝑔2 (45° −

𝜙 35° ) = 𝑡𝑔2 (45° − ) = 𝟎, 𝟐𝟕 2 2

𝜎′𝑣 = 𝛾𝑛 ∙ ℎ = 17 ∙ 6 = 𝟏𝟎𝟐 𝒌𝑷𝒂 𝜎′ℎ = 𝜎′𝑣 ∙ 𝐾𝑎 = 102 ∙ 0,27 = 𝟐𝟕, 𝟓𝟒 𝒌𝑷𝒂

6m

Ea 27,54 kPa 𝐸𝑎 =

𝜎′ℎ ∙ ℎ 27,54 ∙ 6 = 𝟖𝟐, 𝟔𝟐 𝒌𝑵/𝒎 = 2 2  𝑦𝑎 =

ℎ 6 = = 𝟐, 𝟎 𝒎 3 3

Determinação do coeficiente de empuxo passivo e do empuxo passivo atuante contra a estrutura de contenção. 𝐾𝑝 = 𝑡𝑔2 (45° +

𝜙 35° ) = 𝑡𝑔2 (45° + ) = 𝟑, 𝟔𝟗 2 2

𝜎′𝑣 = 𝛾𝑛 ∙ ℎ = 17 ∙ 1 = 𝟏𝟕 𝒌𝑷𝒂 𝜎′ℎ = 𝜎′𝑣 ∙ 𝐾𝑝 = 17 ∙ 3,69 = 𝟔𝟐, 𝟕𝟑 𝒌𝑷𝒂

Ep

1m

62,73 kPa 𝐸𝑝 =

𝜎′ℎ ∙ ℎ 62,73 ∙ 1 = 𝟑𝟏, 𝟑𝟕 𝒌𝑵/𝒎 = 2 2  𝑦𝑝 =

ℎ 1 = = 𝟎, 𝟑𝟑 𝒎 3 3

2. Peso próprio do muro

Região

Área (m²)

I II III ∑

5,7 ∙ 0,3 = 1,71 2,8 ∙ 0,3 = 0,84 5,7 ∙ 1,5 = 8,55

Peso (kN/m) γ · Área

25 ∙ 1,71 = 42,75 25 ∙ 0,84 = 21 17 ∙ 8,55 = 145,35

209,1

Posição 𝒙 (m) Em relação a O

1 + 0,3⁄ 2 = 1,15 2,8⁄2 = 1,4 1 + 0,3 + 1,5 ⁄2 = 2,05

𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝟐𝟎𝟗, 𝟏 𝒌𝑵/𝒎 𝑥 =

𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 376,53 = 𝟏, 𝟖𝟎 𝒎 = 209,1 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Momento (kN) Peso ·  𝒙

42,75 ∙ 1,15 = 49,16 21 ∙ 1,4 = 29,4 145,35 ∙ 2,05 = 297,97

376,53

Representação dos esforços atuantes

b)

Verificação da Estabilidade do Muro

1.

Tombamento 𝐹𝑆 = 𝐹𝑆 =

𝑀𝑅𝐸𝑆 ≥ 1,5 𝑀𝑆𝑂𝐿𝐼𝐶

𝑊 ∙ 𝑥1 209,1 ∙ 1,80 376,38 = = 𝐸𝑎 ∙ 𝑦1 82,62 ∙ 2,0 165,24 𝐹𝑆 = 𝟐, 𝟐𝟖 > 𝟏, 𝟓; 𝑶𝑲!

2.

Deslizamento 𝐹𝑆 =

∑ 𝐹𝑅𝐸𝑆 ≥ 1,5 ∑ 𝐹𝑆𝑂𝐿𝐼𝐶

𝐹𝑆 =

𝐸𝑝 + 𝑆 𝐸𝑎

Inicialmente, devemos determinar o esforço cisalhante atuante na base do muro, para tal, utilizaremos a expressão que leva em consideração a análise a longo prazo. 𝑆 = 𝐵 ∙ [𝑐′𝑤 + (

𝑊 − 𝑢) ∙ tan 𝛿] 𝐵

2 2 𝑐′𝑤 = ∙ 0 = ∙ 0 = 𝟎 → 𝐴𝑑𝑒𝑠ã𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 − 𝑚𝑢𝑟𝑜 3 3 2 2 𝛿 = ∙ 𝜙 = ∙ 35° = 𝟐𝟑, 𝟑𝟑° → Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 − 𝑚𝑢𝑟𝑜 3 3 𝑆 = 2,80 ∙ [0 + (

209,1 − 0) ∙ tan 23,33°] = 𝟗𝟎, 𝟏𝟖 𝒌𝑵/𝒎 2,80

Com a obtenção do esforço cisalhante atuante na base do muro, podemos, por sua vez, definir o valor do fator de segurança quanto ao deslizamento. 𝐹𝑆 =

𝐸𝑝 + 𝑆 31,37 + 90,18 = = 𝟏, 𝟒𝟕 < 𝟏, 𝟓; 𝑵ã𝒐 𝑶𝑲! 𝐸𝑎 82,62...