Examen 2011, respuestas PDF

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2.- (5p) Se tiene la planta mostrada, si se le agrega las acciones Proporcional–Integral (PI) y laDerivativa (D), se le pide determinar los valores de K 1 , K 2 y K 3 , si se desea que el sistema completo responda exactamente como un sistema de segundo orden, tal que a unaentrada en escalón unitario...

Description

2.- (5p)

Se tiene la planta mostrada, si se le agrega las acciones Proporcional–Integral (PI) y la Derivativa (D), se le pide determinar los valores de K1, K2 y K3, si se desea que el sistema completo responda exactamente como un sistema de segundo orden, tal que a una entrada en escalón unitario, responda con las siguientes características: ess = 0 , Mp = 10% y ts(±2%) = 1 seg.

planta

acción PI R(s) +

E(s)

K1  K2

1 s

+

5

U(s)

Y(s)

2

(s  6s  25)

acción D

K3 s

4.- (5p) Dado el siguiente sistema no lineal de dos tanques cilíndricos iguales, colocados en

cascada, siendo las áreas de sección iguales a 9 m2, el objetivo del sistema es controlar el nivel en el tanque 2.

Qi Tanque 1

Tanque 2

H2

H1 Q12

Q0

Si se conoce que: H 1 y H2 alturas en los tanques 1 y 2 A Área de sección de los tanques cilíndricos Qi Flujo (caudal) de alimentación Qi = Q = 3 m3/s Qo Flujo (caudal) de salida 3  = 1.23 Kg/m g = 9.81 m/s2  = 1 (factor que depende de la geometría del orificio de salida de cada tanque), este factor es la constante de proporcionalidad para determinar los caudales. Se le pide determinar el sistema linealizado, para lo cual debe responder lo siguiente: a) (1p) Determine el o los puntos de equilibrio del sistema. b) (3p) Determine el modelo incremental linealizado (ecuación de estados y ecuación de salida), alrededor del o de los puntos de equlibrio. c) (1p) ¿Qué puede decir de la estabilidad del sistema?

Solución P1) Determinando la FT en Lazo Cerrado:

Y ( s) 5( K P s  K I )  3 R( s) s  (5K D  6)s 2  5( K P  25)s  5K I

…….. (1)

Como es un sistema de 3° orden y se pide que responda como uno de 2° orden:

5K P (s 

KI ) KP

Y ( s) 5( K P s  K I ) 5K P …. (2)  2   2 2 2 2 R( s) ( s  p) ( s  2  wn s  wn ) (s  p ) (s  2  wn s  wn ) ( s  2  wn s  wn 2 ) De la simplificación se deduce que:

p

KI KP

……………………..(3)

2

wn  5 K P

De la ecuación (2):

………………..(4)

Además del denominador genérico de un sistema de 3° orden:

(s  p ) (s 2  2  w n s  w n )  s 3  ( p  2  wn )s 2  (wn  2  wn p )s  wn p 2

2

Entonces de (1) y (5):

5 K D  6  p  2 w n 5 K P  25  w

2 n

..........(6)

 2 wn p

2

5 K I  wn p

.............(7)

....................(8)

Luego de los datos dinámicos:

M P  0.1 ts 

4 1  wn



 

ln 2 (0.1)  0.59 ln2 (0.1)   2 wn 

4



 6.77 rad / seg

2

De (4):

w K P  n 9 5

De (7):

5 K P  25  wn p 3 2  wn

………..(9) 2

………(10)

2

……..(5)

p  2  wn  6

De (6):

KD 

De (8):

w p KI  n  27.5 5

5

1

..........(12)

2

Por lo tanto la respuesta es:

....................(13)

KP = 9 K I = 27.5 KD = 1

(Rpta)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución P2) MODELAMIENTO DEL SISTEMA Planteando las ecuaciones de conservación de la masa

Q i  Q 12  C1

dH1 dt

Q12  Qo  C 2

dH 2 dt

Donde

Q 12  

ρ g (H1  H2)  

Qo  

ρ g H2  

esto para

k 

ρ g (H1  H2 )  k (H1  H2 )

ρ g H2  k H2 ρ g  (1) (1.23)(9.81)  3.473

Reemplazando obtenemos:

.

f1 f2 g

Q i k H1  H2  A A . k H1  H 2 k H2  H2  A A

H1

y = H2

eligiendo como variables de estados:

x1 = H 1

y

x2 = H 2

.

Qi k x 1  x 2  A A . k x1  x2 k x2  x2 A A

x1 

y = x2

DETERMINACION DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

.

Qi  ρ g  x1  x2 S S

f1:

x1 

f2:

x2 

g:

y = x2

.

 ρg S



x1  x2 



x2



.

x1 

1  0.3859 x1  x2 3

.

 x 2  0.3859



x 1 x2 

x2



El sistema es no lineal, por lo que antes de la linealización obtendremos el punto de operación, haciendo:

.

x1  0

.

x2 0 Aplicando:

0

0

Qi  ρ g  x1x2 S S



ρg S

De (1) y (2):



x1  x 2 



x2



H2 = 0.7458

Por lo que el punto de operación es:

Qi

 ρg 

 x1  x 2 

x1 – x2 = x2 y



H1  H2 

Qi



H 1 = 2 ( H2)

2

2

= 0.7458 …. (1)

ρg …… (2)

H1 = 1.4916

_ _   x 1 x 2  1.4916  

0.7458 

OBTENCION DEL SISTEMA LINEALIZADO Conocido el punto de operación, obtendremos las matrices del sistema linealizado: A, B, C y D.

 f1  A   x1  f2   x1

 f1  x2 f2  x2

 f 1   Q  0 B   f2    Q 0 

   

 x1, x2,



 0.2234 0.2234 0.2234  0.4468



Qi

 1/S   1/9      0   0  x1,x2,Qi

  g C    x1

g    0 1   x2 ...