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UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI ESCOLA TÈCNICA SUPERIO R D’ENGINYERIA. INGENIERÍA DE SISTEMAS Y SERVICIOS DE TELECOMUNICACIONES INGENIERÍA BIOMÉDICA PROBLEMAS DE PROBABILIDAD Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS (VII) 5 de mayo de 2020

Profesor: Luis Martínez Salamero

1. Sea Y  X 12  X 22  ....  X n2 , donde X1 , X 2 ,....X n , son variables aleatorias independientes con idéntica distribución de probabilidad. La función de densidad de probabilidad de x i ( i  1,2 ...n) se caracteriza por:

f ( xi )  xi  1

1  xi  2 ,

f (x i )  0

2 xi  3

f ( xi )  3  xi

en el resto b) Obtenga  Y2

a) Determine E (Y )

2. El tiempo de acceso desde un computador a un determinado bloque de información contenido en un disco es una variable aleatoria X medida en milisegundos cuya función de densidad de probabilidad presenta una distribución uniforme entre 0 y 12 milisegundos. Antes de realizar una determinada tarea, el computador debe acceder a 12 bloques diferentes de información contenidos en el mencionado disco. Considerando que el tiempo de acceso a un bloque es independiente del tiempo de acceso a cualquier otro bloque, y denominando B a la variable aleatoria que representa el tiempo de acceso total a los 12 bloques, determine: 2 b) E(B) y  B

a) E( X ) y  x2

3. La variable aleatoria X tiene una función de densidad de probabilidad f (x) caracterizada por:

f ( x)  x  1 f ( x)  3  x f ( x)  0

1 x  2 2 x 3 en el resto

Determine el valor de la cota C en la desigualdad P(  X  2   0.5 )  C 4. La variable aleatoria Y tiene la función de densidad de probabilidad fY ( y ) definida de la siguiente forma: fY ( y)  ye

y2  2

y0 , 

Obtenga una cota C para la desigualdad P y 



fY ( y )  0

  1  C 2 



en el resto. 2 (Dato: E (Y )  2 )

5. Las variables aleatorias X e Y son independientes y tienen función de densidad de probabilidad uniforme en x  0,1 e y  0 ,1 respectivamente. Se pide: a) Demostrar que las variables Z  X  Y y W  X  Y son ortogonales b) Demostrar que Z y W son también incorreladas. c) Demostrar que Z y W no son independientes

6. Sea X una variable aleatoria gaussiana tal que

7. Las variables aleatorias uniforme en pide:

e

e

y

. Demuestre que

son independientes y tienen función de densidad de probabilidad respectivamente. Sabiendo que

y

, se

a) Obtener b) Calcular c) Demostrar que

8. La variable aleatoria

y

no son independientes.

tiene la función de distribución de probabilidad

definida de la

siguiente forma: , a) Determine b) Obtenga una cota

para la desigualdad

9. El estudio de seroprevalencia “ENE-Covid” del Ministerio de Sanidad busca establecer el panorama real de la extensión del coronavirus en España. Para ello se pretende realizar un test a 90.000 personas para diagnosticar si han estado o están infectadas por el virus. Se considerará que el porcentaje de personas de la muestra con resultado positivo proporcionará una estimación del porcentaje de toda la población con un margen de error determinado. Suponiendo que el margen de error fuese del 3% obtenga el valor máximo del coeficiente de confianza de dicho estudio , y el valor mínimo de la probabilidad de que el valor estimado se encuentre en un intervalo alrededor del valor más esperado con el margen de error mencionado. 10. Determine el número de veces que hay que lanzar una moneda para que la probabilidad de que la frecuencia relativa entre 0.4 y 0.6 de sacar cara sea mayor de 0.9....