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Escuela de Ingenierías IndustrialesFundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021. SOLUCIONESProblema 1 (2 puntos)El proceso de la figura representa un horno de calentamiento de un material, que entra a temperatura Ti y debe salir a temperatura T. En el horno se puede manipular el fl...

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Escuela de Ingenierías Industriales

Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021. SOLUCIONES 

Problema 1 (2.4 puntos) El proceso de la figura representa un horno de calentamiento de un material, que entra a temperatura Ti y debe salir a temperatura T. En el horno se puede manipular el flujo F de elemento calefactor para hacer que la temperatura final T del material alcance los valores deseados. Se sabe que la relación entre la temperatura T, y el flujo F viene dada por:

20

𝑑  𝑇󰇛𝑡󰇜 𝑑𝑇󰇛𝑡󰇜  𝑇󰇛𝑡󰇜 0.5  𝐹󰇛𝑡󰇜  2𝐹  󰇛𝑡󰇜 𝑑𝑡 𝑑𝑡 

con T ºC y F en Kg/s y el tiempo en segundos, y que el sistema está en estado estacionario para un valor de Ti=10º y un flujo F de 40 Kg/s Además, se sabe que el sistema en lazo abierto, desde ese punto de equilibrio y ante un cambio en la temperatura de entrada Ti desde 10 a 20º, presenta una respuesta temporal de la temperatura como la que muestra la siguiente figura:

Se pide: a) Dibujar un diagrama de bloques en lazo abierto que relacione las variables del proceso, calculando las funciones de transferencia. Identifique las variables de entrada (manipulada y perturbación) y de salida del sistema. (1) b) Cuál es el valor en estacionario del sistema obtenido en el apartado 1, si, “bruscamente”, F(t) pasa a valer 60 y Ti(t) pasa a valer 2. Indicar qué significado tienen tanto esos valores como el resultado obtenido (0.3) c) Proponer un esquema para regular la temperatura, indicando las variables manipuladas, controladas, referencia y posibles perturbaciones. Dibujar el diagrama de bloques. (0.1) d) Obtener el regulador más sencillo que garantice un error estacionario menor del 10% ante un escalón de amplitud 2 en la referencia. Con el regulador obtenido calcular la señal de control. (0.5) e) Con el regulador obtenido en el punto 4, dibujar el diagrama de Bode en lazo cerrado con respecto a la referencia, y calcular el ancho de Banda. ¿Hay resonancia? Si es así indicar la frecuencia y el valor del pico de resonancia. (0.5)

Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021.

SOLUCIONES

1

Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021. Soluciones Solución a) Dibujar un diagrama de bloques en lazo abierto que relacione las variables del proceso, calculando las funciones de transferencia. Identifique las variables de entrada (manipulada y perturbación) y de salida del sistema. T(s) => salida

F(s) => variable manipulada Ti(s) => perturbación  𝑑𝑇󰇛𝑡󰇜 𝑑 𝑇󰇛𝑡󰇜 20  𝑇󰇛𝑡󰇜 0.5  𝐹󰇛𝑡󰇜  2𝐹  󰇛𝑇󰇜 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Función no lineal, hay que linealizar. Punto de equilibrio: dT/dt =0 d2T/dt2 =0 => T0F0 =2F0 2 => T0=2F0 =2*40=80

𝑓𝑇󰇗, 𝑇, 𝑇󰇘, 𝐹  0 𝜕𝑓   20; 𝜕𝑇󰇗 

20

󰇛󰇜 

 𝑇󰇛𝑡󰇜 󰇧0.5

𝑇󰇛𝑠󰇜 

 

𝜕𝑓 𝑑 𝑇󰇛𝑡󰇜 󰈅  𝐹  40;   0.5 𝑑𝑡 𝜕𝑇  

𝜕𝑓   𝑇  4 𝐹  80  160  80 𝜕𝐹  Modelo linealizado es: 40

Laplace

󰇛󰇜

 𝐹󰇛𝑡󰇜󰇨  2𝐹 󰇛𝑇󰇜  0 𝜕𝑓   0.5 ∗ 𝑇  0.5 ∗ 80  40 𝜕𝑇󰇘 

𝑑 ∆𝑇󰇛𝑡󰇜 𝑑∆𝑇󰇛𝑡󰇜  40∆𝑇  80∆𝐹  0  20  𝑑𝑡 𝑑𝑡

40 𝑠  𝑇󰇛𝑠󰇜  20 𝑠𝑇󰇛𝑠󰇜  40𝑇󰇛𝑠󰇜  80 𝐹󰇛𝑠󰇜

40

𝑠

80 2 𝐹󰇛𝑠󰇜 𝐹󰇛𝑠󰇜   𝑠  0.5𝑠  1  20𝑠  40 2 𝑇󰇛𝑠󰇜   𝐺󰇛𝑠󰇜  𝐹󰇛𝑠󰇜 𝑠  0.5𝑠  1

Para la segunda ecuación, relación entre Ti(s)

Un sistema de segundo orden subamortiguado su función de transferencia es:

𝐺󰇛𝑠󰇜 

𝐾𝑤 𝑠   2𝛿𝑤 𝑠  𝑤

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SOLUCIONES

2

Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021. Soluciones Para calcular K; K=y/u=100-80/10 = 20/10 = 2 𝑀𝑝 

𝑦𝑡   𝑦󰇛∞󰇜 

𝑀𝑝  𝑒



∆𝑦

=> 𝛿 



𝑡 

tpico = 1.6

𝐺𝑑󰇛𝑠󰇜 

∗ 100 



104  100 ∗ 100  20% 20 

󰇻 󰇻 

󰇡 󰇢   

 0.45

=> 𝑤 

 √ 



.√.

 2.2

𝐾𝑤 2 ∗ 2.2 9.73        𝑠  2.011𝑠  4.86 𝑠  2𝛿𝑤 𝑠  𝑤 𝑠  2 ∗ 0.45 ∗ 2.2𝑠  2.2 Ti Gd(s) T(s)

F G(s)

b) Cuál es el valor en estacionario del sistema obtenido en el apartado 1, si, “bruscamente”, F(t) pasa a valer 60 y Ti(t) pasa a valer 2. Indicar qué significado tienen tanto esos valores como el resultado obtenido. F(t) pasa de 40 a 60, salto de amplitud 20 𝑻󰇛∞󰇜  lim 𝑇󰇛𝑡󰇜  lim 𝑠 𝑇󰇛𝑠󰇜  lim 𝑠 →

→

→

𝑠

2 2 20 𝐹󰇛𝑠󰇜  lim 𝑠   𝟒𝟎 → 𝑠  0.5  1 𝑠  0.5𝑠  1

Si lo que cambia es Ti(t) => la otra función de transferencia, y el cambio es de -8 (de 10 a 2) 𝑻󰇛∞󰇜  lim 𝑇󰇛𝑡󰇜  lim 𝑠 𝑇󰇛𝑠󰇜  lim 𝑠 →

16.01

→

→

.

 ..

𝑇󰇛𝑠󰇜  lim 𝑠 →

.



.. 



.󰇛󰇜  .

Total: T=+40-16=24 = T – T0 => T=T0+24=80 + 24 =104 c) Proponer un esquema para regular la temperatura, indicando las variables manipuladas, controladas, referencia y posibles perturbaciones. Dibujar el diagrama de bloques

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SOLUCIONES

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Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021. Soluciones d) Obtener el regulador más sencillo que garantice un error estacionario menor del 10% ante un escalón de amplitud 2 en la referencia. Con el regulador obtenido calcular la señal de control.

𝑒  lim 𝑠𝐸󰇛𝑠󰇜 →

 lim

→

 lim

󰇛𝑠2  0.5𝑠  1󰇜 ∗ 2

→ 𝑠2  0.5𝑠  1  2𝐾𝑝

Kp=9.5 𝑈󰇛𝑠󰇜 



2

→

𝐾𝑝 2 𝑠2  0.5𝑠  1  0.1 1  2𝐾𝑝

𝑠2

𝑅󰇛𝑠󰇜 𝑅 󰇛𝑠󰇜𝐺 󰇛𝑠󰇜 𝑇 󰇛𝑠 󰇜 𝑊 󰇛𝑠󰇜  1  𝐺󰇛𝑠󰇜𝑅 󰇛𝑠󰇜  1  𝐺󰇛𝑠󰇜𝑅󰇛𝑠󰇜

9.73 9.5  9.5 𝑠  2.011𝑠  4.86 󰇛𝑠󰇜 𝑊󰇛𝑠󰇜  𝑇  2 2 ∗ 9.5 1  1  ∗ 9.5 𝑠  0.5𝑠  1 𝑠  0.5𝑠  1

𝑢  lim 𝑠𝑈󰇛𝑠󰇜  lim 𝑠 →

1

1 𝑊 󰇛𝑠󰇜  lim 𝑠1 𝑠 1  𝐺󰇛𝑠󰇜𝑅 󰇛𝑠󰇜

→

9.5 9.5 󰇛𝑠  0.5𝑠  1󰇜 2 𝑊󰇛𝑠󰇜  lim 𝑠  0.95 2 → 𝑠   0.5𝑠  20 𝑠 1  𝑠   0.5𝑠  1 ∗ 9.5

Otra forma de calcularlo: uss = ess*Kp = 0.1*9.5=0.95

e) Con el regulador obtenido en el punto 4, dibujar el diagrama de Bode en lazo cerrado con respecto a la referencia, y calcular el ancho de Banda. ¿Hay resonancia? Si es así indicar la frecuencia y el valor del pico de resonancia. (0.5)

2

∗ 9.5 𝐺󰇛𝑠󰇜𝑅󰇛𝑠󰇜 2 19  𝑠  0.5𝑠2 1 𝐹󰇛𝑠󰇜   2 1  𝐺󰇛𝑠󰇜𝑅󰇛𝑠󰇜 1  𝑠  0.5𝑠  20 ∗ 9.5 𝑠2  0.5𝑠  1

Ganancia => K=19 /20 =0.95 => 20log(0.95) =-0.44

Polos complejos conjugados => frecuencia de corte wn=sqrt(20)=4.45 2**wn = 0.5 y wn=4.4 => =0.5/(2*4.4) = 0.056< 0.7 => hay resonancia 𝑤  𝑤 1  2𝛿   2 ∗ 1  2 ∗ 0.056  4.47 Pico de resonancia: 𝑀 



√ 





∗. √∗.

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 8.97

20log(3.41)=19.05

SOLUCIONES

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Ancho de banda, cuando la magnitud cae -3dB respecto del valor a bajas frecuencias, como 20log|F(jw)|=-0.44 abajas frecuencias => buscar la frecuencia a la que la magnitud del diagrama de Bode vale -3.44 => más o menos w=6.5 (la real es 6.9) pero

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Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021. Soluciones Problema 2 (1.6 puntos) Para el sistema de la figura se sabe que la relación entre la salida Y la entrada U (que se puede manipular) viene dada por la función de transferencia G, siendo GD la función de transferencia que relaciona D (perturbación) con Y.

𝐺󰇛𝑠󰇜 



󰇛.󰇜

𝐺 󰇛𝑠󰇜  󰇛



 󰇜

a) Hacer un trazado aproximado de la respuesta del sistema ante un escalón de amplitud 3 en la señal u(t). Indicar sus características. (0.1) b) Respuesta del sistema ante una entrada en la perturbación 𝑑󰇛𝑡󰇜  3𝑠𝑒𝑛󰇛0.1𝑡󰇜 (0.2) Se cierra el lazo de realimentación con un regulador R(s) y realimentación unitaria. Obtener el regulador más sencillo que garantice un error nulo ante un escalón en la referencia, un tiempo de pico de menos de 5 segundos y tiempo de establecimiento (asentamiento) menor de 8 segundos. Contestar concretamente y explicando la razón: c) ¿Qué regulador se propone? ¿Por qué? Con el regulador propuesto. ¿Tipo del sistema? ¿Orden del sistema? (0.1) d) ¿Cómo se va a obtener? Obtenerlo (0.6) e) Calcular el error ante un escalón de amplitud 5 y ante una rampa de pendiente 2 en la referencia. (0.2) f) Estudiar la estabilidad del sistema en lazo cerrado mediante el diagrama de Bode. (0.4)

Solución a)

Hacer un trazado aproximado de la respuesta del sistema ante un escalón de amplitud 3 en la señal u(t). Indicar sus características. (0.1)  

𝐺󰇛𝑠󰇜  󰇛.󰇜 

󰇛󰇜

Sistema de primer orden, ganancia de 20 y constante de tiempo de 10 (tiempo de establecimiento aprox. 40 seg, valor final 3*20=60)

Respuesta del sistema ante una entrada en la perturbación d(t)=3sen(0.1t)  𝐺 󰇛𝑠󰇜  |𝐺 󰇛𝑗𝜔󰇜|.  0.5 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝐺󰇛𝑗𝜔󰇜| .  0.01 𝑟𝑎𝑑 󰇛󰇜

b)

𝑦󰇛𝑡󰇜  3  0.5  𝑠𝑒𝑛󰇛0.1𝑡  0.01󰇜

Se cierra el lazo de realimentación con un regulador R(s) y realimentación unitaria. Obtener el regulador más sencillo que garantice un error nulo ante un escalón en la referencia, un tiempo de pico de menos de 5 segundos y tiempo de establecimiento (asentamiento) menor de 8 segundos. Contestar concretamente y explicando la razón: Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021.

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SOLUCIONES

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Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021. Soluciones c)

¿Qué regulador se propone? ¿Por qué? Con el regulador propuesto. ¿Tipo del sistema? ¿Orden del sistema? Para eliminar el error estacionario ante el escalón se necesita un PI. Elimina el error ante entrada escalón y lo hace constante ante una rampa. Sistema de tipo 1 (la FTLAbierto GR tiene un polo en el origen) y de orden 2 (el denominador de la FTL Cerrado es de grado 2) d) ¿Cómo se va a obtener? Obtenerlo La expresión que se usará es

𝑅󰇛𝑠󰇜  𝐾 󰇡1 



 

󰇢

   

Hay que calcular los dos parámetros del regulador. Se sabe

que la FT en lazo cerrado será ahora

𝑇 󰇛𝑠󰇜 

 󰇛󰇜



 𝐾𝑇 𝑠𝐾 󰇡 𝑖 󰇢 󰇛.󰇜 𝑇𝑖 𝑠  𝐾𝑇 𝑠𝐾  󰇡 𝑖 󰇢 󰇛.󰇜 𝑇𝑖 𝑠

Se va a obtener un sistema de segundo orden. Como en el enunciado se nos dan dos condiciones, se puede obtener de ellas el valor del coeficiente de amortiguamiento 𝛿 y de la frecuencia natural no amortiguada 𝜔 . Identificando términos con la expresión de un sistema de segundo orden se dispone de dos ecuaciones para dos incógnitas. Del enunciado

𝑡  5  𝑇 󰇛𝑠󰇜 





2󰇛𝐾𝑇𝑖 𝑠  𝐾󰇜

󰇛0.1  2𝐾󰇜  0.972 



𝛿  0.6



𝑇𝑖 𝑠2  󰇛0.1𝑇𝑖  2𝐾𝑇𝑖 󰇜𝑠  2𝐾

𝑠   󰇛0.1  2𝐾󰇜𝑠  

𝑡  8 

√

 0.6561



𝜔  0.81

2 󰇡𝐾𝑠 

𝐾 󰇢 𝑇𝑖

𝑠2  󰇛0.1  2𝐾󰇜𝑠 

2𝐾 𝑇𝑖

2𝐾  𝑠   2𝛿𝜔 𝑠  𝜔  𝑠   2  0.6  0.81𝑠  0.81 𝑇 𝐾  0.436

𝑇  1.329

𝑹󰇛𝒔󰇜  𝟎. 𝟒𝟑𝟔 𝟏 

e)

𝟏 𝟎. 𝟓𝟕𝟗𝟒𝒔  𝟎. 𝟒𝟑𝟔  𝟏. 𝟑𝟐𝟗𝒔 𝟏. 𝟑𝟐𝟗𝒔

Calcular el error ante un escalón de amplitud 5 y ante una rampa de pendiente 2 en la referencia. Ante cualquier escalón el error es nulo (sistema de tipo 1, tiene un PI…) Ante esta rampa el error e



𝑒  



Donde

𝐾  lim 𝑠𝐺𝑅  lim𝑠 →

𝒆𝒔𝒔 

→

.. . 󰇛.󰇜

𝟐  𝟎. 𝟑𝟎𝟒 𝟔. 𝟓𝟔

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





.

.

 6.56

SOLUCIONES

7

Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021. Soluciones f) Estudiar la estabilidad del sistema en lazo cerrado mediante el diagrama de Bode. Habría que trazar el diagrama de Bode de la FTL Abierto GR

𝐺𝑅 

2

0.5794𝑠  0.436 20  0.436 1 1  󰇛1.329𝑠  1󰇜   󰇛10𝑠  1󰇜  󰇛𝑠  0.1󰇜 𝑠 1.329 1.329𝑠

Ganancia 0.1

. .

 6.56

Un cero en -1/1.329=-0.75

Un polo en el origen y otro en -

El margen de ganancia es infinito, la fase de ese diagrama no corta a -180º. El margen de fase, por esa misma razón, no presentará problemas de estabilidad.

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SOLUCIONES

8

Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021. Soluciones Cuestión 1 (0.8 puntos) En la figura se plantea una versión muy simplificada del sistema de suspensión de un vehículo, considerando que el movimiento del vehículo de masa única m a efectos de suspensión es sólo en la dirección vertical. El desplazamiento x se mide a partir de la posición de rodadura ideal, en la que se considera también el origen para la entrada f. a) a) Calcular la función de transferencia G(s) del sistema simplificado, siendo la entrada la fuerza senoidal (f) que ejerce la rodadura y la salida la posición vertical (x) del vehículo. Los parámetros del vehículo considerados son: m=25 kg, b=4 Ns/m y k=1 N/m (0.4) b) Para entradas en frecuencia como las de la figura, ¿se puede llegar a producir resonancia (saltos del vehículo de mayor amplitud que la rodadura)? ¿En torno a qué frecuencias? (0.1) c) En caso de producirse resonancia. ¿Qué parámetro (o parámetros) del vehículo habría que modificar para evitarla? ¿A partir de qué valor (o valores) se lograría? ¿Cuál sería en tal caso la función de transferencia sin resonancia Gsr(s)? (0.3) SOLUCIÓN a) De la segunda ley de Newton 𝑚𝑥󰇘 󰇛𝑡󰇜  ∑𝐹 Las fuerzas que actúan son la fuerza externa 𝑓󰇛𝑡󰇜, la correspondiente al “amortiguador” 𝑏𝑥󰇗 󰇛𝑡󰇜 y la correspondiente al resorte -𝑘𝑥󰇛𝑡󰇜: 𝑚𝑥󰇘  𝑓󰇛𝑡󰇜  𝑏𝑥󰇗 󰇛𝑡󰇜  𝑘𝑥󰇛𝑡󰇜 Tomando T. de Laplace con condiciones iniciales nulas 𝑚𝑠  𝑋󰇛𝑠󰇜  𝐹󰇛𝑠󰇜  𝑏𝑠𝑋󰇛𝑠󰇜  𝑘𝑋󰇛𝑠󰇜 Es decir 󰇛𝑚𝑠   𝑏𝑠  𝑘󰇜𝑋󰇛𝑠󰇜  𝐹󰇛𝑠󰇜 1 0.04 𝑋󰇛𝑠󰇜 𝑚    𝐺󰇛𝑠󰇜  𝑠  0.16𝑠  0.04 𝐹󰇛𝑠󰇜 𝑠  𝑏 𝑠  𝑘 𝑚 𝑚 n =0.2 rad/s Con lo que: K=1  =0.4 b) Por tanto, hay resonancia en torno a n =0.2 (se puede calcular, con más exactitud,  r).

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SOLUCIONES

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Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021. Soluciones c) Para que no haya resonancia (saltos del vehículo de mayor amplitud que la rodadura) se tiene que cumplir que  >=0.707; si imponemos ese valor a  : 2n = 2 * 0.707 * 0.2 = 0.2828 La forma más sencilla de obtener ese término en s es que lo aporte el parámetro del vehículo b, que solo aparece en ese término, y sin modificar la m, que aparece en más términos:

b = 0.2828 m Siendo m = 25, se evitaría la resonancia con un parámetro b: Y quedando

b = 0.2828*25 = 7.07

𝟎. 𝟎𝟒 𝒔𝟐  𝟎. 𝟐𝟖𝟐𝟖𝒔  𝟎. 𝟎𝟒

𝑮𝒔𝒓 󰇛𝒔󰇜 

Bode Diagram

0 -20 -40 -60 -80 0 -45 -90 -135 -180 10-2

10-1

100

101

Frequency (rad/s)

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SOLUCIONES

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Fundamentos de Automática Examen Ordinario: 9 de Junio de 2021. Soluciones Cuestión 2 (1.2 puntos) La respuesta de un sistema G(s) a un salto unitario es y(t) = t+1 − e−t para t ≥ 0, a) Calcule su función de transferencia G(s). (0.5) b) ¿Es estable el sistema G(s)? Razonar la respuesta. (0.1) c) Si cerramos el lazo con un regulador proporcional, determine los valores de Kp para los que el sistema en lazo cerrado sea estable. Suponer Kp>0. ¿Cuál es el tipo del sistema? (0.3) d) ¿Cuál es el margen de ganancia del sistema? Indicar cómo se calcula. (0.2) e) Calcule el error estacionario del sistema en lazo cerrado ante un escalón unitario en función de Kp (0.1) SOLUCIÓN a) La transformada de Laplace de la respuesta a un salto unitario de un sistema con función de transferencia G(s) es: 1 𝑌󰇛𝑠󰇜  𝐺󰇛𝑠󰇜 𝑠 Calculando la transformada de Laplace de la señal y(t), 󰇛𝑠  1󰇜  𝑠󰇛𝑠  1󰇜  𝑠  1 1 1  𝑌󰇛𝑠󰇜  ℒ󰇝𝑡  1  𝑒 󰇞  ℒ󰇛𝑡󰇜  ℒ󰇛1󰇜  ℒ󰇛𝑒  󰇜     𝑠 𝑠 󰇛𝑠  1󰇜 𝑠  󰇛𝑠  1󰇜   𝑠1𝑠 𝑠𝑠 2𝑠  1 2𝑠  1 1 1      𝐺󰇛𝑠󰇜 𝑠  󰇛𝑠  1󰇜 𝑠 󰇛𝑠  1󰇜 𝑠󰇛𝑠  1󰇜 𝑠 𝑠 𝟐𝒔𝟏 De donde obtenemos 𝑮󰇛𝒔󰇜  𝒔󰇛𝒔𝟏󰇜 b) El sistema es inestable, ya que ante una entrada acotada (escalón unitario) la respuesta no está acotada (tiende a infinito cuando t tiende a infinito). c) Al cerrar el lazo obtenemos una función de transferencia de lazo cerrado: 2𝑠  1 𝐾𝑝 𝐾𝑝𝐺󰇛𝑠󰇜 2𝐾𝑝𝑠  𝐾𝑝 𝑠󰇛𝑠  1󰇜 𝐹󰇛𝑠󰇜     𝑠  𝑠  2𝐾𝑝𝑠  𝐾𝑝 1  𝐾𝑝𝐺󰇛𝑠󰇜 1  𝐾𝑝 2𝑠  1 𝑠󰇛𝑠  1󰇜 Los polos del sistema son: 󰇛1  2𝐾𝑝󰇜  󰇛1  2𝐾𝑝󰇜  4𝐾𝑝 2 Para que los polos tengan todos parte real negativa (sea estable) se debe cumplir que: 󰇛1  2𝐾𝑝󰇜  4𝐾𝑝  󰇛1  2𝐾𝑝󰇜 Elevando al cuadrado en los dos lados de la igualdad: 󰇛1  2𝐾𝑝󰇜  4𝐾𝑝  󰇛1  2𝐾𝑝󰇜 Es decir 4𝐾𝑝  0 Que se cumple siempre que Kp>0. El sistema es estable para cualquier Kp>0. d) El margen de ganancia por lo tanto es infinito. e) El error estacionario es 0 por ser de tipo 1, la FT en lazo Abierto G*R tiene un polo en el origen.

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