Examen-prueba-02-sol 15 PDF

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examen resulto son las soluciones y explicaciones necesarias...

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Álgebra Básica

Prueba tema 2

apellidos

noviembre 2015 nombre

Instrucciones de uso.- Se trata de una autoevaluación, para ayudar a comprobar cómo se ha comprendido el tema 1 y qué posibles carencias pueden existir. Recomendamos lo siguiente: 1) Reserve al menos 2 horas sin interrupción para hacer el ejercicio. 2) No tenga a mano apuntes ni nada que pueda consultar para hacer los ejercicios. 3) Es una autoevaluación personal, haga la prueba en solitario. 4) A las dos horas, si va a continuar un poco más, apunte qué ha hecho hasta ese momento. 5) A las tres horas deje la prueba. 6) Revise la solución, que se aportará en la página web. Compruebe qué ha hecho bien y qué ha hecho mal. ¿Ha podido responder todas las cuestiones, bien o mal, en dos horas? ¿Y en tres horas? ¿Hay cosas que ni siquiera sabía cómo empezar a hacer? 7) Consulte con su profesor en tutorías todo aquello que no ha sabido hacer y/o que no comprenda. Ejercicio 1.

Sea el conjunto R \ {0} × R junto con la operación ⋆ definida por: (a, b) ⋆ (c, d) = (ac, ad + b)

1) 2)

Pruebe que tiene estructura de grupo. ¿Es abeliano? Razone si el subconjunto A = {(1, x) | x ∈ R} es subgrupo. ¿Se trata de un subgrupo normal?

Solución. 1) Si a, c 6= 0 entonces ac 6= 0, luego la operación ⋆ es interna. Dejamos para el lector comprobar que la operación ⋆ verifica la propiedad asociativa, que tiene un elemento neutro (1, 0) y que cada elemento (a, b) ∈ R \ {0} × R tiene un simétrico   1 −b −1 . , (a, b) = a a El grupo no es abeliano, pues (2, 1) ⋆ (1, 2) = (2, 5) mientras (1, 2) ⋆ (2, 1) = (2, 4). 2)

Es evidente que A = 6 ∅. Además, si (1, x), (1, y) ∈ A entonces (1, x) ⋆ (1, y)−1 = (1, x) ⋆ (1, −y) = (1, x − y) ∈ A. Luego A es subgrupo. Para comprobar si es normal, consideremos (a, b) ∈ R \ {0} × R y (1, x) ∈ A. Entonces      x 1 x−b 1 −b −1 ∈ A. ⋆ (a, b) = 1, ⋆ (1, x) ⋆ (a, b) = , , (a, b) ⋆ (1, x) ⋆ (a, b) = a a a a a Luego (a, b)−1 ⋆ A ⋆ (a, b) ⊂ A∀(a, b) ∈ R \ {0} × R y A es un sibgrupo normal.

Ejercicio 2. 1)

Pruebe que el conjunto   1 A=  0  0

de matrices:   a b  1 c  a, b, c ∈ Z/Z3  0 1

con el producto usual de matrices forman un grupo de orden 27 donde cada elemento distinto del neutro tiene orden 3. ¿Es abeliano? ¿Es cíclico?

2)

Estudie si el conjunto     1 0 d  B =  0 1 0  d ∈ Z/Z3 0 0 1

es subgrupo de A. En caso de ser subgrupo razone si se trata de un subgrupo normal. Solución. 1) Como el conjunto Z/Z3 tiene tres elementos, entonces A tiene 33 = 27 elementos. En cuanto a las propiedades de grupo, sabemos que el producto de matrices es asociativo. Dejamos como ejercicio comprobar que la operación es interna. El elemento neutro, la matriz identidad I, pertenece a A y el simétrico de una matriz es  −1   1 −a ac − b 1 a b  0 1 c  = 0 1 −c  ∈ A. 0 0 1 0 0 1 Por otro lado

 1 a b  0 1 c  0 0 1   1 2a ac + 2b 1 a  0 1 2c   0 1 0 0 1 0 0

2)



   1 2a ac + 2b 1 a b 2c  0 1 c =  0 1 0 0 1 0 0 1      1 0 0 1 3a 3ac + 3b b  =  0 1 0 . 3c c = 0 1 0 0 1 0 0 1 1

Luego el orden de cualquier elemento de A, salvo la identiodad, es 3. Como el grupo no tiene ningún elemento de orden 27, no es cíclico. Dejamos para el lector comprobar que no es abeliano. Es claro que B 6= ∅. Además, sean las matrices     1 0 e 1 0 d  0 1 0  ,  0 1 0  ∈ B. 0 0 1 0 0 1 Entonces

  −1   1 0 d−e 1 0 e 1 0 d  0 1 0  0 1 0  =  0 1 0  ∈ B. 0 0 1 0 0 1 0 0 1 

Luego B es subgrupo de A. Para probar que es normal veamos que se tiene M 1−1 M2 M1 ∈ H. Sean    1 1 a b M1 =  0 1 c  , M2 =  0 0 0 0 1 Entonces

tomando matrices arbitrarias M1 ∈ A y M2 ∈ B    1 −a ac − b 0 d −c  . 1 0  y M1−1 =  0 1 0 1 0 0 1

 1 0 d M1−1M2 M1 =  0 1 0  ∈ B. 0 0 1 

Luego M1−1BM1 ⊂ B∀M1 ∈ A. Es decir, B es un subgrupo normal de A. Ejercicio 3. Considérese un grupo (G, ⋆) tal que existen dos elementos a, b ∈ G que tienen orden 4 y satisfacen las siguientes relaciones: a4 = b4 = e, a2 = b2 y ba = a3 b. Se pide: 1) Compruebe que el subgrupo generado por {a, b} es Q8 = ha, bi = {e, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}.

2)

Encuentre un subgrupo de S8 isomorfo a Q8 .

Solución. 1)

Q8 = ha, bi. Por definición, un elemento x ∈ Q8 debe ser x = an1 bm1 an2 bm2 · · · anr bmr , r > 0, ni , mi ∈ Z.

Usando la relación ba = a3 b podemos intercambiar a y b en la expresión de x para obtener una expresión x = an bm , n, m ∈ Z. Como el orden de a y b es 4 podemos acotar algo más la expresión de x: x = an bm , 0 ≤ n, m ≤ 3. De ahí en principio salen 16 elementos, pero hay algunos repetidos, pues a2 = b2 . Usando esta relación se obtiene x = an bm , 0 ≤ n, ≤ 3, 0 ≤ m, ≤ 1. 2)

Luego Q8 = ha, bi = {e, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}. Para expresar Q8 como un subgrupo de S8 seguimos la demostración del teorema de Cayley. Etiquetamos los elementos de Q8 : x1 = e, x2 = a, x3 = a2 , x4 = a3 , x5 = b, x6 = ab, x7 = a2 b y x8 = a3 b. Ahora vemos qué permutación produce entre los elementos del grupo (en sus etiquetas) multiplicar por cada uno de ellos, haciendo la tabla de multiplicar: ⋆ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

x1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

x2 x2 x3 x4 x1 x8 x5 x6 x7

x3 x3 x4 x1 x2 x7 x8 x5 x6

x4 x4 x1 x2 x3 x6 x7 x8 x5

x5 x5 x6 x7 x8 x3 x4 x1 x2

x6 x6 x7 x8 x5 x2 x3 x4 x1

x7 x7 x8 x5 x6 x1 x2 x3 x4

x8 x8 x5 x6 x7 x4 x1 x2 x3

() (1234)(5678) (13)(24)(57)(68) (1432)(5876) (1537)(2846) (1638)(2547) (1735)(2648) (1836)(2745)

Entonces Q8 es isomorfo al subgrupo de S8 : H = {(), (1234)(5678), (13)(24)(57)(68), (1432)(5876), (1537)(2846), (1638)(2547), (1735)(2648), (1836)(2745)}. Ejercicio 4. En el grupo de permutaciones S4 se considera el subconjunto V = {(), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Se pide: 1) Pruebe que V es un subgrupo normal de S4 . 2) Calcule todos los elementos del grupo cociente S4 /V . 3) Pruebe que el grupo S4 /V es isomorfo a S3 . Solución. 1) plicar

Probemos primero que V ⊂ S4 es un subgrupo. Haciendo la tabla de multi◦ () (12)(34) (13)(24) () () (12)(34) (13)(24) (12)(34) (12)(34) () (14)(23) (13)(24) (13)(24) (14)(23) () (14)(23) (14)(23) (12)(34) (13)(24)

(14)(23) (14)(23) (13)(24) (12)(34) ()

2)

se observa que la operación es interna, que el simétrico de cada elemento de V está en V y que el elemento neutro () también pertenece a V . Luego es subgrupo. En este caso, con los argumentos de los que disponemos, probar que V es un subgrupo normal requiere de muchos cálculos, aunque no muy complicados. Es decir, para probar que para cada σ ∈ S4 σ −1 V σ ⊂ V hay que calcular ese producto con cada una de las 24 permutaciones de S4 y comprobar que siempre se obtiene V . Dado que S4 tiene 24 elementos y V tiene 4, el grupo cociente S4 /V tiene 24/4=6 elementos. Veamos cada clase: ()V = {(), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. (12)V = {(12), (34), (1324), (1423)}. (13)V = {(13), (1234), (24), (1432)}. (23)V = {(23), (1342), (1243), (14)}. (123)V = {(123), (134), (243), (142)}. (132)V = {(132), (234), (124), (143)}.

3)

Dado que en cada clase de S4 /V hay un único elemento de S3 , el isomorfismo de S4 /V en S3 es el que lleva cada clase en su único representante de S3 . Es claro que es una aplicación biyectiva. Como el producto de las clases es la clase del producto es también un homomorfismo....