Examen septiembre 2002, preguntas PDF

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UNED. ELCHE. TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.)

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES DE LA UNED. Asignatura: MATEMÁTICAS III. Segundo Curso de ADE. PRUEBA PERSONAL SEPTIEMBRE. 2002 (EX. OR) PRIMERA PARTE: Cuestiones Teórico-Prácticas 1. Utilizando el criterio de D'Alembert o del cociente, demostrar que la siguiente serie ∞ nn es divergente. numérica: n ! n =1

∑

Solución.n a n+ 1  1 = lim1 +  = e > 1 ⇒ la serie es divergente. lim n →∞ n→∞ a  n n 2. Obtenga el valor de la siguiente integral: A =

∫

π 2

sen 8 xdx

0

Solución.π

Llamemos A8 a la integral. Por partes, A8 = [− cos x·sen 7 x]20 + 7

∫

π 2

cos 2 x·sen 6 xdx =

0

π

π

7·5·3·1 7 35 35 2 A0 = = 7 sen xdx – 7A8 = 7A6 – 7A 8 ⇒ A8 = A6, luego A8 = dx = π. 256 128 0 8·6·4·2 8 0 3. Sea C(x) la función que representa el coste total de producir x unidades de un cierto producto. La razón a la que varia la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la gráfica de C(x) es la constante –2. Sabiendo que dicha gráfica pasa por los puntos A (1, –15) y B (2, 0), se pide hallar la ecuación de dicho coste total. Solución.C’’(x) = –2 ⇒ C’(x) = –2x + C1 ⇒ C(x) = –x2 + C1x + C2. Sustituyendo las coordenadas de A y B, se obtiene que C1 = 18 y C2 = –32 ⇒ C(x) = –x2 + 18x – 32. 4. Un concesionario de coches adquiere 105 coches, que puede ir vendiendo a razón de 7 coches por semana. Si el coste de almacenaje es de 50 euros/coche y semana, ¿cuánto tendrá que pagar por el almacenaje? Solución.15 15 7x 2   = 39375 €. Coste de almacenaje = 50(105 − 7 x )dx = 50105x − 0 2 0 

∫

2

∫

6

∫

5. Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia: I =

∫

∞ −∞

x

e x −e dx .

Solución.Cambio ex = t ⇒ I =

∫

∞

e − t dt = 1

0

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SEPTIEMBRE. 2002 (EX. OR)

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SEGUNDA PARTE: PROBLEMAS PROBLEMA NÚMERO 1. Obtener el valor de la integral doble I =

4 + y )( − y ) dxdy ( x · x ∫∫

efectuando el siguiente

R

u+ v u−v , siendo R la región del plano limitada por las ; y= 2 2 cuatro siguientes rectas: x + y = 1; x + y = 3 ; x – y = 1 ; x – y = –1 Solución.x + y = u y x – y = v, luego el recinto R está limitado por u = 1, u = 3; v = 1, v = –1. 1 1 1 ∂ ( x, y) 2 2 1 1 3 4 1 = u·v 4 dudv = udu v 4 dv = El jacobiano =− ⇒I= 1 1 −1 5 2 R 2 1 2 ∂( u , v) − 2 2

cambio de variable: x =

∫∫

∫ ∫

PROBLEMA NÚMERO 2. Dado el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, obtener la solución general del mismo: y' 1 = y 1 y ' 2 = y 1 + 3y 2 y '3 = y 2 + y 3 Solución.1−λ 0 0 Ecuación característica: 1 3 − λ 0 = (3 – λ) (1 – λ)2. 0 1 1 −λ

Para λ = 1, el espacio de autovectores es la recta x1 = x2 = 0, luego no podemos obtener 1 0 0  dos autovectores linealmente independientes, es decir, la matriz 1 3 0  no es diagonalizable.  0 1 1   Construiremos pues las soluciones:  c 7 e3 x  (c1 x + c2 )ex    (c x c )e x  para λ = 1: z1 =  3 + 4  ; para λ = 3: z2 =  c8 e3 x   c 9 e3 x  (c5 x + c 6 )e x      Sustituyendo en el sistema, se obtiene: - para z1: c1ex + (c1x+c2)ex = (c1x+c2)ex → c1ex = 0 → c1 = 0

{

c =0 c3ex + (c3x+c4)ex = (c1x+c2)ex + 3(c3x+c4)ex → (c3–2c4–c2) ex –2(c3+c1)xex = 0 → c3 = − 2c 2 4 c5ex + (c5x+c6)ex =(c3x+c4)ex + (c5x+c6)ex → (c5 –c4)ex–c3xex = 0 → c4 = c5 - para z2: 3c7e3x = c7e3x → 2c7e3x = 0 → c7 = 0 3c8e3x = c7e3x + 3c8e3x 3c9e3x = c8e3x + c9e3x → (2c9–c8)e3x = 0 → c8 = 2c9. –2/3–

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 − 2c5 ex 0    x  2c e3 x  . y z = Es decir: z1 = c 5e 2 9  3x  (c 5 x + c 6 )e x   c9 e    Renumerando las constantes, es decir poniendo c5 = C1, c6 = C2 y c9 = C3, obtenemos la solución general:   − 2C1 e x  z = z1 + z2 =  2C 3 e 3 x + C1 ex 3 x x  C e + ( C x + C ) e  1 2   3

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