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SOLUCIONARIO DE EXÁMENES PASADOS PARCIAL PROLOGO DEDICATORIA UMSA UMSA Facultad de Ingeniería MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES Universidad Mayor de San Andrés – Facultad de Ingeniería Segundo Parcial 6 de mayo de 2016 1.- (10 puntos) Demostrar que: L  f  t     d f s ds 2.- (10 puntos) Halla...

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SOLUCIONARIO DE EXÁMENES PASADOS PARCIAL

SOLUCIONARIO DE EXÁMENES

PROLOGO

DEDICATORIA

ÍNDICE

UMSA

Facultad de Ingeniería

UMSA

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES Universidad Mayor de San Andrés – Facultad de Ingeniería Segundo Parcial 6 de mayo de 2016

1.- (10 puntos) Demostrar que: L  f  t   

d f  s ds

2.- (10 puntos) Hallar el operador anular de: f  x    xe x  cos 2 x 

2

3.- (20 puntos) Resolver la ecuación diferencial: x2 y   x  2x  3 y   x 2  3x  3 y  6  x 2 e x 4.- (20 puntos) Resolver la ecuación diferencial: 3  x  y IV   3  x  y III  y    3  x   4 2

3

5.- (20 puntos) Utilizando la transformada de Laplace, resolver:

ty   2 y   ty  sen  t    ; y 0   0 6.- (20 puntos) Resolver la ecuación: y  4 y  4 y  f  t : y 0  0 , y   1

adelio ariel chavez

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II/2015 1.- a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula: f  x   3xe  4 xsen 2 2x b) Anote las hipótesis y tesis del primer teorema de traslación en términos del operador inverso L1 2.- Resolver la ecuación diferencial:

y  4 y  4 y  e 2x ln x



3.- Resolver la ecuación diferencial: x 2 y   2xy   2y  x 3  2 cos  ln x 2  4.- Resolver la ecuación diferencial: y  2 y  10 y  2 t  3  t  3  4 t  t  4 ;



y 0  1 , y  0  3

5.- Resolver la ecuación integro diferencial: f  t   f  t    t   f   d    f   d   t 0

t

adelio ariel chavez

t

0

; f  0  1

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PROBLEMAS RESUELTOS 1.- a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula: f  x   3xe  4 xsen 2 2x  1  cos 4 x  f  x   3xe 4 xsen 2 2x  3xe  4x   2   3 f  x   xe 4 x  xe  4 x cos 4x  2

El operador que anula a xe4 x   D  4  , y el operador que anula 2

2 xe 4 x cos 4 x  D  4   4 2   

2

Por lo tanto el operador que anula a la función f  x  es:

 D  4  D  4 2

2

 4 2 

2

b) Anote las hipótesis y tesis del primer teorema de traslación en términos del operador inverso L1

2.- Resolver la ecuación diferencial: y   4y   4y  e  2x ln x Resolución. 2x 2 2x y  4 y  4 y  e ln x   D  4 D  4  y  e ln x

Para la solución homogénea: r 2  4r  4  0   r  2  0  r   2 (dos veces) 2

y h  C1e 2 x  C 2xe 2 x

Para la solución particular apliquemos variación de parámetros:

x

yp 

 x0

y1z 

y 2z 

y 1x 

y 2x 

y 1z  y 1z 

y 2z 

f  z  dz 

yp  e

y 2z 

  x  z ln zdz  e

x0

adelio ariel chavez



x0

x 2 x

x

2 x

e 2z e2x 2z

e e 2 z

ze 2z xe 2x 2z

ze e 1  z 

 2z

e

x

ln zdz 



x0

e 2 x  e 2 z  x  z  e

4z

1 z  z 

e2 z ln zdz

2 z

   x ln zdz z ln zdz       I1 I2  

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du  dz u  ln z z Por partes    dv dz v z     dz I 1  uv   vdu  z ln z   z   z ln z  z  I1  z ln z  1 z

I 1   ln zdz

I 2   z ln zdz

du dz u  ln z   z  Por partes  dv   zdz  v  z 2    2

I 2  uv   vdu 

z 2 ln z z 2 dz z 2 ln z 1   zdz    2 z 2 2 2

 I1 

z2 1  ln z   2 2

Reemplazando los valores de las integrales  z2  1 y p  e2 x  x  z ln z  1   ln z    2 2  

z x

  x2  x2 x2 1  y p  e2 x  x 2 ln x 1   ln x     e 2 x  x 2 ln x  x 2  ln x   2 2  2 4   x2 x 2e  2x  3x 2  3   y p  e2 x  ln x  y p   ln x   4  2  4 2 yG  C1e2 x  C2 xe2 x 

x 2e 2x 2

3   ln x  4   



3.- Resolver la ecuación diferencial: x 2 y  2 xy  2 y  x 3  2 cos  ln x 2



Resolución Se trata de la ecuación diferencial de Euler, se hace el siguiente cambio de variable:

x  et , y  e  t

 d 2 y dy  dy , y   e 2 t  2   dt dt   dt

x2 y  2xy  2y  x 3 2 cos 2 ln x   d 2 y dy  dy e2 t  e  2t  2    2 et  e  t  2 y  et  3  2 cos 2 lnet  dt dt dt   2 d y dy dy d2 y dy t          3  2y  et  3 2 cos 2t   y e t 2 2 3 2 cos 2     2 2 dt dt dt dt dt Ecuación diferencial de coeficientes constantes Ecuación característica:

D

2

 3D  2 y   3e t  2e t cos 2t

La para solución homogénea: r2  3r  2  0   r  1  r  2   0  r1  1  r2  2

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yh  C1et  C 2e2 t Para hallar la solución particular, apliquemos operador anulador El operador que anula e t  D  1 El operador que anula e t cos 2t   D  1  2 2 2

D

2

 3D  2  y  3et  2e t cos 2t

 D 1  D 1

2

2 2  

 D  1   D  1 2  22   D 2  3D  2 y  0  D  1 D  1 2i  D  1 2i   D2  3D  2  y  0 Ecuación característica:

 r  1 r  1 2i  r  1 2i  r  1 r  2  0 2  r  1  r  2 r  1 2i  r  1 2i  0 r  1  r  2  r  1  2i  dos veces

y G  C 1e t  C 2e2 t  C 3te t  C 4e t cos 2t  C 5e tsen 2t    yh

yp

 y p  e t  C 3t  C 4 cos 2t  C 5sen 2t   t  y p  e C3  C 3t  2C 5  C 4 cos 2t  C 5  2C 4  sen2t   t  y p  e  2C 3  C 3t   4C 5  3C 4  cos 2t    3C 5  4C 4  sen2t 

2   3 

2 yp  et  2 C3 t  2 C4 cos 2 t  2 C5sen2 t    3y p  e t 3C 3  3C 3t   6C 5  3C 4  cos 2t    3C 5  6C 4  sen2t   t y p  e 2C 3 C 3t  4C 5 3C 4 cos 2t   3C 5  4C 4 sen2t  d 2y dy 3  2 y  et  C3   2 C5  4 C4  cos 2 t   4 C5  2C4  sen2t   et 3  2 cos 2t   2 dt dt  C3  3  Por comparación se tiene:   2C5  4C 4  2 ; resolviendo el sistema, los valores de las   4C  2C  0 5 4 

constantes son: C3  3 , C 5  

1 2 , C4   5 5

La solución general será:

2 1 yG  C1 et  C2 e2 t 3 tet  et cos 2 t  etsen2 t 5 5

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,

pero x  e t  t  ln x

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2 1 2 yG  C1 x  C2 x  3 x ln x  x cos 2 ln x  xsen2  ln x  5 5 4.- Resolver la ecuación diferencial: y  2 y  10 y  2t  3  t  3  4t  t  4 ;

y  0  1 , y  0  3

Resolución Previamente agrupamos y ordenamos, para luego aplicar L 



y  2 y  10 y  2t  3  t  3  4 t  4  4   t  4 y  2 y  10 y  2t  3  t  3  4 t  4   t  4  16  t  4

L 1 



2 4 16 e3s  2 e 4s  e 4s 2  s s s 2 4 16  s2  2 s  10Y s  s  5  s 2  e3s  s 2 e4s  s e4s s 3 5s 2 4 16   s  12  9 Y s   2   e 3 s  2 e 4 s  e 4 s    s s s 3 s  5s  2 1 1 1  Y s  e3 s  4 e4 s  16 e4 s 2 2 2 2 2 2 s s  1   9 s s  1  9 s  s  1  9  s  1  9 1

3

1

s 2Y s  s y 0  y 0   2 sY s  2 y 0  10Ys  



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 











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5.- Resolver la ecuación integro diferencial: 0

t

f  t   f  t    t   f   d    f   d   t t 0

; f  0  1

Resolución t

t

0

0

f  t   f  t     t   f   d    f   d   t sF  s   f 0 

1

 

 

 F s  L t L f t  L1 L f t 



L



1 s2



1 1 1 1  F s  2 2 sF s  f 0  s s s F s Fs  1 1 2  s  1 F s   2   2  1   s  1  F s   1 s s s s s 

 s  1 F s  1 

F s  

s s  2 s 2 s  2 s  1     2

  1 1   s    2 2   2  2 7  s  1    7         4  2  2  

  1 7   s   1 1 2 2    F s    2 2  2 2 2 7   1 7 1  7       s  2    2  2  s  2    2        

L1 



1  1t  t  7  1  12s  7    7  1  12s  7  f  t   e 2 cos t   e sen t    f t  e sen t   e 2 cos t  7 7   2   2    2   2 

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I/2015 1) a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula:

f  x   1 e 2x  cos3x 2

b) Anote las hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación en términos del operador inverso: L 1 2.- Resolver la ecuación diferencial: y  3 y  2 y 

e2x 1  ex

3.- Resolver la ecuación diferencial: x 2 y   5xy   5y  3ln x  2 cos  ln x 2   4 4.- Resolver la ecuación diferencial: y  9 y  f  t y 0   2 , y  0   0

2  t , 1  t  2  f t   1 , 0 t 1 0 , t  0 ; t  2 

5.- Resolver la ecuación integra-diferencial: t

t

0

0

y t  4 y t    t    y  d   y   d  t ; y0   1

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PROBLEMAS RESUELTOS 1) a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula:

f  x   1 e 2x  cos3x 2

Resolución f  x   1  e 2x  cos 3x  1 2e 2x  e 4x  cos 3x 2

f  x   cos3x  2e2 x cos3x  e4 x cos3x

Recordar que el operador que anula a cosbx  D 2  b 2 , y el operador que anula a

e ax  D  a Como las dos funciones están siendo multiplicados, el operador que los anulan será:

cos 3 x  D2  32 e 2 x cos 3 x  D  2   3 2 2

e 4 x cos 3 x  D  4   3 2 2

Por lo tanto el operador que anula a la función f  x  será:

D

2

 32    D  2   32    D  4   32  2

2

b) Anote las hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación en términos del operador inverso: L1 Resolución

2.- Resolver la ecuación diferencial: y   3y   2y 

e2x 1 e x

Resolución: Ecuación característica:

D 2  3D  2y 

e2 x 1  ex R x 

Hallando la solución homogénea: r 2  3r  2  0   r  2 r  1  0  r1  2  r2  1 La solución homogénea será: yh  C1 e  C2 e 2x

y1

x

y2

Teniendo la solución homogénea, podemos hallar la solución particular por variación de parámetros

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x

yp 

 x0

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y1 z 

y2 z 

y1 x 

y2 x 

y1 z 

y2 z 

y1z 

y2z 

R  z  dz 

x

 x0

e2 z e2 x

ez ex

e2z

ez

2e2 z

ez



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x e x ez   e z e x  e 2 z e2 z dz   e3z 1 2  1  ez dz 1 ez x0

x x  x ez   x ez  ez  ex ex e z x x x       dz e dz dz e dz e dz     z x 1 ez   x 1 ez x e z 1 ez    z  x0 1 e  x0 1 e 0 0 0    x z x z   e  e yp   ex   dz  ex   z dz   ex ln 1 ez   ex ln  e z  1 z e 1  x 0 1  e x0  x   e  1  yp   ex ln 1 ex  ex ln  x    e x ln 1  e x   e x ln e x  1   e x x   e   x

yp   ex 

yp   ex  ex  1 ln  ex  1  e2x x

La solución general será: yG  yh  y p yG  C1 e 2 x  C2 e x  e x  e x  1 ln  e x  1  e 2 x x

3.- Resolver la ecuación diferencial: x 2y  5xy  5y  3ln x  2 cos  ln x 2  4 Resolución. Se trata de la ecuación de Euler, para lo cual hacemos el siguiente cambio de variable: x  e t y  et

dy ; dt

 d 2 y dy  y  e2 t  2   dt   dt

x 2 y   5xy   5y  3ln x  2 cos 2 lnx   4  2 dy dy  2t 2t  d y  5 y  3ln et  2cos  2 ln et   4 e  e   2    5 et  e t dt dt   dt 2 d y dy dy d 2y dy        4  5y  3t  2 cos 2t  4 y t t 5 5 3 2 cos 2 4 2 2 dt dt dt dt dt

Ahora es una ecuación de coeficientes constantes Hallando la solución homogénea:

D

2

 4 D  5 y  0  r 2  4r  5  0 r1,2   2 i

yh  C1e2t cos t  C2 e 2t sent

Para hallar la solución particular apliquemos el método operador anular

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t  D2 cos 2t  D 2  2 2 4 D

D

2

 4 D 5   y  3 t  2 cos 2 t  4

D 2  D 2  4

D 2  D 2  4 D 2  4D  5  y  0 r 2  r 2  4 r 2  4r  5  0 r1,2  2  i

 r3,4  0  r5,6  2i  2 veces

La solución particular será: y p  C3  C 4t  C 5 cos 2t  C 6sen 2t La solución general tendrá la forma de yG  y h  y p 2 t  C2 e 2 t sent  C3  C4 t  C5 cos 2t  C6 sen 2t yG  C t  cos 1e     yh

yp

Pero la solución particular no tiene que tener constantes,  y p  C3  C 4t  C 5 cos 2t  C 6sen 2t 5  4  y p  C4  2C5sen 2t  2C 6 cos 2t   y   4C 5 cos 2t  4C 6sen 2t  5 y p  5C3  5C4t  5C5 cos 2t  5C6 sen2t   4 yp  4 C4  8 C5sen2 t  8 C 6cos 2 t  y   4C 5 cos 2t  4C 6sen2t d 2y dy 4 5 y  5C 3  4C 4  5C 4t  C 5  8C 6 cos 2t  C 6  8C 5sen 2t 2 dt dt 5C3  4C 4  5C 4t  C 5  8C 6  cos 2t   C 6  8C 5 sen2t  3t  2cos 2t  4

C3  8 25  5C3  4C4  4 C  3  5C4  3  4 5     C C 8 2 2 6  5 C5  65 C6  8 C5  0    C6  16  65 y G  C1e 2t cost  C 2e 2t sent  8

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25

 3 t  2 cos 2t  16 sen 2t 5 65 65

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4.- Resolver la ecuación diferencial: y   9 y  f  t 2  t , 1  t  2  f  t   1 , 0 t1 0 , t  0 ; t  2 

y 0   2 , y  0   0

Resolución ■ Previamente hallemos f t  , que es una función seccional: f t    2  t   t 1   t 2     1   t 0   t 1    0  t 1   t 2        f t   t  2 t 2    t  1  t 1   t 

Reemplazando f  t en la ecuación diferencial: y   9 y  f t  y  9 y   t  2  t 2    t  1   t 1    t





as Recordemos que: L f  t a   t a  F s e

L

;







L  t a  e at

1  2s 1  s 1 e  2e  s2 s s 1 1 1  s2  9  Y s  2 s  s 2 e2 s  s 2 e s  s 2s 1 1 1  2 Y s  e2 s  2 e s     s s s s s s s s s s 3 3 3 3 3 3 3      s  3           2

s 2Y s   s y  0   y 0

Y s 

0

 9Y s  

2s 1 1 e2s  es    2  s  s  3 s  3  s  3 s  3 s  s  3 s  3

1 1 0 1 1  G  19 H 118 J 118   A1 B  C D 9 E 54 F 54  2 s s  e  e     Y s       2    s s 3  s 3 s 3 s 3  s  s  3 s  3  s    1 1 1  1 1   1 1   9  1 54   54 e 2s  e s    9  18  18    L1   Y s      s s 3 s 3  s  3 s  3  s  3 s  3   s 2     3t 3t  3t 3 t  1 e3 t e 3 t   t e  t e e  e        Y s  e3t  e 3t         t t t 2  9 54 54   t  t t 1  9  18  18   t      9 54 54 

Y s  e  e 3t

3 t

 t  2 e3 t 2  e3 t  2    t  1 e3 t 1 e3 t 1   1 e3t e 3t           t2       t1       t 54 54  54 54   9 18 18   9  9

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5.- Resolver la ecuación integra-diferencial: t

t

y t  4 y t    t    y d   y   d  t ; y0   1 0 0  

Resolución yt  4 y t    t    y d   y  d  t   sY s   y 0 

1

t

t

0

0

 

L

 

 4F s  L t  L y t   L 1 L y t 







1 s2

1 1 1 1  f 0   F s  2 2 sF s s s s Fs  Fs  1 1 2  s  4  F s   2   2 1   s  4   F s  1 s s s s s 

 s  4  F s 1 

 s s s 2  2    F s   2 2  s  4s  2 s  2   2   s  2 2  2 

 

 s 2 F s     2 s  2  2  

 

 f  t   e 2 t cosh 

2

 2t  

adelio ariel chavez



2

2

2  s  2 

2 2 t e senh 2

2

 2 

2

 2t    

   

  2  L1 



f t  2e 2 t senh

 2t  e

2 t

cosh

 2t

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II-2014 ECUACIONES DIFERENCIALES – MAT207 Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniera Segundo Examen parcial – sábado 01 de noviembre de 2014 Cada Pregunta 20 puntos 1.- Resolver la ecuación diferencial

1 2x  x  y  2 1 x  y  2 y  2 2

Con y 0  3;

y0  2 Si se conoce: y1  1  x

2.- Resolver la ecuación diferencial:

x 2 y  3xy   5 y  5ln 2 x  6sen  ln x   2ln x 3.- Resolver la ecuación diferencial...