Exercices Corr - Très bon exercice de cristallographie PDF

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Très bon exercice de cristallographie...

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Exercice 1 : Le sodium Le sodium cristallise dans le système cubique centré. La masse volumique du solide est de 964 kg.m-3. 1. Dessiner la maille en perspective en assimilant les atomes à des points. 2. Dessiner le plan où les atomes sont en contact, en assimilant cette fois les atomes à des sphères de rayon r. 3. En déduire le rayon atomique du sodium. Donnée : M(Na) = 23.0 g.mol-1.

a 1.

2. r a

a

a 3. J’exprime r en fonction de a :

4r  a 3

ra

3 4

Je calcule a : a

4r

a3 

3

J’exprime a en fonction de 

V

n  M Na 

Na  

(n=2)

a  4.30 Å

Je calcule r : 3 a 4

AN : r  1.86  10

Na  

 n  M Na    a     Na   

Avec V  a 3

r

n  M Na 

10

m

Le rayon atomique du sodium est r  1.86 1010 Å

1/ 3



a3

n  M  Na 

Na  

Exercice 2 : L’empilement CC 1. Que vaut le paramètre de maille a par rapport au rayon d’un atome ? 2. Application au lanthane : Déterminer les paramètres de la maille du lanthane sachant que son rayon atomique est de 184 pm. 3. Autres exemples : compléter le tableau

Paramètre a de la maille cc (pm)

Elément chimique Li K Cs Cr Nb

Rayon atomique (pm) 157

543 628 149 330

1. J’exprime l’arête a du cube en fonction du rayon r de l’atome (voir Ex. 1) : a

4r

ou r  a

3

3 4

2. AN pour le lanthane :

a La 

4 184 10 12  425 pm 3

3. Elément chimique Li K Cs Cr Nb

Paramètre a de la maille cc (pm) 362 543 628 344 330

Rayon atomique r (pm) 157 235 272 149 142

Exercice 3 : L’argent L’argent cristallise suivant un empilement CFC de paramètre de maille expérimental a = 408,6 pm. 1. Dessiner la maille usuelle en représentant les atomes d’argent par des points. Déterminer le nombre d’atomes par maille. 2. Quel est le rayon atomique de l’argent ? 3. Calculer la masse volumique de l’argent. Donnée : M(Ag)=107,9 g.mol-1

2. J’exprime r en fonction de a :

1.

4r  a 2

ra

AN : r  408.6 

a

3. Calcul de la masse volumique :



AN :  

n  M Ag 

Na  V

4 107 .9 10  6.02 10

23



3

  408 .6  10 12



3

  10 .51  10 3 kg.m-3

2 4

2 = 144.5 pm 4

Exercice 4 : L’or L’or cristallise dans le système CFC. Sa masse volumique est égale à 19,282 g.cm-3 et sa masse molaire est égale à 196,97 g.mol-1. Quel est le rayon atomique ? a) 164 pm b) 154 pm c) 144 pm d) 134 pm

D’après l’exercice précédent :

ra

4r  a 2

2 4

et



n  M Au 

Na  V

;

Calcul du paramètre de maille a et du rayon r :

a 3

r

n  M  Au 

Na   2 3 n  M  Au   Na   4

AN : r 

3 2 3 4  196.97  10  = 144.22 10 12 m  23 4 6.02  10  19.282  10 3

Bonne réponse : c)

V  a3

Exercice 5 : Le zinc Le zinc métallique cristallise dans le système hexagonal compact. Les paramètres de maille déterminés par diffraction des rayons X sont : a = 266,5 pm et c = 494,7 pm. 1. En supposant qu’il y a contact entre atomes de zinc dans la plan A (plan de base de la maille), calculer le rayon atomique du zinc. 2. Faire de même en supposant cette fois-ci qu’il y a contact entre atomes des plans A et B. 3. L’empilement est-il idéal ? Proposer une valeur raisonnable du rayon atomique du zinc. 4. Calculer la masse volumique du zinc déduite des données expérimentales. Données : M(Zn) = 65,38 g.mol-1 2 façons de calculer le rayon atomique du zinc : 1. On considère les atomes en contact dans le plan ABC r

a = 133.3 pm 2

2. On considère les atomes en contact avec l’atome en H AH 2  AH  2  HH 2 2

a 

H

2r 2 c/2

r

B

a / 3 H’

C

2

a2  c    3  2

2

1 a2 c2  2 3 4

r = 145.7 pm

a

A



a2  c    3  2

Conclusion : l’empilement n’est pas idéal. On peut le vérifier en calculant c/a :

H

c/a = 1.856 (idéal : 1.633) La maille est « étirée » selon l’axe c. c/2 Calcul de la masse volumique :   A

a/ 3

H’

Dans la pseudo-maille : V  a 2 c

AN :



6.02 10

23



n  M  Zn

Na V

3 2

2  65 .38  10 3

 266 .5 10 12

  7139 kg.m-3

n2



2

 494 .7  10 12 





3/2

Exercice 6 : Rayon des sites interstitiels. Déterminer, dans un empilement compact CFC d’atomes de même nature et de rayon R, le rayon maximal de l’atome pouvant occuper un site tétraédrique, un site octaédrique. Exercice 7 : Construire un plan (011) au sein d’une maille élémentaire cubique. Exercice 8 : Calculer l’espacement interplanaire pour l’ensemble des plans (220) de cristaux de fer CC. Le paramètre du réseau du fer est de 0,2866 nm.

d

AN :

d

a h²  k ²  l ² 0.2866 2²  2²  0²



0.2866 8

 0 .1013 nm

Exercice 9 : Le tungstène (W) cristallise dans une structure métallique CC. Sa masse volumique est 19,30 g.cm-3 et sa masse molaire 183,9 g.mol-1. Calculer le paramètre de la maille cubique et le rayon de l’atome.



V 

n  M W 

Na  V

V  a3

n  M W 

a3

AN :

;

a3

N a  n  M W 

N a  2  183 .9  10 3  3.163 Å 6 .02 10 23 19 . 3 10 3

4r  a 3

ra

AN : r  a

3 4

3  1.370 Å 4

Exercice 10 : L’or est CFC, la maille ayant un paramètre de 4,077Å. Calculer le rayon de l’atome d’or et sa masse volumique. M(Au) = 197,0 g.mol-1.

Calcul du rayon atomique : a3

AN :

n  M  Au 

Na  

r

2 3 n  M  Au  Na   4

r

2 3 4 196.97 10 3  = 1.442  10 10 m 4 6.02 10 23 19.282 10 3

Calcul de la masse volumique :



AN :



n  M  Au 

Na V 4  197 10 3 6.02 10

23



 4 .077 10 10



3

 19 .32 10 3 kg.m-3

Exercice 11 : Le zinc cristallise dans une structure HC avec a = 2,665 Å et c = 4,947 Å. Calculer sa masse volumique sachant que M(Zn) = 65,38 g.mol-1.

Calcul de la masse volumique :   Dans la pseudo-maille : V  a 2 c

AN :



6.02 10

23



n  M  Zn

3 2

n2

3 2  65 .38 10 

 2.665  10 10

  7139 kg.m-3

Na  V



2

 4.947  10 10 





3/2

Exercice 12 : Le manganèse cristallise dans un réseau de Bravais cubique P. Sa masse volumique étant 7,26 g.cm-3 pour un paramètre de 0,6312 nm. Déterminer le nombre d’atomes par maille. Données : M(Mn) = 54,94 g.mol-1.

 n

AN :

n

n  M  Mn

Na V   Na  V M  Zn



7.26  10 3  6 .02  10 23  0 .6312  10 9 3 54 .94  10 



3

 20

Il y a 20 atomes de manganèse par maille

Exercice 13 : Etude du titane Le titane existe sous 2 formes cristallines : Ti et Ti 1) Etude du titane  Ti  Le titane  cristallise dans le mode d’empilement HC. Connaissant la valeur du paramètre a (295 pm), calculer la valeur du paramètre c (on suppose l’empilement compact idéal). Calculer dans ces conditions le rayon de l’atome de titane. Calculer la masse volumique de Ti avec ces paramètres. Donnée : M(Ti) = 47,88 g.mol-1. Le paramètre de maille c du titane  est 469 pm (détermination expérimentale par DRX). Calculer sa masse volumique en prenant cette valeur. Comparer à la masse volumique expérimentale qui est 4.51 x 103 kg.m-3. 2) Etude du titane  Ti Ti  correspond au mode CC (paramètre de la maille : 332 pm). On assimile les atomes à des sphères dures. Déterminer la compacité du mode d’empilement CC. Calculer le rayon de -3 l’atome de titane pour Ti  ainsi que la masse volumique (en kg.m ).

1) Etude de Ti  Dans un premier temps, on suppose l’empilement compact idéal.

ca

8 3

r

AN : c = 482 pm,



a 2

(Les atomes en contact dans le plan compact A) r = 148 pm

n MTi 

VPM  a 2c

et

Na VPM

3 2

AN :  = 4 381 kg.m-3  En réalité c = 469 pm La nouvelle masse volumique est : = 4 500 kg.m-3

On peut estimer l’écart entre la valeur calculée et celle expérimentale :  

4510  4500  0.002  0.2% 4510

Les deux résultats diffèrent de 0.2%, ils sont très proches.

2) Etude de Ti Structure CC, atomes en contact dans la diagonale d’espace du cube. D’où :

4r  a 3

C

 3 8

r

 0.68

Calcul du rayon : r 

a 3 4

C

n va V

(voir cours)

a 3 = 144 pm 4

Calcul de la masse volumique :  

AN :  

n  M Ti 

Na  V

2  47 .88 10  6 .02  10

23



3

 332  10 12



3

= 4 350 kg.m-3

Exercice 14 : Etude d’un alliage cuivre-or. La maille de l’alliage est représentée ci-dessous :

Les atomes sont tangents suivant les plans (101). Quelles sont les valeurs des paramètres de maille a, b, c en fonction des rayons atomiques rCu et rAu ? Combien y a-t-il d’atomes de cuivre et d’or dans la maille ? Quelle est la fraction massique de l’or dans cet alliage ? Un carat est la quantité d’or contenue dans un alliage, exprimée en vingt-quatrièmes de la masse totale. Quelle la quantité d’or de l’alliage exprimée en carats ? Quelle est la masse volumique de cet alliage ? Données : rCu = 128 pm ; rAu = 147 pm ; M(Cu) = 63.55 g.mol-1 ; M(Au) = 196.97 g.mol-1

Calcul des paramètres de maille a, b et c Base de la maille quadratique :

4  rCu  a 2

a

4  rCu 2

2  rCu  2  rAu  a 2  c 2 

1/ 2

Face latérale :



2

2  rCu  2  rAu  8  rCu  c 2

2



2 1/ 2

2

4  rCu  4  rAu  8  rCu rAu  8rCu  c2



2

2

c  4  rAu  4  rCu  8  rCu rAu

AN : a = b = 362 pm c = 414 pm



1/ 2

Détermination du nombre d’atomes de cuivre et d’or dans la maille Cuivre : 8 x 1/8 + 2 x 1/2 = 2 Or : 4 x 1/2 = 2

Calcul de la fraction massique d’or de l’alliage wAu :

w Au 

m Au 196 .97  0.756  mAu  mCu 196 .97  63 .55

Calcul de la quantité d’or en carats : wAu = 1 wAu = 0.756 w Au 

24 carats x?

24  0.756  18 1

C’est un alliage d’or 18 carats

Calcul de la masse volumique de l’alliage :



n M

Na  V n=2 M = 63.55 + 196.97 = 260.52 g.mol-1 = 0.26052 kg.mol-1

V = a2c = 362  10 12   414  10 12  5.425  10 29 m3 2

AN :  

2  0.26052  15 953 kg.m-3 6.02 10 23  5.425 10 29

PROBLEME 1 : Etude cristallographique du nickel. Le nickel solide, variété Ni, est décrit par un réseau CFC. Représenter sur un cube en perspective la maille conventionnelle en figurant les atomes par des points. On ne figurera que les atomes vus par l’observateur. Qu’appelle-t-on coordinence d’un atome ? Donner sa valeur dans le cas du Ni. Représenter une face du cube élémentaire en assimilant les atomes de nickel à des sphères de rayon r. On indiquera clairement les contacts entre les atomes. Quelle relation existe-t-il entre le rayon atomique r et le paramètre a de la maille conventionnelle (arête du cube) ? Quel est le nombre d’atomes par maille ? Quelles sont les valeurs du rayon atomique r et de la masse volumique du nickel sachant que le paramètre de maille a vaut 351 pm? On donne M(Ni) = 58,69 g.mol-1

r

r Ni   

a Ni    2 4

= 124 pm

  9 018103 kg.m-3

PROBLEME 2 : Etude du zirconium. A l’état solide, le zirconium existe sous deux variétés allotropiques : Zr  HC à température inférieure à 863°C, Zr CC à température de 863°C jusqu’à la température de fusion 1840°C. Dessiner dans les deux cas une maille conventionnelle du réseau cristallin. Quels sont les paramètres géométriques qui caractérisent ces mailles ? Donner dans les deux cas le nombre d’atomes par maille, la coordinence et la compacité. A la température ambiante, les données cristallographiques fournissent pour valeurs des paramètres de maille de Zr : a = 0.323 nm et c = 0.515 nm. Ce système est-il rigoureusement compact (idéal) ? Proposer une valeur raisonnable du rayon r de l’atome métallique dans un environnement à 12 voisins. La masse atomique du zirconium est 91,22 .10-3 kg.mol-1. En déduire la masse volumique de la variété Zr à la température ambiante.

Plan A

c

Plan B

Plan A a a Maille du Zr  

Nombre d’atomes par maille Coordinence Compacité







Maille HC 6 12 0.74

Maille du Zr

Maille CC 2 8 0.68

On calcule le rapport c/a : c/a = 1.594 < 1.633. L’empilement n’est pas rigoureusement compact. La maille est légèrement aplatie selon l’axe c.

Il y a deux manières de calculer le rayon atomique, qui ne vont pas donner le même résultat car la maille HC n’est pas idéale : 1) Les atomes dans le plan A sont en contact : r

a = 0.1615 nm 2

H

2) Contact entre atomes des plans A et B : c/2 AH = 2r

a / 3 H’

Calcul de la longueur AH dans le triangle rectangle AHH’ rectangle en H’ :

a

A

2 2 2 AH  AH   HH  2

2

c   a  AH 2       2   3  AH 2 

c2 a2  4 3

AH 

c a  4 3

2

2

Calcul du rayon atomique : r

1 AH 2

1 a 2 c2  2 3 4 r  0.1 590 nm r

Une valeur raisonnable de r : r  0. 1600 nm Calcul de la masse volumique :  

2 Dans la pseudo-maille : V  a c

AN :



6.02 10

23



 0.323 10

  6 513 kg.m-3

n  M Zr

Na V

3 2

2 91 .22 10 

n2 3

  0.515 10

9 2

B

9





3/2



C

PROBLEME 3: Variétés allotropiques du fer. Sous une pression de 1 bar, le fer existe sous différentes formes cristallographiques qui dépendent de la température : Fe (CC)  Fe (CFC) à 910 °C 1. Etude du fer  Le cristal parfait du fer  est décrit par un réseau cubique (CC). Quelle est la coordinence des atomes de fer ? Représenter les atomes de fer contenus dans le plan (110). On indiquera clairement les contacts entre les atomes de ce plan. Quelle est la relation liant r(Fe) et le paramètre a de la maille conventionnelle ? Calculer la masse volumique  du fer  à 910 °C. -1 On donne r(Fe ) = 126 pm à 910°C ; M(Fe) = 55,85 g.mol 2. Etude du fer  Le cristal parfait de fer  est décrit par un réseau cubique à faces centrées (CFC). Quelle est la coordinence des atomes de fer ? Représenter les atomes de fer contenus dans le plan (100). On indiquera clairement les contacts entre les atomes de ce plan. Quelle est la relation liant r(Fe) et le paramètre a de la maille conventionnelle ? Calculer la masse volumique  du fer à T > 910 °C. On donne a(Fe) = 365 pm. Peut-on considérer le rayon métallique du fer comme constant ? Proposer une explication.

1. Le fer  Coordinence : 8 (structure monoatomique CC) Représentation des atomes dans le plan (110) a 4  r Fe   a  Fe   3

a Fe  

a

a



4  r Fe  3

= 2.91 Å

2  55.85  10



6.02 10 23  2.91 10 10

  7 531 kg.m-3 Plan (110)

3



3

2. Le fer  Coordinence 12 4  r Fe   a Fe   2  

rFe    

a  Fe   2 

4

=1.29 Å

a 2



4  55.85  10 3



23 10 6.02 10  3.65 10 

r

  7 631 kg.m-3 Plan (100)



3

H

B

K H’

B

a/2 Empilement HC, pseudo-maille HC vue de dessus (losange)

H’

Les 4 atomes représentés sont en contact et forment un tétraèdre régulier

C A

1. Calcul du rapport c/a : caractéristique de l’empilement HC idéal Calcul de la distance AH’ : H’ est le centre du triangle ABC (isobarycentre des points A, B et C) Il est situé aux 2/3 de la médiane issue de A (B ou C) qui est également, dans un triangle équilatéral, la hauteur. Dans le triangle ACK rectangle en A :

a AK  a    2  2

2. Calcul de la compacité de la structure HC - Calcul du volume VPM de la pseudo-maille : Les paramètres de la maille sont : a = b, c,  =  = 90° et  = 120°

AH  

2

8 3

2

3

2 a AK  3 3

2

a  c   3  2 2 2 c2 a  3 4

a  4 4   r3       a 3 3 3  2 6

Va t 

2

Vat 

 6

a3

- Calcul de la compacité :

a 

c  a

3

- Calcul du volume Vat d’un atome :

3 2

Dans le triangle AHH’ rectangle en H’ : AH 2  AH  2  HH 2 2

VPM  a

3 3 2 8  a a 2 2 3

2

AK  a

D’où :

Représentation dans le plan ABC

VPM  a 2 c

AC2  AK 2  CK 2

C

a

A

Les atomes sont centrés en A, B, C et H

C C

n V at V PM 2  6 2

C

 2 6...