Factor de paso y Factor de distribución Chapman. 5ta PDF

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Información sobre factores de paso, y como saber los factores de distribución....

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APÉNDICE

B

Paso de bobina y devanados distribuidos

Como se mencionó en el capítulo 3, el voltaje inducido en una máquina de ca es sinusoidal sólo si se suprimen los componentes armónicos de la densidad de flujo del entrehierro. Este apéndice describe dos técnicas utilizadas por los diseñadores de maquinaria para suprimir los armónicos en las máquinas.

B.1 EFECTO DEL PASO DE BOBINA EN LAS MÁQUINAS DE CA En la máquina de ca de diseño sencillo de la sección 3.4 los voltajes de salida de las bobinas del estator eran sinusoidales porque la distribución de la densidad de flujo del entrehierro también lo era. Si la distribución de la densidad de flujo del entrehierro no fuera sinusoidal, entonces los voltajes de salida del estator tampoco lo serían, tendrían la misma forma no sinusoidal que la distribución de densidad de flujo. En general, la distribución de densidad de flujo del entrehierro en una máquina de ca no será sinusoidal. Los diseñadores de máquinas hacen todo lo que está a su alcance para producir distribuciones de flujo sinusoidales, pero no se ha podido llegar a un diseño perfecto. La distribución de fl ujo real consistirá en un componente sinusoidal fundamental más los armónicos. Estos componentes armónicos del flujo generarán componentes armónicos en los voltajes y en las corrientes del estator. En realidad los componentes armónicos en los voltajes y corrientes del estator son indeseables, por lo que se han desarrollado técnicas para suprimidos en los voltajes y corrientes de salida de la máquina. La utilización de devanados de paso fraccionado es una técnica importante de supresión de armónicos.

Paso de una bobina El paso polar es la distancia angular entre dos polos adyacentes en una máquina. El paso polar de una máquina en grados eléctricos es p

360° P

S

(B-1)

donde rp es el paso polar en grados mecánicos y P es el número de polos en la máquina. Sin importar el número de polos en la máquina, el paso polar siempre es de 180 grados eléctricos (véase la figura B-1). Si la bobina del estator pasa a través del mismo ángulo que el paso polar, se llama bobina de paso completo. Si la bobina del estator pasa a través de un ángulo menor que el paso polar, se llama bobina de paso fraccionado. El paso de una bobina de paso fraccionado a menudo se expresa como una fracción que indica la porción del paso polar que abarca. Por ejemplo, una bobina de

p

= 90° mecánicos 180° eléctricos

p

N

N

S

FIGURA B-1 El paso polar de una máquina de cuatro polos es de 90 grados mecánicos o de 180 eléctricos.

470

APÉNDICE B Paso de bobina y devanados distribuidos

paso de 5/6 abarca cinco sextos de la distancia entre dos polos adyacentes. De manera alternativa, el paso de una bobina de paso fraccionado en grados eléctricos está dado por la ecuación (B-2): m

(B-2a)

180°

p

donde um es el ángulo mecánico que recorre la bobina en grados yrp es el paso polar de la máquina en grados mecánicos, o mP

(B-2b)

180°

2

donde um es el ángulo mecánico que recorre la bobina en grados y P es el número de polos en la máquina. La mayoría de las bobinas prácticas del estator tienen un paso fraccionado, puesto que un devanado de paso fraccionado aporta ciertos beneficios importantes que se explicarán más adelante. Los devanados que usan bobinas de paso fraccionado se conocen como devanados de cuerdas.

El voltaje inducido de una bobina de paso fraccionado ¿Cuál es el efecto que tiene el paso fraccionado en el voltaje de salida de una bobina? Para encontrar la respuesta a esta pregunta, examínese una máquina simple con dos polos con el devanado de paso fraccionado que se muestra en la figura B-2. El paso polar de la máquina es de 180° y el paso de bobina es de r. El voltaje inducido por el campo magnético giratorio en la bobina se puede encontrar exactamente de la misma manera que en la sección anterior, por medio de la determinación de los voltajes en cada lado de la bobina. El voltaje total será igual a la suma de los voltajes en los lados individuales. Densidad de flujo del entrehierro: B( ) = BM cos ( t – )

B vrel c–d

Rotor Entrehierro Estator 90° – –2–

BM

90° – –– 2

a–b

vrel La rotación del rotor es en SCMR.

B

En realidad el voltaje va hacia la página, puesto que B es negativo en este lugar.

FIGURA B-2 Devanado de paso fraccionado de paso r. Las densidades y velocidades de flujo magnético vectoriales en los lados de la bobina. Las velocidades tienen un marco de referencia en donde el campo magnético es estacionario.

B.1 Efecto del paso de bobina en las máquinas de ca

Al igual que en el caso anterior, suponga que la magnitud del vector de densidad de flujo B en el entrehierro entre el rotor y el estator varía sinusoidalmente con el ángulo mecánico, mientras que la dirección de B siempre es radialmente hacia afuera. Si a es el ángulo medido a partir de la dirección de la densidad de flujo máxima del rotor, entonces la magnitud del vector de densidad de flujo B en cualquier punto alrededor del rotor está dada por B = BM cos a

(B-3a)

Puesto que el rotor gira dentro del estator a una velocidad angular devm, la magnitud del vector de densidad de flujo B a cualquier ángulo a alrededor del estator está dada por BM cos ( t

B

)

(B-3b)

La ecuación del voltaje inducido en un alambre es (1-45)

eind = (v × B) • l donde v = velocidad del alambre en relación con el campo magnético B = vector de densidad del flujo magnético l = longitud del conductor en el campo magnético

Esta ecuación sólo se puede utilizar en un marco de referencia donde el campo magnético parezca estacionario. Si usted “se sienta en el campo magnético” de tal manera que éste parezca estacionario, observará que los lados de la bobina tienen una velocidad aparente vrel y se puede aplicar la ecuación. La figura B-2 muestra el campo magnético y velocidades vectoriales desde el punto de vista de un campo magnético estacionario y un alambre en movimiento. 1. Segmento ab. En el segmento ab de la bobina de paso fraccionado,a = 90° + r/2. Si se supone que B tiene una dirección radial hacia afuera del rotor, el ángulo entre v y B en el segmento ab es de 90°, mientras que la cantidad v × B tiene la misma dirección que l, por lo que eba

(v B) • l vBl dirigido hacia fuera de la página vBM cos vBMl cos

mt

mt

90° 90°

2

l (B-4)

2

donde el signo negativo se debe al hecho de que en realidad B apunta hacia adentro cuando se supuso que apuntaba hacia afuera. 2. Segmento bc. El voltaje en el segmento bc es cero, puesto que la cantidad vectorial v × B es perpendicular a l, por lo que (B-5)

e cb = (v × B) • l = 0

3. Segmento cd. En el segmento cd el ángulo a = 90° − r/2. Si se supone que B tiene una dirección radial hacia afuera del rotor, el ángulo entre v y B en el segmento cd es de 90°, mientras que la cantidad v × B tiene la misma dirección que l, por lo que edc

eba

(v

B) • l

vBl

dirigido hacia fuera de la página

vBM cos vBMl cos

mt

mt

90° 90°

2 2

l (B-6)

471

472

APÉNDICE B Paso de bobina y devanados distribuidos

4. Segmento da. El voltaje en el segmento da es cero, puesto que la cantidad vectorial v × B es perpendicular a l, por lo que (B-7)

ead = (v × B) • l = 0 Por lo tanto, el voltaje total en la bobina será de eind

eba

edc

vBMl cos

90°

mt

vBMl cos

2

90°

mt

2

Con la ayuda de las identidades trigonométricas, cos

mt

90°

cos

mt

90°

sen (

mt

90°)

2 2

cos (

mt

90°) cos

cos (

mt

90°) cos

cos

2 2

sen (

mt

90°) sen

sen (

mt

90°) sen

2 2

mt

Por lo tanto, el voltaje resultante total es de eind

vBMl cos (

cos ( mt

90°) cos

mt

90°) cos

2vBMl sen sen ( 2 2vBMl sen cos 2

sen (

2 sen(

2

mt

mt

90°) sen

90°) sen

2

2

90°)

mt

mt

Puesto que 2vBMl es igual a fvm, la expresión final del voltaje en una sola vuelta es sen cos 2

e ind

mt

(B-8)

El anterior es el mismo valor que el del voltaje en un devanado de paso completo, excepto por el término sen r/2. Se acostumbra definir este término como el factor de paso kp de la bobina. El factor de paso de una bobina está dado por sen

kp

(B-9)

2

En términos de factor de paso, el voltaje inducido en una bobina de una sola vuelta es de kpφ

eind

m

cos

(B-10)

mt

Entonces, el voltaje total en una bobina de paso fraccionado de N vueltas es eind

NC kpφ

m

cos

mt

(B-11)

y su voltaje máximo es de Emáx

NC kpφ

m

2 NC kp f

(B-12) (B-13)

B.1

Efecto del paso de bobina en las máquinas de ca

Por lo tanto, el voltaje rms de cualquier fase del estator trifásico es 2

EA

NC kp f

(B-14)

2 NC kp f

(B-15)

2

Nótese que para una bobina de paso completo, r = 180°, y la ecuación (B-15) se reduce al mismo resultado que antes. Para las máquinas con más de dos polos, la ecuación (B-9) da el factor de paso si el paso de la bobina r está en grados eléctricos. Si el paso de la bobina está en grados mecánicos, entonces el factor de paso está dado por kp

mP sen 2

(B-16)

473

476

APÉNDICE B Paso de bobina y devanados distribuidos

300 Paso fraccionado

B.2 DEVANADOS DISTRIBUIDOS EN LAS MÁQUINAS DE CA En la sección anterior se supuso implícitamente que los devanados asociados con cada fase de una máquina de ca estaban concentrados en un solo par de ranuras en la superfi cie del estator. De hecho, los devanados asociados con cada fase casi siempre están distribuidos entre varios pares de ranuras adyacentes, puesto que es simplemente imposible poner todos los conductores en una sola ranura.

Voltaje en las terminales, V

200 Paso completo 100

0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 Tiempo, ciclos

1.00

–100

–200

–300

FIGURA B-4 Voltaje de línea que sale de un generador trifásico con devanados de paso completo y de paso fraccionado. A pesar de que el pico del voltaje del devanado de paso fraccionado es un poco menor que el del devanado de paso completo, su voltaje de salida es mucho más puro.

La construcción de los devanados del estator en las máquinas de ca reales es muy complicada. Los estatores de las máquinas de ca normales constan de varias bobinas en cada fase, distribuidas en ranuras alrededor de la superfi cie interior del estator. En las máquinas más grandes cada bobina es una unidad preformada que consta de un cierto número de vueltas, cada una aislada de las otras y del lado del estator en sí (véase la fi gura B-5). El voltaje en cualquiera de las vueltas sencillas de alambre es muy pequeño y sólo si se unen varias de estas vueltas en serie se pueden producir voltajes razonables. Por lo general, este gran número de vueltas está físicamente dividido entre varias bobinas que están ubicadas en ranuras espaciadas de manera uniforme a lo largo de la superfi cie del estator, como se muestra en la fi gura B-6. El espaciado en grados entre las ranuras adyacentes de un estator se llama paso de ranurag del estator. El paso de ranura se puede expresar en grados mecánicos o eléctricos.

Bobina estatórica preformada Terminales

Cinta protectora de vidrio Vueltas Aislamiento a tierra Hilos

FIGURA B-5 La típica bobina estatórica preformada. (Cortesía de General Electric Company.)

B.2 Devanados distribuidos en las máquinas de ca

477

b)

a)

FIGURA B-6 a) Estator de máquina de ca con bobinas estatóricas preformadas. (Cortesía de Westinghouse Electric Company.) b) Vista en detalle de los extremos de la bobina en un estator. Nótese que un lado de la bobina estará más cerca de la orilla en su ranura y el otro lado estará más cerca del centro. Esta configuración permite que se utilice la misma forma de bobina estándar en cada ranura del estator. (Cortesía de General Electric Company.)

Excepto en máquinas muy pequeñas, por lo regular las bobinas del estator están formadas en devanados de doble capa, como se muestra en la figura B-7. Normalmente los devanados de doble capa son más fáciles de fabricar (menos ranuras para un número dado de bobinas) y las conexiones en los extremos son más sencillas que las de los devanados de una capa. Por lo tanto, son mucho menos caros de fabricar. La figura B-7 muestra un devanado distribuido de paso completo para una máquina con dos polos. En este devanado hay cuatro bobinas asociadas con cada fase. Todos los lados de la bobina de una fase dada están localizados en ranuras adyacentes y se llaman cinturón de fase o grupo de fase. Nótese que hay seis cinturones de fase en este estator de dos polos. En general hay 3P grupos de fase en un estator con P polos, P en cada fase. La figura B-8 muestra un devanado distribuido que utiliza bobinas de paso fraccionado. Nótese que este devanado aún tiene grupos de fase, pero que se pueden mezclar las fases de las bobinas dentro de una ranura individual. El paso de las bobinas es de 5/6 o de 150 grados eléctricos.

Grupo de fase

a1

a3 c92

a2

a4

b91

c91

b92

c94 c4

c93

c3 b1

c2

b2 b4

a91

b3 a92

a93

c1

a94

FIGURA B-7 Un devanado distribuido de paso completo de doble capa para una máquina de ca con dos polos.

Factor de amplitud o de distribución Si se divide el número total requerido de vueltas en bobinas independientes, es posible lograr un uso más eficiente de la superficie interior del estator y se proporciona más fuerza estructural, puesto que las ranuras labradas en el marco del estator pueden ser más pequeñas. Sin embargo, el hecho de que las vueltas que componen una cierta fase estén en diferentes ángulos significa que sus voltajes serán un poco más pequeños de lo que se esperaría de otra manera. Para entender este problema, examínese la máquina que se muestra en la figura B-9. Esta máquina tiene un devanado de una capa y el devanado del estator de cada fase (cada grupo de fase) está distribuido entre tres ranuras separadas por 20°. Si la bobina central de la fase a tiene inicialmente un voltaje dado por E a2 = E ∠ 0° V

b94 b93

478

APÉNDICE B Paso de bobina y devanados distribuidos

entonces los voltajes en las otras dos bobinas de la fase a serán

Grupo de fase

c92

E a1 = E ∠ −20° V

a1 a4

a3 c91

E a3 = E ∠ 20° V

b94 a2

c93

El voltaje total en la fase a está dado por b93

c94 b 2

b92

Ea

Ea1

Ea2

E ∠ –20° b1

b91 c3

b4 a91 b3

c4 a93 a92

Ea3 E ∠ 0°

E cos (–20°)

c2 a94

jE sen (–20°)

2E cos 20°

E

c1

E ∠ 20° E cos 20°

E

jE sen 20°

2.879 E

Este voltaje en la fase a no es exactamente la que se esperaría si las bobinas en una fase dada hubieran estado todas concentradas en la misma ranura. En ese caso, el voltaje Ea sería igual a 3E en lugar de 2.879E. La relación entre el voltaje real en una fase del devanado distribuido y su valor esperado en un devanado concentrado con el mismo número de vueltas se llama factor de amplitud o factor de distribución del devanado. El factor de distribución se define como

FIGURA B-8

Devanado de ca de paso fraccionado de doble capa para una máquina de ca con dos polos.

kd

V real V esperado sin distribución

(B-20)

Entonces, el factor de distribución de la máquina de la figura B-9 es kd

2.879E 3E

(B-21)

0.960

El factor de distribución es una manera conveniente de resumir la disminución del voltaje provocada por la distribución espacial de las bobinas en un devanado del estator. Grupo de fase

a3

a2

a1

c91

b93

c92

b92

20° 20°

c93

b91

b1

c3

c2

b2 c1

b3 a91

a92

a93

FIGURA B-9 Estator de dos polos con un devanado de una capa que consta de tres bobinas por fase, cada una separada por 20°.

B.2 Devanados distribuidos en las máquinas de ca

Se puede mostrar (véase al final del apéndice la fuente registrada con el número 1) que en un devanado con n ranuras por grupo de fase espaciadas por g grados, el factor de distribución está dado por sen (n 2) kd (B-22) n sen ( 2) Nótese que en el ejemplo anterior con n = 3 y g = 20°, el factor de distribución es kd

sen (n /2) n sen ( /2)

sen[(3)(20°)/2] 3 sen(20°/2)

0.960

(B-22)

que es el mismo resultado que se obtuvo antes.

Voltaje generado que incluye los efectos de distribución Ya se determinó que el voltaje rms en una sola bobina de NC vueltas y un factor de paso de kp es 2 NC kp f

EA

(B-15)

Si la fase del estator consta de i bobinas, cada una con NC vueltas, entonces habrá un total de NP = iNC vueltas en la fase. El voltaje presente a través de la fase será igual al voltaje debido a NP vueltas presentes en la misma ranura multiplicadas por la reducción provocada por el factor de distribución, por lo que el voltaje de fase total será EA

2 NP kp kd f

(B-23)

El factor de paso y el factor de distribución de un devanado a veces se combinan en un solo factor de devanado kw, para facilitar su uso. El factor de devanado de un estator está dado por kw

kp kd

(B-24)

Si se aplica esta definición a la ecuación del voltaje en una fase se tiene EA

2 NP kw f

(B-25)

EJEMPLO 8-2 El estator de una máquina síncrona simple con dos polos, trifásica, conectada en Y, se utiliza para hacer un generador. Tiene una construcción de bobina de doble capa, con cuatro bobinas del estator por fase distribuidas como se observa en la figura B-8. Cada bobina consta de 10 vueltas. Los devanados tienen un paso eléctrico de 150°, como...