Factorizacion lu - Lecture notes fACTORIZACIÓN LU PDF

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FACTORIZACIÓN LU

Kiara Urbiña, Yeiner Carpintero, Yilibeth Santana Ramos Dpto. Ciencias Básicas, Universidad Del Sinú: Elías Bechara Zainúm Análisis numérico Julio Madera 19/10/2020

¿QUÉ ES LA FACTORIZACIÓN LU? La factorización LU de una matriz es una factorización que resume el proceso de eliminación gaussiana aplicado a la matriz y que es conveniente en términos del número total de operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la inversa de una matriz o cuando se resolverá una serie de sistemas de ecuaciones con una misma matriz de coeficientes. FACTORIZACION LU Suponga que la matriz A es una matriz m x n se puede escribir como el producto de dos matrices: A = LU donde L es una matriz triangular inferior m × m y U es una matriz escalonada m × n. Entonces para resolver el sistema: A x = b, Escribimos A x = (L U) x = L (U x ) Una posible estrategia de solución consiste en tomar y = U x y resolver para y: L y = b. Como la matriz L es triangular superior este sistema puede resolverse mediante sustitución hacia abajo, lo cual se hace fácilmente en m2 FLOPS. Una vez con los valores encontrados de y, las incógnitas al sistema inicial se resuelven despejando x de… Ux=y Nuevamente, como U es escalonada, este sistema puede resolverse en caso de tener solución mediante sustitución hacia atrás, lo cual es sencillo. Estas observaciones nos dan la pauta para ver la conveniencia de una factorización como la anterior, es decir factorizar A como el producto de una matriz L triangular superior, por otra U la cual es escalonada. Esta factorización se llama usualmente Descomposición LU.

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

CODIGO EN OCTAVE FACTORIZACIÓN LU function [L,U]=slu(A) [n,n]=size(A); L=eye(n) U=A for i=1:n-1

pivote=U(i,i); for j=i+1:n f=U(j,i)/pivote; L(j,i)=f; U(j,:)=U(j,:)-U(i,:)*f;

endfor endfor

y=delante(L,b); x=atras(U,y);

endfunction

HACIA ATRAS function x=atras(A,b)

n=length(A); x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/A(n,n);

for i=n-1:-1:1 suma=0; for k=i+1:n suma=suma+A(i,k)*x(k); endfor x(i)=(b(i)-suma)/A(i,i); endfor...