Factorizacion LU - Apuntes 2 PDF

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Explicación factorización LU...

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1

Factorizaci´ on LU Resumen Teorema Sea A = (aij ) una matriz cuadrada de orden n tal que las n submatrices diagonales 

··· ··· ···

a11  ∆k =  · · · ak1



a1k  ··· , 1 ≤ k ≤ n akk

son inversibles. Entonces, existe una matriz triangular inferior L = (lij ) con lii = 1, 1 ≤ i ≤ n y una matriz triangular superior U tales que A = LU. Adem´ as, tal factorizaci´ on es u ´nica. Demostraci´ on Como a11 6= 0, podemos pivotar con este elemento para conseguir cero en los restantes elementos de la primera columna, sin necesidad de hacer permutaciones de filas. Supongamos que ha ocurrido lo mismo en las k − 1 primeras etapas de la eliminaci´on gaussiana de manera que.           

1 ∗ 1 .. .. . . ∗ ∗ ··· .. .. . .

···

a11   .   ..  

1 ..

∗ ∗ ··· ···

∗

. 1

       

 (∆k )  a  k1 · · ·  .  .  .  

∗

···

a1k · · · ∗ .. ... . akk · · · ∗ ... ... ∗

··· ∗





 

 

a11 · · · a1k · · · ∗   . .. ...   . ..     a ˆkk · · · ∗   =  ..   ...   . ∗

··· ∗

          

Se deduce que |∆k | = a11 . . . , a ˆkk Como ∆k es inversible, |∆k | 6= 0 y por tanto a ˆkk 6= 0. Luego se puede elegir ˆakk como pivote. La existencia de tal factorizaci´on LU se encuentra probada poniendo PA = U

A = P −1 U = LU

→

donde P es el producto de las matrices elementales realizadas por filas (todas tipo Pij (t)), que es triangular inferior con unos en la diagonal principal por serlo cada una de las matrices Pij (t) utilizadas. La inversa de P es tambi´en triangular inferior, conservando unos en la diagonal. Probemos la unicidad: si existen dos factorizaciones del tipo LU ⇒ A = L1 U1 = L2 U2 de donde se deduce 

     −1 L 2 L1 =     

1 ∗ 1 .. .. . . ∗ ∗ ··· .. .. . .



1 ..

∗ ∗ ··· ···

∗

. 1

         



     =     

∗ ··· .. .

Esta igualdad matricial s´olo es posible si L2−1L1 = U2 U 1−1 = In , es decir, si L1 = L2 y U1 = U2 .

∗ ... ..

··· ∗ . ..

.

∗ .. . ∗



      = U2 U −1 1     

Factorizaci´on LU

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Observaciones 1. En el caso general de la matriz A de orden n × m sobre K, de rango r, que tenga las r primeras submatrices diagonales inversibles, existe una matriz L de orden n, triangular inferior con unos en la diagonal principal, y una matriz U n × m de rango r triangular superior, tal que A = LU. 2. Si la condici´on suficiente del Teorema y de la observaci´ on anterior no se satisface, se puede llegar a ella a trav´es de permutaciones adecuadas d las filas de A.

Aplicaciones 1. Si se tienen que resolver varios sistemas lineales correspondientes a la misma matriz A, es suficiente conservar la expresi´on de L y U, una vez calculadas. Se resuelve a continuaci´on cada sistema lineal AX = B, resolviendo dos sistemas lineales triangulares. A x = LU x = b 7→

(

Ux = y Ly = b

2. Si se ha obtenido la factorizaci´on LU de A, el c´alculo del determinante de A se reduce a |A| = |LU | = |L| |U | = u11 u22 . . . unn EJERCICIOS 1. Resolver aplicando la factorizaci´on LU    x1 + x2 + x3 = 1

x − x + 2x = 1

1 2 3   3x − x = 0 1 2





2. Hallar la factorizaci´on LU de la matriz   

3. Calcular la factorizaci´on LU de la matriz 

1 3 1 1

Ã

2 1 1 4

    

2 1 1 0 4 −1 2 3

!



1 3 2   4. Sea la matriz A =  −2 −6 1  2 5 7

(a) Estudiar si existe la factorizaci´on LU de A.

(b) En caso negativo, dar la matriz P regular, tal que P A admita dicha factorizaci´on y obtenerla.   2   (c) Resolver Ax =  1  3 (d) Calcular el determianante de A aprovechando la factorizaci´on obtenida.

Factorizaci´on LU

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5. Obtener la soluci´on del sistema:   2x1 − x2 = 0   

−x1 + 2x2 − x3 = 0

 −x2 + 2x3 − x4 = 0   

−x3 + 2x4 = 5

utilizando la factorizzaci´on LU.

6. Halla la factorizaci´on LU (si existe) de las siguientes matrices A. En caso de no existir tal factorizaci´on razona si es posible encontrar una reordenaci´on B = P A de las filas de A tal que B s´ı admita factorizaci´on LU . 





  

c) A = 

2 4 −1 −1 4 5 0 1

−2 0 2 3 −2 −9 3 4





5 2 1   b) A =  5 −6 2  −4 2 1

1 2 0   a) A =  −2 −4 2  0 1 1

    



  

d) A = 

3 −1 0 0

1 2 1 0

0 0 1 0

0 0 3 1

    ...