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FACTORIZACION Y FRACCIONES....

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UNIDAD 3: FACTORIZACION Y FRACCIONES 3.1 FACTORES O DIVISORES DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA Si se tiene el número 54, podemos decir que sus divisores son: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 porque al dividir 54 entre cada uno de estos números, el resultado es un número entero. Estos divisores pueden combinarse de la siguiente forma: 1 x 54 2 x 27 3 x 18

6x9

Al hacer esto puede verse que cada divisor del número dado es un factor de dicho número. Esto ocurre con los divisores de cualquier número o cualquier otra expresión algebraica. Si un número u otra expresión algebraica cualquiera la escribimos como el producto de sus factores primos, entonces tendremos una factorización prima. Los factores primos del número 54 son: 2 x 3 x 3 x 3 = 54, Como 3 x 3 x 3 = 33 entonces: 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 33 = 54 Esto nos indica que cuando tenemos un factor primo que se repite, podemos tomarlo como una potencia cuya base es el factor y cuyo exponente es el número de veces que dicho factor se repite. De modo similar: a) Una factorización prima del número 24 es: 2 · 2 · 2 · 3 = 24 b) Una factorización del número 150 es:

como el 2 está repetido 3 veces : 23 · 3 = 24

Suponiendo que usted no puede visualizar claramente cómo descomponer el número 150 en sus factores primos entonces: 1)

Lo dividimos por 2. En este caso el resultado es 75 así que: 150 = 2 · 75

2)

75 no es divisible por 2, pero si es divisible por 3, por tanto lo dividimos por 3. El resultado es 25. así que : 150 = 2 · 3 · 25

3)

Como 25 no es divisible por 3, pero si es divisible por 5, por tanto lo dividimos por 5. el resultado es 5. así que 150 = 2 · 3 · 5 · 5 o bien: 150 = 2 · 3 · 52. Esto puede hacerse con mayor facilidad del modo siguiente: 150 2 = 75 75 3 = 25 25 5 = 5 5 5 =1

150 2 75 3 25 5 5 5 1 Así que los factores o divisores primos son 2, 3, 5. Como el 5 está repetido dos veces: 150 = 2 · 3 · 5 2. Es decir:

Usando este último procedimiento, descomponer en sus factores primos el número 450. Es importante observar que para determinar los factores primos de un número cualquiera, puede comenzar a dividir por uno cualquiera de sus factores. Cuando se tiene un número primo sus únicos factores son la unidad y el propio número; si un número como éste se expresa como producto de sus factores entonces tenemos una sola opción. Ejemplos:

1) 17 = 1 x 17

2) 13 = 1 x 13

Al igual que las expresiones numéricas, cuando se tiene un polinomio cualquiera y se expresa como el producto de sus factores, entonces dicho polinomio está factorizado. Ejemplos: 1) 28x2y = 2 · 2 · 7 x2y, como el 2 se repite dos veces entonces: 22 · 7 · x2 · y 2) a + ab = a(1 + b) Observe que si el producto indicado a(1 + b) se desarrolla, el resultado es el polinomio que está a la izquierda del signo de igualdad. 51

3) 360m3np2 Descomponiendo 360 en sus factores primos, tendremos: 360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 3 3 5

360 = 23 · 32 · 5 360 m3np2 = 23 · 32 · 5m3np2

De los ejemplos anteriores se deduce que:

Para factorizar una expresión algebraica hay que escribir el producto indicado de sus factores primos cada uno con su exponente correspondiente.

3.2 FACTORIZACION DE POLINOMIOS En la factorización de los números, vimos que algunos de éstos sólo tienen un factor primo. Ocurre lo mismo con una gran cantidad de polinomios, por ejemplo: 2a + b; x + y ; etc. Ahora bien para aquellos polinomios que pueden ser factorizados no existe un único procedimiento y dependiendo del número de términos y otras características del polinomio, se deducirán reglas específicas para la factorización de cada uno. Cuando se va a factorizar un polinomio de cualquier número de términos, debemos determinar si todos los términos del mismo tienen un divisor común diferente de la unidad, porque de ser así podemos asegurar que dicho polinomio tiene un factor común. De no tener un factor común se clasificará de acuerdo a la cantidad de términos para determinar, según sus características, el procedimiento más adecuado para su factorización. 3.3 FACTOR COMUN Si observamos con detenimiento el polinomio 7x3y - 14x2y2 - 28xy3, encontramos que: a) El término 7x3y = 7 · x · x · x · y b) El término 14x2y2 = 2 · 7 · x · x · y · y c) El término 28xy3 = 2 · 2 · 7 · x · y · y · y Si observa detenidamente la factorización prima de cada término entonces se habrá dado cuenta de que hay un factor numérico que es común a los tres términos ¿Cuál es ese factor numérico común? ________. Además, los factores literales también se repiten como factores comunes a los tres términos. El menor número de veces que x se repite es __________ en el término __________. El menor número de veces que y se repite es __________ en el término ___________. Esto nos indica que los divisores comunes de esos tres términos son: 7, x, y, 7x, 7y, xy, 7xy. En este caso, el mayor divisor común es 7xy. Observe que si el polinomio 7x3y - 14x2y2 - 28xy3 se divide entre 7xy el cociente será: __________________. Tomando en cuenta que el dividendo es igual al divisor por el cociente, tendremos: 7x3y - 14x2y2 - 28xy3 = (7xy) (x2 – 2xy – 4y2)

Dividendo

Divisor

Cociente

Ejemplo 1: Factorizar el binomio 24x3y - 36x2z.

En este caso:

a) El termino 24x3y = 2 · 2 · 2 · 3 · x · x · x · y = 23 · 3 · x3 · y 52

b) El termino 36x2z = 2 · 2 · 3 · 3 · x · x · z = 22 · 32 · x2 · z Los factores primos comunes a los dos términos son 2, 3, x. El menor número de veces que el 2 se repite es _________. El menor número de veces que el 3 se repite es _________. El menor número de veces que x se repite es __________. En este caso, el mayor factor o divisor común es: 22 · 3 · x2 = 12x2. Esto significa que el mayor factor común se obtiene tomando todos los factores comunes con su menor exponente. Así que, dividiendo 24x3y - 36x2z entre 12x2 obtenemos: __________ Como el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, tendremos que: 24x3y - 36x2z = 12x2 (2xy - 3z) Al expresar un polinomio como el producto indicado del factor común por el cociente, obtenemos una factorización del polinomio. Ejemplo 2 : Factorizar el polinomio siguiente: 8x5y - 12x3y3 . a) 8x5y - 12x3y3 En este caso: 8x5y = _____ x5y; 12x3y3= _____ x3y3 El máximo factor numérico común es __________ y como el menor exponente de x es __________ y menor exponente de y es __________. Entonces el mayor factor común es __________. b) Luego, dividiendo 8x5y - 12x3y3 entre el factor común que es 4x3y el resultado es __________ c) Por tanto al factorizar el polinomio 8x5y - 12x3y3 tendremos: 8x5y - 12x3y3 = 4x3y (

).

Ejemplo 3: Factorizar el binomio 6xy2 + 30x2y. Los divisores comunes de los términos del polinomio son: 2, 3, 6, 2x, 3x, 6x, 2y, 3y, 2xy, 3xy, 6xy. Como el mayor de éstos divisores es 6xy (llamado máximo común divisor: M.C. D.), tendremos: 6xy2 + 30x2y = 6xy (y + 5x). En general, para obtener el mayor de los divisores comunes de un polinomio cualquiera debemos obtener el M.C.D. de los coeficientes y tomar cada variable común con su menor exponente. El polinomio queda factorizado cuando se expresa como el producto del factor común por el cociente que se obtiene al dividir el polinomio dado entre dicho factor. Ejemplos: Obtenga el M.C.D. de los términos de cada polinomio y factorícelos 1) 8x5y + 20x4y2 + 36x3y3 . =___________________________ 2) 15xy2 + 21x2y - 30x3z = ____________________________ Hasta aquí hemos factorizado polinomios cuyos términos tienen un factor común que es un monomio donde hay factores numéricos y literales, pero puede ser que el factor común sea solo un número o solo sea literal. Ejemplos: 1) Factorizar 7x3y - 5x2y. En este caso: Como los coeficientes 7 y 5 son números primos diferentes, el factor común es literal:____ , .por tanto: Factorizando: 7x3y - 5x2y = ______ (

). 53

2) Factorizar 18x + 30y - 36z. Estos términos solo tienen un factor numérico común que es __________, por tanto: Factorizando: 18x + 30y - 36z =____ (

).

Hasta ahora hemos visto que el factor común puede ser sólo un número, sólo un factor literal o la combinación de números y letras en un monomio. Pero también el factor común puede ser un polinomio de más de un término. Ejemplo1: Factorizar x(x - 3) + 5(x - 3). Este polinomio tiene sólo dos términos que son los productos indicados x(x - 3) y 5(x - 3). Es evidente que entre el término x(x - 3) y el término 5(x - 3) el factor común es lo que esta en el paréntesis, es decir, factor común = __________. x( x  3 ) 5(x - 3) x y Factorizando: x(x - 3) + 5(x - 3) = (x - 3) ( ) , ya que : =5 ( x  3) (x - 3) Ejemplo 2: Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo 1, complete: a (x + y) - 3b (x + y) = (x + y) (____________) Ejemplo 3: Dado el polinomio x (a + b) - y (a + b): ¿ Cuántos términos tiene el polinomio ?____ ¿ Tienen esos términos algún factor común? ______. Factorizando el binomio, tendremos: x (a + b) - y (a + b)= _________________________ Para discusión en el aula. Factorizar: a) a3 + a2 + a = ____________________ c) 6(a -2b) + x(a -2b) =______________ e) 30m4 - 45m3n + 15m2n2 =__________

b) 14x - 28y + 42 =________________ d) 28x4y2 - 42x2y4=________________ f) 4m(x + 3y) – 5( x + 3y)=__________

Como dijimos anteriormente, si el polinomio no tiene un factor común debemos clasificarlo atendiendo al número de términos. Los clasificaremos en binomios, trinomios y polinomios de cuatro o más términos, con el propósito de facilitar su factorización. 3.4 FACTORIZACION DE BINOMIOS Para la factorización de binomios es conveniente tener en cuenta los cocientes especiales que fueron tratados en la unidad anterior. Entre estos cocientes tenemos los siguientes: x2  y2 x2  y2 x  y x  y 2) 1) xy x y 3)

x3  y3  x 2  xy  y 2 x y

4)

x3  y3 x 2  xy  y 2 x y

Si en éstos cocientes aplicamos el concepto de que en una división exacta el dividendo es el producto del divisor por el cociente, entonces tendremos: 1) x2 - y2 = (x + y) (x - y) 2) x2 - y2 = (x - y) (x + y)

3) x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2 ) 4) x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2 )

Al hacer esto ha quedado factorizado el binomio que representa el dividendo de cada uno de los cocientes especiales.

a) Diferencia de cuadrados: 54

Observe que los dos primeros binomios factorizados son iguales y sus resultados sólo difieren en el orden de los factores y como la multiplicación es conmutativa éstos resultados son iguales, por lo tanto puede expresarse de cualquiera de las dos formas. En ambos casos se ha factorizado una diferencia de cuadrados. O sea:

x 2 - y2 = (x + y) (x - y).

Ahora bien, ¿Cómo podemos darnos cuenta si un binomio dado es o no es una diferencia de cuadrados? Para asegurar que un binomio dado es una diferencia de cuadrados debemos observar que: a) El signo que separa los dos términos debe ser el signo menos (-). b) Tanto el primer término como el segundo deben ser cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta). Ejemplos: Determine si cada uno de los siguientes binomios es una diferencia de cuadrados. Factorícelos. 1) x2 – 16 :En este binomio ,los dos términos están separados por el signo (-) y ambos son cuadrados perfectos por tanto:. x2 – 16 = (x + 4) (x - 4) o lo que es igual x2 – 16 = (x - 4) (x + 4) 2) 16x2 – 49 : Los dos términos están separados por el signo (-) y ambos son cuadrados perfectos, por tanto: 16x2 – 49 =(4x + 7)(4x – 7) Es importante recordar que para que un término sea cuadrado perfecto el coeficiente tiene que ser un cuadrado perfecto y los factores literales deben tener exponentes pares. 3) 9x4 - 36y6 Los dos términos están separados por el signo (-).y son cuadrados perfectos porque: 9x 4 es el cuadrado de 3x 2 y 36y6 es el cuadrado de 6y3, por tanto, factorizando el binomio, tendremos: 9x4 - 36y6 = (3x2 - 6y3) (3x2 + 6y3). Observe que en el binomio 9x4 - 36y6 hay un factor numérico común que es 9, lo cual nos indica que: 9x4 - 36y6 = 9(x4- 4y6) ; pero el binomio x4 – 4y6 es una diferencia de cuadrados, por tanto, factorizándolo: 9x4 - 36y6 = 9(x2+ 2y3)(x2 – 2y3) quedando así factorizado completamente 4) 25x6 – 100a2b4 En este binomio: 25x6 es el cuadrado de ____ y 100a2b4 es el cuadrado de ______ , por tanto, 25x6 – 100a2b4 = (__________) (__________).

En general:

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades es igual al producto indicado de la suma por la diferencia de las cantidades. Es decir : x2 - y2 = (x + y) (x - y)

Discutir en el aula. Factorizar: 1) 1 - 49x2 = ( )( ) 3) 9 - 49y4 =____________________ 5) 144 - 49y3 =__________________

2) x4 – 9 =____________________ 4)m6 - 16n4 =_________________ 6) 64p4 - 25q2r6 =________________

b) Suma de cubos: Hemos visto que: x 3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2), lo cual nos indica que se ha factorizado la suma de los cubos de dos cantidades. De igual manera si tenemos x3+ 64 y lo queremos factorizar, debemos observar que: 55

a) x3 es el cubo de la cantidad ______, Porque ( )3 = x3 b) 64 es el cubo de la cantidad ______. Porque ( )3 = 64 Por tanto al factorizar el binomio x3 + 64 sus factores son: c) El binomio x + 4.

d) El trinomio: (

)2 - (

)(

)+(

)2; o sea:

x3 + 64 = (x + 4) (x2 - 4x + 16) En general, al factorizar la suma de los cubos de dos cantidades el resultado es el producto de un binomio por un trinomio: .El binomio es la suma de las cantidades cuyos cubos aparecen en la suma dada. .El trinomio es el cuadrado de la primera cantidad, menos la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad. O sea: a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) Ejemplos: 1) Factorizar el binomio 8x3 + 27y3. Como 8x3 es el cubo de la cantidad 2x y 27y 3 es el cubo de 3y, podemos decir que el binomio dado es una suma de cubos. Por tanto: 8x3 + 27y3 = (2x + 3y) [ ( )2 - ( ) ( ) + ( = (2x + 3y) (________________)

)2 ]

2) Factorizar el binomio 125a6 + c12 125a6 + c12 = (

) ( _______________ )

= (5a2+c4) (25a4 – 5a2c4 + c8)

a) 125a6 es el cubo de _____ porque (5a2)3 = 5a2 · 5a2 · 5a2 = 125a6 b) c12 es el cubo de c4, porque (c4)3 = c12 6 Luego, 125a + c12 = ( ) ( _______________ ) = (5a2+c4) (25a4 – 5a2c4 + c8)

Observe que:

3) Factorizar 8x3 + 27 . 8x3 + 27 = (2x)3 + (3)3 = (2x + 3 ) [ (2x)2 - (2x)(3) + (3)2 ) = (2x + 3)(4x 2 - 6x + 9) c) Diferencia de cubos: Cuando se obtuvo la expresión: x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2) se factorizó la diferencia de los cubos de dos cantidades. De igual manera podemos decir que a3 – 64 es una diferencia de los cubos ya que: a) a3 es el cubo de ______(primera cantidad).

B) 64 es el cubo de _____(segunda cantidad).

Por tanto, factorizando la diferencia de cubos, tendremos: a3 – 64 = (a - 4) ((

)2 + (

)(

)+ (

)2) = (a - 4) (a2 + 4a + 16)

En general, al factorizar la la diferencia de los cubos de dos cantidades el resultado es el producto indicado de: .El binomio formado por la diferencia de las cantidades de las cuales se dan sus cubos correspondientes. .El trinomio es el cuadrado de la primera cantidad, mas la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad. O sea: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) Ejemplo 1: Factorizar el binomio m3 - 8n6 . Este binomio es una diferencia de cubos, porque: 56

a) m3 es el cubo de __________ porque (

)3 = m3

b) 8n6 es el cubo de _________ porque (2n2)3 = 8n6

Por tanto, factorizando la diferencia de cubos, tendremos: m3 - 8n6 = (m - 2n2) [ (

)2 + (

)(

)+(

)2

= (_____) (_______________)

Ejemplo 2 : Factorizar el binomio 64x3 - 27y3. Este binomio es una diferencia de cubos, por que 64x 3 es el cubo de ___ y 27y 3 es el cubo de ____, luego factorizando la diferencia de cubos, tendremos: 64x3 - 27y3 = ( _________) ( __________)= ( 4x – 3y) ( ) Note que al factorizar los binomios la suma de cubos y la diferencia de cubos, los factores son en ambos casos un binomio por un trinomio tales que: a) El signo que separa los dos términos del binomio es positivo si se trata de la suma y negativo si se trata de cubos.. b) El trinomio sólo difiere en el signo del segundo término. Es decir:

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) a3 – b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

A fin de que podamos evitar confusiones, veamos el ejercicio siguiente: Factorizar: a) 8 - 64m6 = (

) = _______________

b) 8 + 64m6 = _____________ = ____________

c) 125p6 – 1 = ______________ = _____________

d) 125p6 + 1 = _____________ = ____________

e) 27n6 - 8p6 = ______________ = _____________

f) 27n6 + 8p6 = _____________ = ___________

)(

3.5 FACTORIZACION DE TRINOMIOS.

Los trinomios factorables cuyos términos no contienen un factor común son productos especiales o pueden convertirse en trinomios que son productos especiales. Los trinomios que son productos especiales o notables son: 1) El trinomio cuadrado perfecto, que como sabemos resulta del desarrollo del cuadrado de la suma o del cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Ejemplos: a) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 b) (x - y)2 = x2 - 2xy + y2 2) El trinomio de la forma x2 + bx + c, el cual resulta de multiplicar dos binomios que tienen un término común. Ejemplo: (x - 5)(x + 3) = x2 - 2x - 15. 3) Además de los trinomios anteriores, tenemos el trinomio de la forma ax 2 + bx + c que no es un producto especial, pero puede factorizarse convirtiéndolo en un trinomio de la forma x2 + bx + c. 1) Factorización del trinomio cuadrado perfecto. Si una expresión como: (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 , la leemos de izquierda a derecha tenemos un producto notable; en cambio al leer ésta expresión de derecha a izquierda tenemos: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 que es la factorización del trinomio. Lo mismo ocurre cuando el trinomio es el resultado del cuadrado de la diferencia de dos cantidades: 57

x2 - 2xy + y2 = (x - y)2. ¿Cómo podemos determinar si un trinomio dado es o no cuadrado perfecto? Basta con que determinemos que en dicho trinomio: a) El primer y tercer término son positivos y son los cuadrados perfectos de dos cantidades. b) El segundo término es el doble producto de esas dos cantidades. Ejemplo: El trinomio 4x2 + 4xy + y2 es un cuadrado perfecto porque: a) 4x2 es el cuadrado de 2x , porque ( )2 = 4x2 y y2 es el cuadrado de y, porque ( )2 = y2 b) b) El segundo termino 4xy es el doble producto de las cantidades ( ) y ( ), o sea: 4xy = 2(2x) (y) Por tanto, al factorizar este trinomio tendremos: 4x2 + 4xy + y2 = (2x + y)2 . En caso de que se tenga 4x2 - 4xy + y2 tendremos: 4x2 - 4xy + y2 = (2x - y)2. Siempre que se factorice un trinomio cuadrado perfecto, se obtendrá: el cuadrado de la suma o el cuadrado de la diferencia de dos cantidades. O sea: Se forma el cuadrado de un binomio cuyos términos son las cantidades de las cuales el primer y el tercer términos son sus cuadrados. Ejemplo 1: si queremos factorizar el trinomio 1 + 10x + 25x2, debemos comprobar primero si es o no un trinomio cuadrado perfecto. En este caso: a)

El primer término y el tercero son positivos y son cuadrados perfectos, o sea: 1 es el cuadrado de la cantidad 1 y 25X 2 es el cuadrado de la cantidad 5x.

b) El segundo término es el doble producto de esas dos cantidades, o sea: 10x = 2(1) (5x) Como el signo del segundo término es positivo, al factorizar el trinomio, tendremos: 1 + 10x + 25x2 = (

)2

Ejemplo 2: Factorizar el trinomio 144m2 - 120mn + 25n2 En este caso: 1) 144m2 y 25n2 son positivos y son respectivamente los cuadrados de 12m y 5n. 2) El segundo término 120mn es el doble producto de 12m y 5n, o sea: 120mn = 2(12m) (5n) Por tanto, factorizando el trinomio cuadrado per...