Tema 8 Factorizacion QR PDF

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Factorización QR La factorización QR de una matriz, constituye un método importante para aproximar numéricamente eigenvalores y eigenvectores. Teorema Si A es una matriz mxn con columnas linealmente independientes (en consecuencia m ≥ n), entonces A puede factorizarse en la forma A = QR en la que Q es una matriz con columnas ortonormales y R es una matriz triangular superior invertible. Ortonormalizar las columnas de A para obtener Q, y a continuación se determina R con R = QT A Ejemplo 1 Determine la factorización QR de A. ⎡ 1 − 2⎤ A= ⎢ ⎥ ⎣1 1 ⎦ Las columnas v1 , v 2 de A son linealmente independientes, en consecuencia existe una factorización QR. A continuación se ortonormaliza v1 , v 2 con el proceso de Gram Schmidt.

u1 = v1 = (1,1) u 2 = v2 −

v 2 ⋅ u1 (− 2,1) ⋅ (1,1) (1,1) = (− 2,1) + 1 (1,1) = ⎛ − 3 , 3 ⎞ u1 = (− 2,1) − ⎜ ⎟ 2 u1 ⋅ u1 (1,1) ⋅ (1,1) ⎝ 2 2⎠

normalizando

u1 =

u1 (1,1 ) = ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟ = , ⎜ ⎟ u1 2 ⎝ 2 2⎠

u2 =

⎛ 3 3⎞ ⎜− , ⎟ 2 2⎠ ⎛ 1 1 ⎞ =⎝ ⎟⎟ = ⎜⎜ − , 3 2 2⎠ ⎝ 2

u2 u2

La matriz Q sería 1 ⎤ ⎡ 1 − ⎢ ⎥ 2⎥ Q=⎢ 2 1 ⎥ ⎢ 1 ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ ⎡ ⎢ T R=Q A=⎢ ⎢ ⎢⎣ ALGEBRA LINEAL

1 2 1 2

T

1 ⎤ ⎡ 1 − ⎥ − 2⎤ ⎢ 2 2 ⎡1 = ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎣1 1 ⎥⎦ ⎢⎢ 1 − ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2

1 ⎤ 2 ⎥⎡1 − 2⎤ = 1 ⎥⎥⎢⎣1 1 ⎥⎦ 2 ⎥⎦ 1

⎡ 2 ⎢ 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

−

1 ⎤ 2⎥ 3 ⎥⎥ 2 ⎥⎦

M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Ejemplo 2

Determine la factorización QR de A. ⎡ 1 − 2 1⎤ ⎢ 1 2⎥ A = ⎢0 ⎥ ⎢⎣− 1 0 1 ⎥⎦

Las columnas v1 , v 2 , v3 de A son linealmente independientes, en consecuencia existe una factorización QR. A continuación se ortonormaliza v1 , v 2 , v3 con el proceso de Gram Schmidt. u1 = v1 = (1,0, −1) v ⋅u (− 2,1,0) ⋅ (1,0, −1) 1,0,−1 = − 2,1,0 + 1 1,0, −1 = −1,1, −1 u 2 = v 2 − 2 1 u1 = (− 2,1,0) − ( ) ( ) ( ) ( ) u1 ⋅ u1 (1,0,− 1)⋅ (1,0,−1) v ⋅u v ⋅u (1,2,1) ⋅ (1,0,−1) 1,0,−1 − (1,2,1)⋅ (− 1,1,−1) − 1,1,−1 u 3 = v 3 − 3 1 u1 − 3 2 u2 = (1,2,1) − ( ) ( ) u1 ⋅ u1 u 2 ⋅u2 (1,0,−1) ⋅ (1,0, −1) (− 1,1,− 1)⋅ (− 1,1,−1) = (1,2,1)

normalizando u1 = u3 =

u1 u (1,0, −1) ⎛⎜ 1 ,0, 1 ⎞⎟ , (− 1,1, −1) = ⎛⎜ − 1 , 1 , − 1 ⎞⎟ = u2 = 2 = =⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ u1 u2 2 2⎠ 3 3 3 3⎠ ⎝ 2 ⎝ u3

=

u3

(1,2,1) = ⎛⎜

1 2 1 ⎞ ⎜ 6 , 6 , 6 ⎟⎟ ⎝ ⎠

6

La matriz Q sería ⎡ ⎢ ⎢ Q=⎢ ⎢ ⎢ ⎢− ⎢⎣

1 2 0 1 2

ALGEBRA LINEAL

−

1 3

1 3 1 − 3

1 ⎤ ⎥ 6⎥ 2 ⎥ = 6⎥ 1 ⎥ ⎥ 6 ⎥⎦

⎡ 2 ⎢ ⎢ 2 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 2 ⎢− ⎢⎣ 2

6⎤ ⎥ 6 ⎥ 6⎥ 3 ⎥ 6⎥ ⎥ 6 ⎥⎦

3 3 3 3 3 − 3 −

2

M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

T

1 1 ⎤ ⎡ 1 ⎢ 2 − 3 6 ⎥⎥ ⎡ 1 ⎢ 1 2 ⎥ ⎢ 0 R = QT A= ⎢ 0 ⎢ 6⎥ ⎢ 3 ⎢ 1 1 1 ⎥ ⎢⎣ − 1 − ⎥ ⎢− 2 3 6⎦ ⎣ 2 ⎤ ⎡ 2 − 0 ⎥ ⎢ 2 ⎡ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎢ 3 0 ⎥ =⎢ 0 =⎢ 0 ⎥ ⎢ 3 ⎢ 0 ⎢ 6 ⎥ ⎣ 0 ⎥ ⎢ 0 6⎦ ⎣

ALGEBRA LINEAL

⎡ 1 ⎢ − 2 1⎤ ⎢ 2 1 1 2⎥ = ⎢ − ⎥ ⎢ 3 0 1 ⎥⎦ ⎢ 1 ⎢ ⎣ 6 − 2 3 0

3

0 1 3 2 6

1 ⎤ ⎥ 2 ⎥ ⎡ 1 − 2 1⎤ 1 ⎥⎢ 0 1 2⎥ − ⎥ ⎢ 3⎥ ⎥⎦ ⎢ 1 0 1 − ⎥ 1 ⎣ ⎥ 6 ⎦ −

0⎤ ⎥ 0⎥ 6 ⎥⎦

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