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Está es una práctica de la universidad uvm...

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Matemáticas

º

5. Sucesiones y expresiones equivalentes. Secundaria Qué vamos a aprender: verificar algebraicamente la equivalencia de expresiones de primer grado, formuladas a partir de sucesiones.

Materiales: cuaderno, lápiz, regla, sacapuntas, borrador.

Semana del 19 al 23 de octubre de 2020

Te explico

En esta sesión se tiene por objetivo ejemplificar el uso de sucesiones numéricas y ejemplificar su presencia en distintos ámbitos matemáticos. En primer grado trabajaste con sucesiones numéricas o de figuras geométricas y determinaste algunos otros términos de esas sucesiones mediante la regla o patrón que sigue. Esa regla o patrón la describiste en el lenguaje común y a través de una expresión algebraica. En esta secuencia ampliarás tus conocimientos de las sucesiones numéricas, particularmente que la regla que las genera pueda expresarse de distintos modos. Recordemos que cada uno de los números que forman una sucesión se les llama término, elemento o miembro. Para una misma sucesión se pueden encontrar distintas reglas correctas que expresan diferentes formas de contar. A estas se les llama reglas equivalentes. Por ejemplo: Las reglas (n + 1) + n (que se lee: “n más uno más n”) y 2n + 1 (que se lee: “dos veces n más uno”) son reglas equivalentes. En matemáticas, suele escribirse (n + 1) + n = n + 1 + n, para indicar que las reglas son equivalentes.

Matemáticas

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Si dos o más expresiones algebraicas corresponden a la regla general de una misma sucesión, entonces son equivalentes y una de ellas se puede obtener a partir de las demás a través de manipulaciones algebraicas convenientes.

Secundaria

Por ejemplo: Al manipular la expresión 1 + 2(n – 1) Resulta lo siguiente: Como 2(n - 1) significa “sumar dos veces (n – 1)”, es decir, (n – 1) + (n – 1) Entonces 1 + 2(n – 1) = 1 + (n – 1) + (n – 1) = 1 + n - 1 + n – 1 Al sumar literales con literales y números con números, resulta: 2n – 1 Por tanto, la expresión algebraica 1 + 2(n – 1) es equivalente a 2n -1 Estudiemos cómo encontrar reglas equivalentes en una sucesión de figuras. En una sucesión de figuras como la siguiente, necesitaremos conocer el número de cuadros azules que tendrá la figura 20:

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4… n

n = representa el enésimo termino que ocupe cada figura. ¿Qué regla podemos utilizar para esta sucesión?. ¿Cuántos cuadros azules tendrá la figura 20?. Analicemos la siguiente forma de obtener la regla de la sucesión. -

Para la primera figura Iniciamos con un cuadro azul.

Matemáticas

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- Al cuadro azul le aumentamos un cuadro azul de cada lado, lo que serán 3 cuadros azules - Los mismos cuadros azules de la parte inferior se tendrán en la parte superior - En cada lado hay un cuadro azul más, por lo que tenemos dos cuadros azules más.

Secundaria

Teniendo en cuenta que los cuadros azules de la base son igual al número de la figura más dos. Para la primera figura n es igual a 1 Para la segunda figura n es igual a 2 Para la tercera figura n es igual a 3 Y así de manera sucesiva. Si lo representamos de manera algebraica nos queda. n n+2 sumamos 2 (n + 2) tendrá en 2 (n + 2) + 2n

para cualquier termino. aumentar un cuadrado azul a cada lado, es decir, dos. la misma cantidad de cuadros azules de la base la parte de arriba aumenta n cuadros azules de cada lado, es decir, 2n.

Por lo tanto, la expresión algebraica nos queda: 2 (n + 2) + 2n Ahora estudiemos otra manera de encontrar la regla: Contar los cuadros azules de cada figura, de la siguiente manera. Figura: Número de cuadros azules:

1 8

2 12

3 16

4… n 20

Observemos que la sucesión aumenta de 4 en 4 a partir de 8 Entonces iniciemos con los cuadros azules de la primera figura, en este caso son 8, este será el primer término de la regla. Cada término posterior de la sucesión, es la suma de cuatro veces el número de la figura anterior expresada como n - 1.

Matemáticas

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Quedando 4 (n – 1) La expresión algebraica queda: 8 + 4(n – 1)

Secundaria

Comprobando cómo funciona en la serie de figuras. 8 8 8 8

+ + + +

4 4 4 4

(1 (2 (3 (4

– – – –

1) 1) 1) 1)

= = = =

8 8 8 8

+ + + +

4 4 4 4

(0) (1) (2) (3)

= = = =

8 8 8 8

+ + + +

0=8 4 =12 8 =16 12 =20

¿Cómo comprobar que las dos reglas son equivalentes? 2 (n + 2) + 2n 2n + 4 + 2n 4n + 4

8 + 4 (n – 1) 8 + 4n – 4 4n + 4

Podemos observar que ambas expresiones algebraicas son iguales. Entonces, la regla general para una misma sucesión debe ser equivalentes. Como ya se obtuvo la regla general, podemos responder la pregunta: ¿Cuántos cuadros azules tendrá la figura 20?. La figura 20 tiene 84 cuadros azules. ¿Qué otras reglas habrá?. Veamos otro ejemplo de cómo encontrar reglas equivalentes en una sucesión de figuras. En una sucesión de figuras como la siguiente:

Matemáticas

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¿Qué regla podemos utilizar para esta sucesión? Un primer razonamiento es:

Secundaria

En la primera figura tenemos dos círculos en la base y uno arriba. En la segunda figura tenemos tres círculos en la base y dos arriba. En la tercera figura tenemos cuatro círculos en la base y tres arriba. En la cuarta figura tenemos cinco círculos en la base y cuatro arriba. Así sucesivamente. Si lo representamos con valores tenemos: Figura 1

figura 2

2+1

3+2

figura 3 4+3

figura 5+4

Observemos que, con el primer término de las sumas, tenemos la siguiente serie: 2, 3, 4, 5… Los términos aumentan en 1, podemos expresarlo algebraicamente como: n+1 Observemos que el segundo termino de las sumas también forma una serie numérica: 1, 2, 3, 4… Nos indican el numero de la figura y lo podemos expresar como n. Con estas expresiones obtenidas podemos generar la expresión algebraica: (n + 1) + n Quitamos paréntesis para resolver las operaciones. n+1+n La regla general que obtuvimos es:

2n + 1

Matemáticas

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Comprobamos para cada figura: Figura Figura Figura Figura

1: 2: 3: 4:

2(1) 2(2) 2(3) 2(4)

+1 = 3 +1=5 +1=7 +1=9

Secundaria

Podemos observar que cumple con el número de círculos que tiene cada figura. Observemos otra forma de encontrar la regla general. En la primera figura tenemos un círculo base, uno arriba y uno a su lado 1 + (1 + 1) En la segunda figura tenemos un círculo base, dos arriba y dos a su lado 1 + (2 + 2) En la tercera figura tenemos un círculo base, tres arriba y tres a su lado 1+ (3 + 3) En la cuarta figura tenemos un círculo base, cuatro arriba y cuatro a su lado 1 + (4 + 4) Tenemos que se forma una sucesión con los términos que están en los paréntesis (1 + 1), (2 + 2), (3 + 3)… (n + n) Entonces nos queda (n + n) + 1 Como n + n = 2n Formulando la regla nos queda: 2n + 1 ¿Cómo comprobar que las dos reglas son equivalentes? (n + 1) + n n+1+n 2n + 1

(n + n) + 1 n+n+1 2n + 1

Matemáticas

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RETO: Ahora prueben resolver una sucesión de figuras en su cuaderno. Contesten las siguientes preguntas. a) ¿Encontraste una sola regla?

Secundaria

b) Si encontraste dos o más reglas equivalentes ¿cumplieron con la sucesión?. Para resolver una sucesión no solamente puede haber una sola regla, sino que pueden surgir otras que entre si serán equivalentes.

Para aprender más

Se sugiere revisar los siguientes videos: https://ventana.televisioneducativa.gob.mx/educamedia/telesecundaria /2/23/3/1352 https://ventana.televisioneducativa.gob.mx/educamedia/telesecundaria /2/23/3/0 ¿Qué es una sucesión? https://www.youtube.com/watch?v=4LRGLLEMmgA Reglas de sucesiones https://www.youtube.com/watch?v=9hN2j-064uM Reglas equivalentes de sucesiones https://www.youtube.com/watch?v=CyyY7bShbgY Expresiones algebraicas equivalente https://www.youtube.com/watch?v=l-gGKbOyZnE

Manos a la obra

Observa las sucesiones I y II, para cada una de ellas realiza lo que se indica: Sucesión I: Sucesión II:

1, 4, 7, 10, 13, 16… 3, 7, 11, 15, 19, 23…

a) Encuentra la expresión algebraica de la regla que las genera. b) Busquen por lo menos dos expresiones algebraicas que sean equivalentes a cada expresión que encontraron y anótenlas en su cuaderno.

Matemáticas

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c) Justifiquen equivalentes. d) En el caso expresiones si el e) En el caso expresiones si el

en

su

cuaderno

porque

esas

expresiones

son

de la sucesión I, comprueben en cada una de las término que ocupa el lugar 110 de la sucesión es 328. de la sucesión II, comprueben en cada una de las término que ocupa el lugar 210 de la sucesión es 839.

Secundaria

Compartiendo con los demás Muestrales a tu familia como lograste encontrar la regla que se genera a partir de las sucesiones que realizaste.

Repaso y practico

Subraya las expresiones algebraicas equivalentes que generan las sucesiones: Sucesión 1:

-4, -8, -12, -16…

a) n – 5 n – 5n

b) -2(2n)

d) 5 – n f) –(4n)Sucesión 2:

c)

e) -n -n -n -n

-9, -6, -3, 0…

a) 3n – 12 c) 3(n+4) d) -12n + 3 f) 12n – 3

b) -n -n -n +(-12)

e) -3(n+4)

Lo que aprendí

Ponga una marca en el espacio de acuerdo a lo que observó al finalizar las actividades:

Matemáticas

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o o o o o

Formula expresiones algebraicas Verifica la equivalencia de las expresiones.

Secundaria

Sugiere otros ejemplos de sucesiones de figuras Explica las ideas y procedimientos Argumenta los procesos de solución...