Física Tema 14 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones Versión pdf PDF

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO

CURSO DE FISICA

TEMA 14: Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones.

CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO

Contenido OBJETIVOS ..................................................................................................................................... 3 Objetivos Generales ................................................................................................................... 3 Objetivos Específicos.................................................................................................................. 3 8.1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UNA PARTÍCULA. DEFINICION. .................................... 4 8.2 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS ...................................... 5 8.3 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL ...................................................................... 6





Relación Entre Impulso J Y La Cantidad De Movimiento P . ...................................................... 7 8.4 CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL ..................................................... 8 8.5 EJERCICIOS DE APLICACIÓN. ..................................................................................................... 9

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO OBJETIVOS Objetivos Generales Que el estudiante: 1) Explique la cantidad de movimiento lineal para un sistema de partículas y bajo qué condiciones esta cantidad de movimiento se conserva. 2) Explique el impulso y su relación con el cambio en la cantidad de movimiento. 3) Determine la cantidad de movimiento de un sistema de partículas dado. 4) Aplique el principio de conservación de la cantidad de movimiento a diferentes situaciones que se le presenten.

Objetivos Específicos El estudiante: 1) 2) 3) 4) 5)

Definirá la cantidad de movimiento lineal de una partícula y de un sistema de partículas. Definirá el impulso y relacionará este con la cantidad de movimiento lineal. Calculará la cantidad de movimiento lineal de un sistema de partículas. Explicará cuando se conserva la cantidad de movimiento lineal. Resolverá problemas de conservación de la cantidad de movimiento lineal.

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO INTRODUCCION La cantidad física que hace que un objeto grande en movimiento sea difícil de detener es la cantidad de movimiento lineal, que es el contenido de este módulo. La cantidad de movimiento lineal es una propiedad fundamental asociada con el movimiento de los objetos, en esta situación es similar a la energía cinética estudiada en el tema anterior. Por otro lado tanto la cantidad de movimiento lineal como la energía dan origen a importantes leyes de conservación: El principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal y el principio de conservación de la energía respectivamente. La importancia del principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal se hace evidente cuando hablamos de choques o colisiones entre dos o más objetos.

8.1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UNA PARTÍCULA. DEFINICION. Esta cantidad física también es conocida como ímpetu lineal o momento lineal o momentum. Nosotros en este curso le llamaremos cantidad de movimiento lineal. Se define la cantidad de movimiento lineal de una partícula o de un objeto que se modela como partícula de masa “m” que  se mueve con una velocidad v así:

  P mv que se lee, la cantidad de movimiento lineal es el producto de la masa por la velocidad de la partícula. La cantidad de movimiento lineal es una cantidad vectorial, porque es igual al producto del escalar   “m” y la cantidad vectorial v . Su dirección y sentido es a lo largo del vector v tal como se muestra en la siguiente figura.

m

 v

 P

 fig 8.1 muestra que P

 mv

Las dimensiones de P son M( L ) y sus unidades SI son kg.(m ) T s 4

CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO 8.2 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS La figura siguiente representa un sistema de partículas de masas m1, m2, m3,…, las cuales se

  

mueven con las velocidades v1 ,v2 ,v3 ..., respectivamente.

m5

 v5

m4

 v1  v4

m1

m3

 v2 m2

 v3

 v6

m6

Fig 8.2 La cantidad de movimiento total del sistema de partículas es igual a la resultante de las cantidades de movimiento de las partículas. Las cantidades de movimiento de cada partícula son:

 P1  P2  P3  P4  P5  P6

 = m1 v1 ,  = m2 v2 ,  = m3 v3 ,  = m4 v4 ,  = m5 v5 ,  = m6 v6 ,etc

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO 

La cantidad de movimiento lineal del sistema o sea su cantidad de movimiento total P , se obtiene mediante la suma vectorial de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas del

   



sistema, es decir P es la resultante de las cantidades de movimiento P1 ,P2 ,P3 ,P4 ,... Por lo que:

 P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + ...         P = m1v1 + P = m2v 2 + P = m3v 3 + P = m 4v 4 + ... En forma abreviada:

 i =n P = ∑ Pi i =1

8.3 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Cuando un jugador de futbol cobra un tiro libre o cuando un tenista golpea una pelota con su raqueta o cuando un jugador de beisbol golpea con el bate una pelota en cada caso una fuerza actúa durante un intervalo de tiempo muy corto sobre la pelota, lo cual hace que esta reciba un



impulso que denotamos por J . En general siempre que una fuerza actúa sobre un cuerpo durante un intervalo de tiempo, diremos que el objeto recibe un impulso. En el caso de una fuerza





constante F que actúa durante un intervalo de tiempo ∆t , se define el impulso J que la fuerza ejerce así:

  J = F .∆t   J es un vector que tiene la misma dirección y sentido que F como se muestra en la siguiente figura. t1

 F

 J

t2

 F

∆ t = t2 − t1

fig 8.3  Muestra el impulso J que recibe la particula

6

CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO 



A partir de J = F .∆t se deduce que en el SI las unidades de J son N.S, que al desglosarlas resultan ser:

(kg

m )s = kg (m ) s s2

Que son las unidades SI de la cantidad de movimiento lineal.





Relación Entre Impulso J Y La Cantidad De Movimiento P .





Consideramos un cuerpo de masa “m” que se mueve con una velocidad v1 . Si una fuerza F , constante actúa sobre el cuerpo durante un intervalo de tiempo ∆t , se observa que la velocidad





del cuerpo sufrirá una variación pasando a ser v2 al final del intervalo. Suponiendo que F sea la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, por la segunda ley de newton escribimos:





F = ma ∑ 

 F = ma

   ∆v = a a Donde representa la aceleración adquirida por el cuerpo. Recordando que , entonces: ∆t

  ∆v F=m ∆t      Luego: F ∆t = m∆v ;∆v = v2 −v1    F ∆ t = m(v 2 − v 1)    o F ∆t = mv 2 − mv 1 También se puede expresar:

   J = P2 − P1   J = ∆P Este resultado es válido tanto para fuerza constante como para fuerza variable. En general se puede expresar: “El impulso ejercido por la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo durante un intervalo de tiempo, es igual a la variación de la cantidad de movimiento lineal, ocurrido en dicho intervalo”.

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO 8.4 CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Consideremos un sistema formado por dos partículas A y B que colisionan en un intervalo de tiempo ∆t . Tal como se muestra en la fig 8.4  FB A

A

B

 FA B

su p erfic ie lis a fig 8.4 s is te m a ais lad o f o rm a d o p o r d o s p artic u la s A y B

Sean:

 FBA , fuerza que B recibe de A  FAB , fuerza que A recibe de B Por tercera ley de newton:

  FBA = −FAB   luego: JB = − JA   ∆PB = −∆PA





Tanto FAB como FBA son fuerzas internas al sistema Un sistema aislado es aquel en cual no hay fuerzas externas actuando. Ejemplo de fuerzas







externas son: n (fuerza normal), W (el peso del objeto), F (fuerza de fricción). Si hacemos diagrama de cuerpo libre en cada partícula se observa que:

 WB  FB A

 WA

B

B  nB

 FAB

 nA

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO   ∆P FBA = B ∆t

  ∆P FBA = B ∆t

  FBA = −FAB   FBA ∆ t=-FAB∆ t   ∆PB = −∆PA   ∆PA + ∆PB = 0   ∆ PA + PB = 0

(

Sustituyendo en

)

donde    P = PA +PB luego :

 ∆ (P ) = 0  ∆ P= 0   PF − PI = 0   PI = PF

En conclusión: “si la fuerza externa resultante actuando sobre el sistema es igual a cero, la cantidad de movimiento total del sistema es constante”.

8.5 EJERCICIOS DE APLICACIÓN. EJEMPLO 1 De los siguientes objetos: a) Una bala disparada con rifle. b) Un mariscal de campo que corre a la máxima velocidad c) Un caballo que corre a 2millas/hora. d) Un elefante que permanece parado.

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO ¿Cuál tiene la cantidad de movimiento lineal más grande? Para resolver se necesita investigar datos de masa, velocidad en el SI. Estos se trasladan a la siguiente tabla: OBJETO

MASA(kg)

VELOCIDAD(m/s)

P=Mv(kg m/s)

BALA

0.012

380

4.56

MARISCAL DE CAMPO

80

8.31

665

CABALLO

227

0.90

204.3

ELEFANTE

4000

0

0

Fuente: internet De los resultados obtenidos, la cantidad de movimiento más grande corresponde al mariscal de campo con 665 kg m/s.

EJEMPLO 2 Un auto tiene la misma energía cinética si viaja al sur a 30 m/s que si lo hace hacia el noroeste a 30 m/s. ¿es su cantidad de movimiento la misma en ambos casos? Explique Solución En primer lugar se ubican los datos proporcionados en el siguiente esquema:

N V2

V1 30 m/ s

30 m / s

45

O

E

S

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO Respuesta: La energía cinética es una cantidad escalar que se calcula por medio de k (la rapidez es la misma), por lo que se afirma que cantidad vectorial que se calcula por:

   mV ; V1 P

K1  V2 ,

K2

1 m V 2 ; don de V 1 2

V2

sin embargo la cantidad es una por lo que

 P1

 P2 .

EJEMPLO 3 Una bola de un 1kg que se mueve en línea recta, choca contra una pared a 8 m/s tal como se muestra en la figura. Si rebota hacia la derecha a 6 m/s, ¿Qué magnitud tendrá el cambio en su cantidad de movimiento?

P A R E

V0 8m/s

V 6ms /

D Solución:

 P

  P P0

 mV

 mV0

Dónde:

 V0  V  P  P  P  P

8iˆ m / s 6iˆ m / s   m V V0  1  6 iˆ ( 8 iˆ)  6ˆi 8ˆi  14 ˆi kg m/s   ˆ 14i kg m/s 14 kg m/s

11

30 m

s

CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO EJEMPLO 4 Una pelota de beisbol tiene una masa de 0.145 kg a) Si se lanza con rapidez de 45.0 m/s y después de batearla su velocidad es de 55 m/s en la dirección opuesta, que magnitud tiene el cambio de cantidad de movimiento de la bola y el impulso aplicado a ella con el bate. b) Si la pelota está en contacto con el bate durante 2.00ms, calcule la magnitud de la fuerza promedio (constante) aplicada por el bate en ese intervalo de tiempo. Solución: a) A diferencia del problema anterior este lo resolvemos sin utilizar los vectores unitarios.

D a to s : m = 0 .14 5 k g a) V 0 4 5 m /s V = 5 5 m /s  p ?  J ?

m

V0

V

b) Px

Px P0 x

P

mV

P

0.145kg (55 m/s) ( 45 m/s)

P

0.145 (55 ) (45 ) kg m/s

T

2 .0 0 x10 _ F p ro m ?

3

s

(mV0 )

P 14.5 kg m/s Px, J x 14.5 kg m/s Si J x b)

Jx

Fprom

J x 14.5 kg m/s t 2.00 x10 3 s Fprom 7250 N Fprom =

14.5 N. s 2.00 x10 3 s

Fprom 7.25 x10 3 N ~ 7.3 KN

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO EJEMPLO 5: Un hombre de 70.0 kg está parado en una gran plancha de hielo sin fricción, sosteniendo una roca de 15.0 kg. Para salir del hielo, el hombre lanza la roca de modo que adquiere una velocidad relativa a la tierra de 12.0 m/s, a 35° arriba de la horizontal. ¿Qué rapidez tiene el hombre después de lanzar la roca?

Solución:

H = Hombre, R=Roca, i=antes, f=después

¿V hf?

35

Vx

12 cos 35

9.83 m / s

friccion 0 hielo

mH

70.0 kg , m R

15.0 kg

El hombre y la roca forman un sistema aislado, por lo tanto si no actúan una fuerza externa resultante entonces

 P

cte

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO  Pi

 Pf (Pi: antes de lazar la roca, Pf despues de lanzar la roca.)  Pfx

Pix

Pix 0 (hom bre , roca estan en reposo) pero Pix Pfx 0.40 kg m/s Pfx

mHVHf

m RVRf

luego 0

m HV Hf

m HV Hf

m RV Rf

m RV Rf

 mH   VHf  mR 

V Rf ó VHf VHf VHf

 mR   mH

 VRf 

 15.0 kg   9.83 m/s  70.0 kg  2.11 m/s

 El resultado indica que el hombre después de lanzar la roca retrocede con una rapidez VHf

2.11 m/s.

EJEMPLO 6: Dos bloques se acercan el uno al otro sobre una superficie horizontal sin fricción. Después de chocar, el bloque B se aleja con una velocidad final de +2.0 m/s tal como se muestra en la figura. ¿Qué velocidad final tiene el bloque A? Compare los cambios en la cantidad de movimiento que experimentan los bloques A y B.

Solución: a) A y B forman un sistema aislado, la fuerza externa resultante es igual a cero por lo que  P constante y , P P (prescindiendo de los vectores) xi xf   Al chocar A y B originan por la tercera ley de newton fuerzas iguales y contrarias FBA FAB , estas son fuerza internas al sistema.

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO Pi m AV Ai m BV Bi Pi 0.50(2) 0.30( 2) Pi

0.40kg m / s

pero Pix P fx

m AV Af

0.40 V Af V Af b)

Pfx

0.40 kg m/s m BV Bf

0.50( VAf ) 0.30(2) 0.40 (0.30)(2) 0.50 0.40 m / s , hacia la izquierda tal como se muestra en la figura.

PA

mAVAf

PA

0.50( 0.40) 0.50( 2) 1.2 kg m / s

PA PB PB PB

m BVBf

mAVAi

m BVBi

0.30(2) 0.30( 2) 1.2 kg m / s

observe que PA =

PB , son iguales en magnitud y contrarios en dirección.

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