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flussi comprimibili, onda d'urto, ugelli divergenti e convergenti...

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UNIVERSITÀ DI FIRENZE Scuola di Ingegneria

Flussi comprimibili ➢ In flussi di areiformi le variazioni di densita’ possono risultare importanti. Cio’ accade ad elevate velocita’ o per rilevanti variazioni di temperatura

➢ Rispetto al caso incomprimibile, dove pressione e componenti di velocita’ sono sufficienti a caratterizzare completamente il campo di moto, si hanno altre due proprieta’ fondamentali: temperatura e, appunto, densita’

➢ Le variazioni di temperatura sono governate dall’equazione dell’energia (o primo principio della termodinamica) mentre per determinare quelle di densita’ e’ necessario introdurre un ulteriore relazione che ne leghi le variazioni a quelle di temperatura e di pressione.

➢ Tale relazione aggiuntiva e’ fornita dall’equazione di stato che lega appunto pressione densita’ e temperatura

➢ Nella presente trattazione faremo sempre riferimento all’equazione di stato dei gas perfetti: p = ρRT

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dove R e’ una costante dipendente dalla natura fisica del gas. Le sue dimensioni sono [kJ/kgK]

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Termodinamica applicata alla gasdinamica ➢ Nel caso di gas perfetto, energia interna ed entalpia risultano funzioni della sola temperatura du = cv dT , dh = cp dT

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dove cv e cp , funzioni al piu’ della sola temperatura, sono detti calori specifici a volume e a pressione costante rispettivamente

➢ La loro differenza non dipende invece dalla temperatura e piu’ specificatamente si ha: R = cp − cv ➢ Risulta ovviamente cp > cv e posto γ = ccvp si ha: cv =

γR R , cp = γ−1 γ−1

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➢ Dal secondo principio della termodinamica: ds ≥

δQ T

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ds =

dQ T

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e per un processo reversibile:

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Termodinamica applicata alla gasdinamica ➢ In questo caso, sostituendo nell’espressione del primo principio si ha: T ds = du −

dp p dρ , T ds = dh − 2 ρ ρ

Per un processo reversibile ed adiabatico ds

= 0 e quindi dalle precedenti:

p = costante ργ

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Velocita’ del suono ➢ La propagazione di perturbazioni di densita’/pressione sufficientemente piccole da poter essere considerate infinitesime (onde acustiche) rappresenta un fenomeno isentropico

➢ La velocita’ di propagazione delle onde acustiche (velocita’ del suono) risulta data da: s  ∂p a= ∂ρ |s

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➢ Per un gas perfetto si ha: a= ➢ Il rapporto

r

γ

p p = γRT ρ

M=

v a

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e’ il numero di Mach. Il suo valore, come noto, da una significativa indicazione circa l’importanza degli effetti di comprimibilita’

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Flussi comprimibili monodimensionali ➢ Consideriamo flussi: • comprimibili • non viscosi (e non conduttivi) • monodimensionali (flussi in condotti in cui le proprieta’ possono essere considerate uniformi nella generica sezione, ma variabili lungo l’asse del condotto stesso)

• adiabatici (privi di scambi termici con l’esterno) ➢ Le relazioni fondamentali possono essere ottenute applicando il metodo del volume di controllo ad un tratto infinitesimo di condotto di lunghezza dx e volume dV = A(x)dx. Si ottiene: • equazione di continuita’

∂ρA ∂ρvA =0 + ∂x ∂t

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che nel caso stazionario, sancisce come noto la costanza della portata di massa lungo il condotto:

m ˙ = ρAv = costante. In forma differenziale: dA dρ dv =0 + + v ρ A

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Flussi comprimibili monodimensionali • equazione della quantita’ di moto   ∂ρvA ∂  2 dA + ρv + p A = p dx ∂t ∂x

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che per il caso stazionario diviene:

• equazione dell’energia

dp + ρvdv = 0

(14)

∂ ∂ρAe + (ρvh0 A) = 0 ∂t ∂x

(15)

che per il caso stazionario diviene:

h0 = e +

p v2 v2 p = costante + =h+ =u+ 2 2 ρ ρ dh + vdv = 0

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Grandezze totali ➢ L’equazione dell’energia ci permette in modo assai diretto di definire l’entalpia totale e di determinarne l’espressione generale

➢ L’entalpia totale in un punto del campo di moto e’ definita come l’entalpia che il fluido raggiungerebbe qualora fosse portato adiabaticamente in quiete

➢ Dall’equazione dell’energia, valutando la costante a secondo membro nello stato totale in cui v = 0, si ha: v2 h0 = h + (18) 2 ➢ In modo del tutto analogo si puo’ definire anche la temperatura totale e risulta:

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h0 v2 v2 T0 = = T + (γ − 1) =T + 2cp cp 2γR

(19)

v2 T0 (γ − 1) v2 = 1 + (γ − 1) = 1+ T 2γRT 2 a2

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T0 (γ − 1) 2 M =1+ 2 T

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Grandezze totali ➢ In modo del tutto analogo a quanto fatto nel caso incomprimibile, possiamo definire la pressione totale come la pressione che il fluido raggiungerebbe qualora fosse portato isentropicamente in quiete. Lo stesso dicasi per la densita’ totale.

➢ La pressione totale risulta allora legata alle corrispondenti temperatura e densita’ totali dalla rep lazione caratteristica dei processi isentropici ( ργ0 = costante) e dall’equazione di stato (p0 = 0 ρ0 RT0 )  γ  p0 (γ − 1) 2 γ−1 M (22) = 1+ 2 p  1  ρ0 (γ − 1) 2 γ−1 M = 1+ 2 ρ

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➢ Si noti come, per definire in modo univoco la pressione totale e la densita’ totale, il processo ideale a cui si fa riferimento debba essere isentropico, mentre nel caso dell’entalpia e della temperatura totali e’ sufficiente sia adiabatico

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Grandezze critiche ➢ Lo stato totale rappresenta un utile stato di riferimento per tutte le grandezze tranne la velocita’ che, per definizione, e’ nulla in tale stato

➢ Allo scopo di definire un set di grandezze di riferimento che includa anche la velocita’ si introducono le cosiddette grandezze critiche. Esse sono definite come le grandezze nello stato in cui la velocita’ locale del flusso eguaglia quella locale del suono, ovvero in cui M

 1  ρ0 (γ − 1) γ−1 = 1+ 2 ρ∗   γ p0 (γ − 1) γ−1 = 1+ p∗ 2   T0 (γ − 1) = 1+ 2 T∗

=1 (24)

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(26)

➢ Per la velocita’ critica si ha: v ∗ = a∗ =

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r

2γ RT0 γ +1

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Flussi isentropici monodimensionali ➢ Consideriamo un flusso isentropico, stazionario e monodimensionale attraverso un condotto di area variabile

➢ Nel caso incomprimibile abbiamo visto come in virtu’ della conservazione della massa, ad una diminuzione di area di passaggio corrispondeva un’accelerazione del flusso e viceversa. Nel caso comprimibile la relazione area-velocita’ non e’ cosi’ diretta dato che su di essa intervengono le variazioni di densita’

➢ Dalla continuita’ si ha: dA dρ dv + + =0 ρ A v

(28)

dp dv =− 2 v ρv

(29)

➢ dalla quantita’ di moto:

➢ Sostituendo: dA dp = 2 A ρv



v2 1− dp/dρ



➢ Ricordando che stiamo trattando un processo isentropico: a2 =

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  ∂p ∂ρ

|s

=

dp dρ

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Flussi isentropici monodimensionali ➢ Si ottiene  dV  dA = − 1 − M2 A V

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che prende il nome di equazione di Rankine-Hugoniot e mostra come le variazioni di velocita’ possano risultare discordi o concordi con quelle di area a seconda del valore del numero di Mach. In particolare:

➢ Flussi in accelerazione (espansione) richiedo- ➢ Flussi in decelerazione (compressione) richieno:

dono:

• Condotti convergenti se M < 1 • Condotti divergenti se M > 1

• Condotti divergenti se M < 1 • Condotti convergenti se M > 1

➢ Per M = 1 ovvero in corrispondenza delle condizioni critiche dA = 0 e l’area presenta quindi un estremo

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Flussi isentropici monodimensionali ➢ Per stabilire se esso corrisponde ad un massimo od un minimo scriviamo l’equazione di continuita’ fra la generica sezione del condotto e quella (reale o virtuale) in cui si verificano le condizioni critiche

ρAv = ρ∗ A∗ v∗ s A ρ∗ v∗ 1 ρ ρ0 T ∗ /T0 = = M ρ0 ρ∗ T /T0 A∗ ρv 1 A = A∗ M

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"

M2 1 + γ−1 2 1 + γ−1 2

# 1 γ+1

(32) (33)

2 γ−1

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Flussi isentropici monodimensionali ➢ Si possono effettuare le seguenti considera-

uno divergente (che continua l’espansione

zioni

in supersonico). Le condizioni soniche si

• La sezione in cui si verificano le condizioni

hanno nella sezione di gola

critiche corrisponde ad un minimo dell’area di passaggio (sezione di gola del condotto)

• Per una data area si hanno due possibili

soluzioni per il flusso: una subsonica, l’altra supersonica a cui corrisponde la stessa portata

• In un condotto convergente l’area minima corrisponde alla sezione di uscita ed in essa il flusso puo’, al piu’, essere sonico

• Per accelerare un flusso da condizioni subsoniche a condizioni supersoniche ad un

tratto di condotto convergente (che porta il flusso in condizioni soniche) deve seguirne

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Onde in flussi comprimibili ➢ Consideriamo un emettitore puntiforme di onde acustiche in moto a velocita’ costante v in un fluido in quiete

➢ I fronti d’onda sono sferici con centro nel punto in cui si trovava l’emettitore all’istante in cui l’onda e’ stata emessa. Nella figura sono mostrati i fronti delle onde emesse a instanti successivi distanti ∆t

➢ Se l’emettitore e’ fermo i fronti d’onda sono concentrici ➢ Se v < a (caso subsonico) la posizione dell’emettitore si trova sempre all’interno di ciascuno dei fronti delle onde emesse

➢ Le onde si propagano quindi sia a monte che a valle della posizione istantanea dell’emettitore

➢ A monte i fronti d’onda risultano piu’ vicini fra loro rispetto a quanto avviene a valle. Un osservatore posto a monte dell’emettitore percepisce il passaggio di un maggior numero di fronti d’onda nell’unita’ di tempo e quindi un suono a maggior frequenza rispetto ad uno

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a valle (effetto Doppler)

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Onde in flussi comprimibili ➢ Se v = a (caso sonico) i fronti d’onda risultano tangenti fra loro in corrispondenza della posizione dell’emettiore

➢ Le onde si propagano solo nel semipiano di valle rispetto alla posizione dell’emettitore

➢ Se v > a (caso supersonico) la posizione dell’emettitore risulta sempre esterna ai fronti delle onde emesse

➢ Le onde si propagano solo all’interno di un cono (detto cono di Mach), di semiangolo al vertice pari a:

µ = arcsin



1 M



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che rappresenta l’inviluppo dei fronti d’onda

➢ La regione interna al cono e’ detta zona di azione, quella esterna zona di silenzio

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Onde in flussi comprimibili ➢ Si capisce quindi come un flusso supersonico risenta della perturbazione prodotta da un’onda acustica solo a valle della corrispondente linea di Mach

➢ Per esempio, nel caso del flusso attorno ad un cuneo di semiaperta infinitesima dϑ il flusso cambierá direzione solo dopo aver attraversato la linea di Mach che si diparte dal vertice del cuneo stesso, a differenza del caso subsonico dove il cambiamento di direzione avviene

Zona di silenzio

gradualmente ed inizia a monte dell’ostacolo

Zona di azione

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Onde in flussi comprimibili ➢ Le stesse considerazioni possono essere effettuate se si considera una rampa di inclinazione infinitesima, sia che essa devii il flusso verso se stesso o allontanandolo da se stesso

➢ Il primo caso corrisponde ad una compressione, il secondo ad un’espansione ➢ I processi sin qui considerati sono assimilabili alla propagazione di onde acustiche lungo le corrispondenti linee di Mach e pertanto risultano isentropici

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Onde in flussi comprimibili ➢ Nel caso in cui si consideri una rampa di inclinazione finita, ma raccordata in modo da deviare gradualmente il flusso, la compressione o l’espansione avvengono per attraversamento di una famiglia di linee di Mach, ciascuna corrispondente ad una variazione infinitesima della direzione del flusso stesso

➢ Chiaramente in questo caso, una volta che il flusso avrá attraversato l’ultima linea di Mach e pertanto avrá terminato il cambiamento di direzione tornando uniforme, esso avrá subito una variazione finita delle sue proprietá

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Onde in flussi comprimibili ➢ Nel caso della compressione le linee di Mach convergono l’una verso l’altra. Esse pero’ non possono intersecarsi per cui ad una certa distanza dal punto di origine esse tendono a incurvarsi e a coalescere in un un’unica linea inclinata di un certo angolo β rispetto alla direzione del flusso indisturbato

➢ Ad una tale linea si da il nome di onda d’urto ➢ Le linee di flusso piú vicine alla parete subiranno una deviazione graduale e una altrettanto graduale variazione nei propri parametri. Anche questo e’ un processo isentropico in quanto successione di processi isentropici

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Onde in flussi comprimibili ➢ le linee di flusso piú lontane dalla parete risulteranno invece interessate dall’onda d’urto. Attraverso di essa si realizza una variazione finita nelle proprietá del flusso.

➢ Essa rappresenta in effetti una discontinuitá nei parametri del flusso. In particolare:

• • • • •

Il numero di Mach diminuisce La pressione statica aumenta La pressione totale diminuisce La temperatura aumenta La temperatura totale rimane costante

➢ Alla diminuzione di pressione totale si associa un’aumento di entropia: l’onda d’urto e’ un fenomeno non

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isentropico (dissipativo)

➢ Se la rampa e’ a spigolo vivo l’onda d’urto si origina direttamente nello spigolo

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Onde in flussi comprimibili ➢ L’aumento di entropia dipende dal Mach a monte e dall’inclinazione β dell’onda d’urto. Esso aumenta all’aumentare dell’intensitá dell’onda d’urto, definita come il rapporto fra il Mach a monte e quello a valle

➢ La relazione fra Mach a monte, deflessione del flusso e inclinazione dell’onda d’urto é suscettibile di una rappresentazione grafica molto espressiva. Essa riporta le curve β − ϑ parametrate in funzione del numero di Mach a monte

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Onde in flussi comprimibili ➢ Si possono effettuare le seguenti considerazioni: • Per un determinato numero di Mach la stessa defles-

sione puó essere realizzata attraverso due diverse inclinazioni dell’onda d’urto. Ad esse corrispondono due diverse intensitá dell’onda d’urto.

• L’urto meno intenso corrisponde all’inclinazione β minore, il numero di Mach a valle e’ ancora maggiore di 1 ovvero il flusso si mantiene supersonico.

• La soluzione a β piú elevato corrisponde invece ad un Mach subsonico a valle.

• Rispetto al caso precedente quindi l’intensitá e’ piú elevata e con essa l’aumento di entropia.

• La condizione piú dissipativa corrisponde ad un angolo di inclinazione β pari a π/2. • L’onda d’urto e’ normale al flusso, la deflessione e’ nulla, il Mach a valle e’ il minimo possibile e quindi l’intensitá e’ massima e con essa l’aumento di entropia. Si parla in questo caso di urto retto (β

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= π/2),

mentre quelli analizzati finora sono detti urti obliqui (β

< π/2)

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Onde in flussi comprimibili

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Onde in flussi comprimibili ➢ Nel caso dell’espansione le linee di Mach tendono a divergere e ad allontanarsi l’una dall’altra

➢ Non si ha pertanto l’effetto di coalescenza e l’espansione risulta sempre graduale e quindi isentropica (non esistono urti di espansione!)

➢ Questo vale anche per la rampa a spigolo vivo. In questo caso tutte le linee di Mach si dipartono dallo spigolo e si parla di ventaglio di espansione o ventaglio di Prandtl-Meyer

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Ventaglio di espansione o di Prandtl-Meyer

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Flusso in area costante con attrito (problema di Fanno) ➢ Lo studio del flusso adiabatico con attrito in condotti di sezione costante risulta interessante in svariati problemi ingegneristici (es. gasdotti)

➢ Tale studio puo’ essere affrontato applicando le equazioni di continuita’, quantita’ di moto, energia e secondo principio della termodinamica ad un volume di controllo finito delimitato da un tratto di superficie interna del condotto

➢ continuita’: m ˙ = ρAv = costante ➢ quantita’ di moto: (p1 − p2 )A + R = m(v ˙ 2 − v1 ) (R risultante delle forze di attrito) ➢ energia: h1 +

v12 2

= h2 +

v 22 2

(conservazione dell’entalpia totale)

➢ secondo principio: m(s ˙ 2 − s1 ) ≥ 0 (s entropia) ➢ Per un gas perfetto si ha poi: p = ρRT , h2 − h1 = cp (T2 − T1 ) , s2 − s1 = cp ln

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p2 T2 − Rln T1 p1

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Flusso in area costante con attrito (problema di Fanno) 1, ➢ Se tutte le quantita’ sono note nello stato  2 si allora appare chiaro come per lo stato  debbano determinare p2 , T2 , v2 , ρ2 , R

➢ Il fatto che si abbiano 4 equazioni e 5 inco2 gnite mostra come si abbiano infiniti stati  1 possibile a partire da un assegnato stato  ➢ Se si riportano, per esempio in un piano T −s, 2 raggiungibili a partire da tutti gli infiniti stati  1 si ottiene la curva in un prefissato stato  figura detta linea di Fanno

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Flusso in area costante con attrito (problema di Fanno) ➢ Si possono effettuare le seguenti considerazioni: • Nel punto di massima entropia il numero di Mach e’ unitario

• Lungo il ramo superiore della curva il numero di Mach e’ sempre minore di 1 e cresce in modo monotono muovendosi verso destra lungo la curva