Cap6.CINEMATICA DEI FLUIDI EQUAZIONE DI CONTINUITA’ PDF

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CINEMATICA DEI FLUIDI EQUAZIONE DI CONTINUITA’...

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CINEMA CINEMATICA TICA DEI FLUIDI EQUAZIONE DI CON CONTINUIT TINUIT TINUITA A’ Argomenti • Equazione di continuità: – forma indefinita; – forma globale; – casi particolari per fluidi incomprimibili; – applicazione alle correnti.

L’equazione indefinita di continuità • Il principio di conserv conservazione azione della massa massa, valido per qualunque massa fluida in movimento, comporta dei legami tra il carattere cinematico del fluido e la densità di tale fluido. • Tale legame prende il nome di equazione di continuità, di cui esistono due formulazioni o equazioni: – formulazione indefinita (locale); – formulazione integrale (globale). Equazione indefinita: • Si consideri un parallelepipedo infinitesimo di lati dx, dy, dz e vertice O. Le componenti della velocità del fluido (di densità ρ ) siano:

• Si consideri, nel periodo di tempo dt, la massa di fluido che passa nelle facce del parallelepipedo, ad esempio quelle perpendicolari all’asse x. • Massa entrante (nella faccia AFEO):

• Massa uscente (dalla faccia DGBC):

• In definitiva, la differenza tra massa entrante e uscente nel periodo dt è:

• Analogamente per le altre facce, si ha:

• Per il principio di conserv conservazione azione della massa massa, si deve avere: la massa uscente dal volume nel periodo di tempo dt deve uguagliare la diminuzione subita nello stesso intervallo di tempo, per effetto della variazione della densità, dalla massa in esso contenuta.

• Da quanto detto si giunge alla forma canonica dell’equazione indefinita di continuità continuità, che si può anche sinteticamente scrivere:

• Tale equazione, in questa forma o nella precedente, formalizza il legame che deve sussistere tra la velocità del fluido e la sua densità in ogni punto. Esse vengono perciò chiamate eq equazioni uazioni locali di continuità. • Nel caso di fluidi incomprimibili, si ha che la densità ρ risulta essere costante, nel tempo e nello spazio, conseguentemente l’equazione indefinità di continuità assume la semplice forma:

• che ci dice che nei fluidi incomprimibili, il campo del vettore velocità è solenoidale solenoidale.

L’equazione globale di continuità • Si consideri un volume di fluido W racchiuso da una superficie chiusa A fissa rispetto al sistema di riferimento scelto. • In corrispondenza ad un elemento infinitesimo di superficie dA con versore n si definisce la densità del fluido ρ e la velocità v. • Nell’intervallo di tempo dt, passerà attraverso l’elemento dA una massa di fluido pari a ρ ·vn·dA·dt. Quindi, attraverso l’intera superficie A, nell’intervallo dt, passa una massa di fluido pari a: • Anche in questo caso, la differenza tra massa entrante ed uscente dal volume, dovrà essere compensata da un’opportuna variazione di densità del fluido. Tale variazione di ρ causa a sua volta una variazione della massa pari a:

• Da ciò si giunge a formulare l’equazione globale di continuità:

• Nel caso di fluido incomprimibile omogeneo, la densità ρ è costante sia rispetto al tempo che allo spazio. In questo caso si ha, ricordando che vn è la componente della velocità normale alla superficie A:

• In definitiva, per fluidi incomprimibili, il flusso della velocità attraverso una qualunque superficie chiusa, è nullo nullo. • Definendo dQ come la portata infinitesima del fluido attraverso l’area dA, si ha per la portata totale Q:

• Si suddivida ora l’area di contorno in tre parti: – A0: area su cui vn=0; – Ae: area su cui vn>0 (area di entrata del fluido); – Au: area su cui vn...