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BLATT 11 FM1 Tutorium

Finanzmathematik 1 WS1617

Seite 48 von 62

Blatt 11 A 41. Man schließe die drei Lücken im Beweis von Satz 3.1.32 aus der Vorlesung. (a) Sei dd := prozess

Z [Z|Ft−1 ]

-f.s. für festes t. Man zeigt: Dann hat Q den Dichte-

für Z > 0

Zs = ˜ := Beweis. Definiere Z dung:

⎧ ⎨1, ⎩

d d

s 0.

(Z|Ft−1 )



A 42. Man betrachtet den gleichen 3-Perioden-Markt wie in A 38. im Blatt 10. Es sei Yn := nk=0 Sk die Summe der Aktienpreise bis zum Zeitpunkt n ∈ {0, 1, 2, 3}. Das Auszahlungsprofil einer asiatischen Call-Option mit Ausübungspreis K = 4 hat die Form 

X=



1 Y3 − 4 + . 4 

Im Unterschied zur europäischen Call-Option basiert die Auszahlung also auf dem Durchschnitt der Aktienpreise bis zum Ausübungszeitpunkt. Sei vn (s, y) der Preis dieser Option zum Zeitpunkt n, falls Sn = s und Yn = y . (a) Man entwickle einen Algorithmus zur rekursiven Berechnung von vn . (b) Berechnen Sie den Preis v0 (4, 4) der Option zum Zeitpunkt 0. (c) Wieviele Aktion δn (s, y) müssen im replizierenden Portfolio zum Zeitpunkt n gehalten werden, um die Option zu replizieren, falls Sn = s und Yn = y ?

Diese Musterlösung garantiert nicht für die Richtigkeit!

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(a) Zunächst ist v3 (s, y) = (0.25Y3 −4)+ . Für n ∈ {0, 1, 2} erhält man die Rekursionformel: vn (s, y) =

  s s  1 2 2 vn+1(2s, y + 2s), vn+1 , y + 2 3 3 3 2

(b) Es ist v0 (4, 4) =

 3  3

2 3

2 3

· 11 +

 2

2 3

·

 1 2 2 1 · ·2 ·5+ 3 3 3    2 1 2 2 1 1 2 1 952 = · · · + + · . 3 3 729 3 2 2 3 

(c) Nach dem Satz 3.1.27 aus der Vorlesung gilt δ3 (s, y) = 1, da s, y beliebig sind. Damit ist 1 + r vn (2s, y + 2s) − vn (s/2, (2y + s)/2) · . δn−1 (s, y) = Xn−1 u−d A 43. Es seien X : (Ω, F, ) → [0, ∞) eine Zufallsvariable und G ⊂ F eine σ-Algebra, sowie N eine Familie von zu äquivalenten Wahrscheinlichkeitsmaßen. (a) Sei Y : Ω → [0, ∞) eine G-messbare Zufallsvariable. Man zeige: Die untere Formel gilt sicher: ess sup [X + Y |G] = Y + ess sup [X|G]. ∈N

(b) Sei A ∈ G. Man zeige: Es gilt

-fast

∈N

-fast sicher

ess sup

[

∈N

A

· X|G] =

A

· ess sup

[X|G].

∈N

(a) Beweis. Der Beweis erfolgt in 2 Schritten: (i) Sei

∈ N beliebig und Z ∗ := Y + ess sup Z∗ ≥ Y +

(X|G) =

∈N

(Y |G) +

[X|G]. Dann gilt (X|G) =

(X + Y |G ).

Damit ist Z ∗ eine Majorante. (ii) Man zeigt, dass für beliebige Majorante Z ∗∗ gilt: Z ∗ ≤ Z ∗∗. Sei Z ∗∗ eine beliebige Majorante, dann gilt für alle ∈ N Z ∗∗ ≥ Z

∗∗

−Y ≥

[X + Y |G]

⇐⇒

[X|G]

Z ∗∗ − Y ≥ ess sup ∈N

⇐⇒

[X|G].

Damit ist die Aussage bewiesen. Diese Musterlösung garantiert nicht für die Richtigkeit!

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(b) Beweis. Der Beweis erfolgt in 2 Schritten: (i) Es gilt Z∗ ≥ (ii) Für alle

A

[X|G] =

·

[

A

· X|G].

∈ N ist Z ∗∗ ≥

A

[X|G].

Ist ω ∈ AC , so gilt Z ∗ = 0, was für Z ∗∗ ≥ 0 folgt. Ist ω ∈ A, so gilt für alle ∈ N Z ∗∗

≥

[X|G].

A

Damit ergibt

Z ∗∗ A

≥ ess sup ∈N

[X|G].

Damit ist die Aussage bewiesen.

Diese Musterlösung garantiert nicht für die Richtigkeit!...