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Mathematische Methoden I (Wintersemester 2020/21) Prof. Dr. A. Pott, Dr. P. Korell, C. Kaspers

Übungsblatt G–6 Gruppenübungen, 11. Januar 2021 – 22. Januar 2021 Stetigkeit, Reihen

Bonusaufgaben

(Abgabe bis 22. Januar)

Geben Sie die schriftliche Bearbeitung dieser Aufgaben bitte bis 14 Uhr am 22. Januar via Moodle ab. Aufgabe B1 Bestimmen Sie für die Funktion f : R → R,

f (x) =

2(x2 − 2x + 1)(x − 3)2 x2 3(x2 − 4x + 3)(x − 3)2 (x2 + 1)

die Grenzwerte a) lim f (x),

b) limf (x),

c) lim f (x),

d) lim f (x),

e) lim f (x),

f)

xր1

xց3

xց1

x→∞

xր3

lim f (x).

x→−∞

Aufgabe B2 Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert: a) (

3k k=0 4k+1 )n∈N ,

Pn

−k −(k−1) ))n∈N, k=1 (2 +3

Pn

b) (

1/3

c) (

Pn

k k! k=0 (−1) 2k )n∈N .

Mathematische Methoden I (Wintersemester 2020/21) Prof. Dr. A. Pott, Dr. P. Korell, C. Kaspers

Trainingsaufgaben

(Keine Abgabe. Zum Üben.)

Aufgabe T1 Bestimmen Sie für die Funktion f : R → R,

f (x) =

die Grenzwerte

(x + 2)(x2 − x − 6) (x2 + 4x + 4)(x − 3)3

a) lim f (x),

b) lim f (x),

c) lim f (x),

d) lim f (x),

e) lim f (x),

f)

xր−2

xց−2

xր3

x→∞

xց3

lim f (x).

x→−∞

Aufgabe T2 Bestimmen Sie aus den folgenden Abbildungen von Funktionen f : R → R jeweils linksund rechtsseitige Grenzwerte an der Stelle x0 = 0 sowie das Grenzverhalten für x → ±∞. y y f 2

2

1

1

f

x

x

−1

−1

−2

−2 b)

a)

y

y f 2

2

1

1

f

x

x −1

−1

−2

−2 d)

c)

2/3

Mathematische Methoden I (Wintersemester 2020/21) Prof. Dr. A. Pott, Dr. P. Korell, C. Kaspers

Aufgabe T3 a) Bestimmen Sie alle a ∈ R, sodass die Funktion f : R → R mit f (x) =

  x2

− a2 für x < 2,  2x + a für x ≥ 2 √

an der Stelle x0 = 2 stetig ist. b) Untersuchen Sie, ob sich die Funktion f : R → R mit f (x) = onslücke stetig ergänzen lässt.

|x| x

an ihrer Definiti-

c) Begründen Sie mithilfe des Zwischenwertsatzes, warum die Funktion f (x) = x3 − 2x eine Nullstelle im Intervall [1, 2] hat. Aufgabe T4 Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz: a) (

Pn

c) (

Pn

k=1

2k−1 ) , 3k n∈N

k k2 k=1 (−1) 3k2 +k )n∈N ,

3/3

(−1)k k=0 1−2(k+1) )n∈N ,

b) (

Pn

d) (

Pn

k=1

1+(− 12 )k )n∈N . k2...