Blatt 6 Energieerhaltung Newtonreibung Aufgaben und Lösung PDF

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Übungsaufgaben - Klausurvorbereitung WS...

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6. Übungsblatt - Physik für Biologen Abgabe am 6.12.2018 vor der Vorlesung bis 13.15 Uhr

WS 2018/19 Bearbeitung in Gruppen bis vier Personen

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1. Aufgabe: Aufgabe (4 Punkte) Ein Ball mit der Masse 𝑚 = 500𝑔 wird auf einer vertikal ausgerichteten Feder platziert. Dabei ist die Federkonstante gleich 𝐷 = 2000 𝑁/𝑚. Die Feder wird nun losgelassen und der nicht an der Feder befestige Ball wird beschleunigt. Dabei ist die Reibung vernachlässigbar und der Ball wird als Punktmasse betrachtet.  (Erdbeschleunigung 𝑔 = 10  )  a) Wie stark wird die Feder ausgelenkt und wie groß ist die in der Feder gespeicherte Energie? Nun wird die gestauchte Feder fixiert und der Ball wird gegen eine Murmel mit der Masse 𝑚 = 5𝑔 ausgetauscht. Dann wird die Feder losgelassen. Die Murmel wird nun von der Feder beschleunigt und in die Luft katapultiert. b) Wie groß ist die maximale Höhe ℎ der Murmel? c) Wie groß ist der Geschwindigkeitsbetrag des Balls auf Hälfte seiner maximalen Steighöhe? Lösung 1a) 𝑭𝑭𝒆𝒅𝒆𝒓 = 𝑫 ∆𝒙, 𝑭𝒈 = 𝒎𝒈Mit Festlegung x=0 @

𝑭𝑭𝒆𝒅𝒆𝒓 = 𝑭𝒈

(Kräftegleichgewicht),

→ −𝒎𝒈 = 𝑫∆𝒙 → ∆𝒙

𝒎 𝒈 = − 𝑫𝑩 ∆𝒙

𝑾 = ∫𝟎

(nach x umstellen),

= −𝟐. 𝟓 𝒎𝒎(1p)

𝑭(𝒙) 𝒅𝒙

𝑫

𝑾𝑩 = 𝟐 ∆𝒙𝟐 =

(𝒎𝑩

1b)

(Arbeit ist Kraft längs eines Weges) 𝒈)𝟐

𝟐𝑫

= 𝟔. 𝟐𝟓𝒎𝑱

(1p)

Energieerhaltung: Gespeicherte Federenergie wird erst in kinetische und potentielle Energie der Murmel umgewandelt bis die Murmel bei der maximalen Höhe zum Stehen kommt. 𝑾 = ∫ 𝑭(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑾 = 𝒎𝒈𝒉 𝑾𝑴 = 𝒎𝑴 𝒈𝒉 = 𝟐

𝒈𝒎𝑩 𝑴 𝟐𝑫

𝒉=𝒎

(Arbeit ist Kraft längs eines Weges) (𝒎𝑩 𝒈)𝟐 𝟐𝑫

(Umstellen nach h)

= 12.5cm (1p)

1c) Energieerhaltung: 𝑬𝑮 = 𝑬𝒑𝒐𝒕 + 𝑬𝒌𝒊𝒏 𝒎𝑴 𝒈𝒉 =

𝒎𝑴 𝒈𝒉 𝟏 + 𝒎𝑴 𝟐 𝟐

𝒗𝒉 = 𝒈𝒉 =

𝒈𝒎𝑩

𝒎𝑴 𝟐𝑫

=

𝒗𝒉𝟐

√𝟓 𝒎 𝟐 𝒔

(Umstellen nach 𝒗𝒉 ) 𝒎

= 𝟏. 𝟏𝟏 𝒔 (1p)

2. Aufgabe: Aufgabe (5 Punkte) Ein Wagen mit der Masse 𝑚 = 20 𝑘𝑔 wird vor einer horizontal ausgerichteten Feder platziert. Dabei ist die Feder um ∆𝑥 = 1𝑚 gestaucht und besitzt eine Federkonstante von 𝐷 = 2000 𝑁/𝑚. Die Feder wird nun losgelassen und der nicht an der Feder befestige Wagen wird beschleunigt. Dabei ist die Reibung vernachlässigbar und der Wagen wird als Punktmasse betrachtet. a) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit 𝑣 des Wagens? b) Welche Geschwindigkeit hat der Wagen auf der Anhöhe 𝐵 mit ℎ = 2𝑚? c) Was ist die maximale Höhe die der Wagen entlang der Schrägen 𝑐 erreichen wird? Nun setzt sich eine Person mit einem Gewicht von 𝑚 = 80 𝑘𝑔 in den Wagen. d) Erreicht die Person Punkt B? e) Wie weit muss die Feder mindestens gestaucht sein, damit die Person Punkt B erreicht?

Lösung 2a) Annahmen: Feder wird als Masselos angenommen, Wagen, und Person werden als starr angenommen, d.h. Energieerhaltung in Bezug auf Kinetische und potentielle Energie im Schwerefeld ist gegeben. In der Feder gespeicherte Energie: ∆𝒙

𝑾 = ∫𝟎

𝑭(𝒙) 𝒅𝒙

𝑫

𝑾𝑾 = 𝟐 ∆𝒙𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝑱

Energieerhaltung  maximale Geschwindigkeit, wenn komplette potentielle Federenergie in Kinetische Energie umgewandelt wird 𝟏

𝑬𝒌𝒊𝒏 = 𝒎 𝒗𝟐 = 𝑬𝒑𝒐𝒕𝑭 = 𝑾𝑾 = 𝟐 𝑫

𝒎

𝒗 = ∆𝒙 = 𝟏𝟎 𝒔 𝒎

𝑫 ∆𝒙𝟐 𝟐

(Umstellen nach v)

(1p)

2b) Energieerhaltung: Gesamtenergie muss gleich der Summe von Potentieller Energie im Schwerefeld und der kinetischen Energie. 𝑬𝒑𝒐𝒕𝑭 = 𝑬𝒌𝒊𝒏 + 𝑬𝒑𝒐𝒕𝒈

𝑫 ∆𝒙𝟐 𝟐

𝟏

= 𝒎𝒗𝟐 + 𝒎𝒈𝒉 𝟐 𝑫

(Umstellen nach v)

𝒗 = 𝒎 ∆𝒙𝟐 − 𝟐𝒈𝒉 = 𝟕. 𝟖

𝒎 𝒔

(1p)

2c) Gesamtenergie ist die pot. Energie im Schwerefeld 𝑬𝒑𝒐𝒕𝑭 = 𝑬𝒑𝒐𝒕𝒈 𝑫 𝟐

𝑫∆𝒙𝟐

∆𝒙𝟐 = 𝒎𝒈𝒉 (Umstellen nach h)  𝒉 = 𝟐𝒎𝒈 = 𝟓. 𝟏𝒎

(1p)

2d) Nein, da maximale Höhe von ca.1m erreicht wird siehe c) Höhe verhält sich umgekehrt proportional zur Masse (1p) 2e) Es muss gelten:

𝑫 𝟐

∆𝒙𝟐𝑩 = 𝒎𝒈𝒉𝑩

𝟐𝒎𝒈𝒉𝑩

∆𝒙𝑩 = 

𝑫

= 𝟏. 𝟒𝟎𝟏𝒎 (1p)

3. Aufgabe (5 Punkte) Bei einem Fallschirmsprung handelt es sich um einen fall mit Reibung. Dabei wird der Fallschirmspringer so lange beschleunigen, bis die Anziehungskraft der Erde gleich der Bremskraft der Luftreibung ist. Dabei wir die Luftreibung bei hohen Geschwindigkeiten durch die Newton‘sche Reibung beschrieben.

𝐹 =

1 𝑐 𝜌𝐴𝑣 2 

a) Wie schnell wird ein Fallschirmspringer A mit einer Masse von 100𝑘𝑔 in Bauchlage (𝐴 = 0.75𝑚 )? b) Wie schnell wird ein Fallschirmspringer B mit einer Masse von 60𝑘𝑔 im Steilflug (𝐴 = 0.10𝑚 )? c) Nun öffnen beide Fallschirmspringer Ihre Rundkappenfallschirme (𝐴 = 25𝑚 ) . Wie schnell treffen die Beiden auf den Boden auf? d) Welche Fläche müsste der Fallschirm von Person A haben damit er genauso sanft wie Person B landet? e) Als Felix Baumgartner im Oktober 2012 seinen Fallschirmsprung aus ca. 36𝑘𝑚 Höhe absolvierte, erreichte er eine Spitzengeschwindigkeit von ca. 373

 

= 1343



. Warum konnte er im Vergleich zu einem normalen Fallschirmsprung die vierfache Geschwindigkeit erreichen?

Dichte Luft: 𝜌 = 1,2





𝑐 = 0.58 in Bauchlage, 𝑐 = 1,91 im Steilflug, 𝑐 = 1,33 mit Fallschirm



Lösung 3a)

𝑭𝑮 = 𝑭𝑵𝒆𝒘𝒕𝒐𝒏 𝟏 𝒄 𝝆𝑨𝒗𝟐 = 𝒎𝒈 𝟐 𝑾 𝟐𝒎𝟏 𝒈 𝒎 𝒗𝟏 =  = 𝟔𝟏. 𝟑𝟏 𝒔 𝒄 𝝆𝑨 𝑾𝑩

𝑩

(Kräftegleichgewicht) (umstellen nach v) = 𝟐𝟐𝟎

𝒌𝒎 𝒉

(1p)

3b) 𝒌𝒎

= 𝟕𝟏. 𝟔𝟕

𝒎 𝒔

= 𝟐𝟓𝟖

𝟐𝒎𝟏 𝒈

= 𝟕. 𝟎𝟏

𝒎 𝒔

= 𝟐𝟓

𝒌𝒎 𝒉

𝟐𝒎𝟐 𝒈

= 𝟓, 𝟒𝟑

𝒎 𝒔

= 𝟏𝟗

𝒌𝒎 𝒉

𝟐𝒎𝟐 𝒈 𝑾𝑺 𝝆𝑨𝑺

𝒗𝟐 = 𝒄

𝒉

(Analog zu a) (1p)

3c) 𝒗𝟏𝑭 = 

𝒄𝑾𝑭 𝝆𝑨𝑭

𝒗𝟐𝑭 = 

𝒄𝑾𝑭 𝝆𝑨𝑭

(Analog zu a) (0.5p) (Analog zu a) (0.5p)

3d) 𝟐𝒎𝟏 𝒈 𝑾𝑭 𝝆𝑨

𝒗𝟏𝑭(𝑨) = 𝒄 𝒎

=

𝟐𝒎𝟐 𝒈

𝒄𝑾𝑭 𝝆𝑨𝑭

= 𝒗𝟐𝑭 (Gleichsetzen der Geschwindigkeiten, Kürzen und umstellen nach A)

𝑨 = 𝒎 𝟏 𝑨𝑭 = 𝟒𝟏. 𝟔𝟔𝒎𝟐 (1p) 𝟐

3e) 𝝆 ist eine Funktion der Höhe (Barometrische Höhenformel)𝝆(𝒉) = 𝝆𝟎 𝐞𝐱𝐩(−

𝒉𝒉𝟎 𝒉𝒔

), dabei nimmt die Luftdichte

exponentiell ab womit die Luftreibung auch abnimmt und somit der Freie Fall weniger gebremst wird.

4. Aufgabe (6 Punkte)

Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen an. a) Erhaltungsgrößen bei Stößen ฀ X Bei einem elastischen Stoß ist der Impuls eine Erhaltungsgröße. (0.5p) ฀ X Bei einem elastischen Stoß ist die kinetische Energie eine Erhaltungsgröße. (0.5p) ฀ X Bei einem unelastischen Stoß ist der Impuls eine Erhaltungsgröße. (0.5p) ฀ X Bei einem unelastischen Stoß ist die Energie eine Erhaltungsgröße. (0.5p) ฀ - Bei einem unelastischen Stoß ist die kinetische Energie eine Erhaltungsgröße. (0.5p) ฀ - Bei einem elastischen Stoß ist die Geschwindigkeit eine Erhaltungsgröße. (0.5p) ฀ X Bei einem elastischen Stoß ist die Masse eine Erhaltungsgröße. (0.5p) ฀ X Bei einem unelastischen Stoß ist die Masse eine Erhaltungsgröße. (0.5p) b) Eine konstante Kraft 𝐹 , die entlang eines Weges 𝑥 auf einen Körper wirkt, vollbringt die Arbeit 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑥 (Skalarprodukt). Betrachten Sie einen 10𝑘𝑔 schweren Körper, der durch die Kraft 𝐹  = 40𝑁 in horizontaler Richtung um den Weg |𝑥| = 5𝑚 gegen die Reibungskraft verschoben wird. Der  Gleitreibungskoeffizient zwischen Körper und Unterlage beträgt 𝜇 = 0.4. Die Erdbeschleunigung sei 10  . 

1) Welche Arbeit verrichtet die Kraft 𝐹 entlang des Weges 𝑥? 𝑾𝟏 = 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑭𝟏 ∙ 󰇍𝒙  = 𝟐𝟎𝟎𝑱 (0.5p) 2) Welche Arbeit verrichtet die Gewichtskraft 𝐹 des Körpers entlang des Weges 𝑥? 󰇍󰇍󰇍󰇍𝑮 und 󰇍𝒙 Da 𝑭  senkrecht aufeinander stehen wird keine Arbeit verrichtet. (0.5p) 3) Welche Arbeit verrichtet die Reibungskraft 𝐹 = −𝜇𝐹 entlang des Weges 𝑥?  = −𝟐𝟎𝟎𝑱 (0.5p) 4) 𝑾𝑹 = 󰇍𝑭󰇍󰇍 𝑹 ∙ 󰇍𝒙

󰇍󰇍󰇍 | = 80𝑁, die im Winkel von 𝛼 = 60° angreift, entlang des Weges 󰇍󰇍? 𝑥 Welche Arbeit verrichtet eine Kraft |𝐹 𝑾𝟐 = 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑭𝟐 ∙ 󰇍𝒙  = 𝒄𝒐𝒔(𝜶)𝑭𝟐 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎𝑱 (0.5p)...