Formeln-tm3 - Formelsammlung für Technische Mechanik 3 teil 2 PDF

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Formelsammlung für Technische Mechanik 3 teil 2...

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Prof. Dr. Wolfgang Jitschin formeln-tm3-v16.doc, 30.3.2012

Material zur Vorlesung Mechanik 3: Dynamik Literaturverzeichnis: - W. Jitschin: Material zur Vorlesung Technische Mechanik 3: Dynamik http://homepages.thm.de/jitschin - W. Jitschin: Physik für Ingenieure in Formeln und Tabellen beim Autor erhältlich - B. Assmann und P. Selke: Technische Mechanik Band 3: Kinematik und Kinetik München: Oldenbourg Verlag, 14. Auflage 2007 - B. Assmann und P. Selke: Aufgaben zur Kinematik und Kinetik München: Oldenbourg Verlag, 10. Auflage 2008 - R.C. Hibbeler: Technische Mechanik 3: Dynamik München: Pearson Studium, 10. Auflage 2006 - D. Gross, W. Hauger, W. Schnell und J. Schröder: Technische Mechanik, Bd. 3: Kinetik Berlin: Springer-Verlag, 2004 - D. Gross, W. Ehlers und P. Wriggers: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 3 Berlin: Springer-Verlag, 2005

Inhalt der vorliegenden Datei 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nützliche Maschinen Eindimensionale Bewegung eines Punktes Beliebige Bewegung eines Punktes in der Ebene Bewegung des starren Körpers in der Ebene Dynamisches Grundgesetz Impuls und Drall Prinzip von d'Alembert Energie Mechanische Schwingungen Mathematische Formeln

Viel Nützliches aus der Vorlesung Physik steht in der separaten Datei: "Formeln-Physik-TM3.doc" 2 Mechanik 2.1 Kinematik der geradlinigen Bewegung Geschwindigkeit, Beschleunigung, Würfe 2.2 Kinematik der Drehbewegung 2.3 Dynamik der geradlinigen Bewegung Newtonsche Axiome, schiefe Ebene, Reibung, Stöße 2.4 Dynamik der Drehbewegung Massenträgheitsmoment, Corioliskraft, Präzession 2.5 Arbeit, Energie, Leistung 2.7 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 3 Schwingungen 3.1 Begriffe 3.2 ungedämpfte elastische Sinusschwingung Federschwingung, Flüssigkeitsschwingung Drehschwingung, Pendel, elektrischer Schwingkreis 3.3 Viskos gedämpfte Schwingung 3.4 Erzwungene Schwingung

-1-

1. Nützliche Maschinen schiefe Ebene Steigung = tan

 Rad oder Walze

Momentanpol

einfacher Flaschenzug

m

m

Stufenrolle oder abgesetzte Rolle

gekoppelte Rotoren (Getriebe) n_treibendes Rad i = ————————— n_ getriebenes Rad

Normalkraft FN = m g cos  Reibungskraft FR = m g cos  Hangabtriebskraft FH = m g sin  Beschleunigung a = g (sin cos  Der Momentanpol des abrollenden Rades ist der Auflagepunkt

Ist eine Masse an der Rolle befestigt (links), so ist die Seilkraft verglichen zur Kraft, die direkt auf die Masse wirkt (rechts), ½ so groß im Fall einer statischen Kraft und ¼ so groß im Fall einer Trägheitskraft. M1 r  1 Drehmomentverhältnis M2 r2

i < 1: Übersetzung, i > 1: Untersetzung Drehzahlverhältnis n1/n2 = 1/i Drehmomentverhältnis M1/M2 = i Trägheitsmoment J1 wirkend auf 2: Jeff = J1 / i2

Planetengetriebe Planetenrad Sonnenrad

beidseitig geführter Stab y





tan  = y / x 2 = x2 + y2 y vy = - x vx

x

Schubkurbel oder Kurbeltrieb Kurbel r

Pleuel 

x Kolben

wenn Drehung gleichmäßig mit  =  t erfolgt und Näherung bis 1. Ordnung in  = r/ gemacht wird, dann ist x = r (1 – cos  + ½  sin2 ) vx = r  (sin  + ½ sin 2 ) ax = r 2 (cos  +  cos 2 )

Kreuzschubgetriebe

x = b tan 

Kurbelschleife x b 

wenn die Drehung gleichförmig mit  =  t erfolgt, dann gilt x b  / cos 2 t  -2-

2. Eindimensionale Bewegung eines Punktes 2.1

Definitionen

s

Ortskoordinate

[s] = m

s ist der momentane Ort des Punktes, nicht die zurückgelegte Wegstrecke

v

Geschwindigkeit

[v] = m/s

v 

a

Beschleunigung

[a] = m/s2

r

Ruck

[r] = m/s3

ds  s dt dv a v s dt da r  a v s dt

Haben s und v gleiches Vorzeichen, dann geht die Bewegung weg vom Ursprung, d.h. der Betrag der Ortskoordinate wird größer. Haben v und a gleiches Vorzeichen, dann wird die Bewegung schneller, d.h. der Betrag der Geschwindigkeit wird größer. 2.2

Differentieller Zusammenhang

v dv a ds

2.3

Integrale Änderungen von Weggrößen

funktionaler Verlauf

Index 1: Anfangspunkt, Index 2: Endpunkt

Index 1: Anfangspunkt, kein Index: Variable

 s s 2  s 1 

t2

t

s( t ) s1 

v (t ) dt

1

1

v v 2  v 1 

t2

t

t

t v ( t ) d t t

t

v ( t ) v 1 

a (t ) dt

 

 v 2 v 2  v 2 2 2 1

t t 2  t1 2

v2

v

1

a( t ) d t

1

1

s2

s

a( s) d s

v

2

1

dv a( v )

( s)  v 2  2 1

s

s

a (s ) ds

1

t (v ) t 1  2

v

v

1

-3-

dv a (v )

2.4 2.4.1

Spezielle Bewegungen gleichförmige Bewegung: (v = konstant) s(t )  s 0  v 0 t

s: Ort zum Zeitpunkt t s0: Ort zum Zeitpunkt t = 0

v (t ) v 0 a(t )  0

2.4.2

gleichmäßig beschleunigte Bewegung: (a = konstant) allgemeiner Fall: s: Ort zum Zeitpunkt t s0: Ort zum Zeitpunkt t = 0 v0: Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 v: Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t

s s 0  v 0t  21 at 2 s0 

2 2 v  v0 2a

v v 0  at

a

2 2 1 v  v0 2 s  s0

s  12 at 2

Spezialfall: Ort und Geschwindigkeit zu Beginn sind Null (s0 = 0, v0=0) v : mittlere Geschwindigkeit

v 

2sa 

2s 2v t

v2 2s a  2 2s t

Spezialfall: Bremsvorgang aus Anfangsgeschwindigkeit v0 bei s0=0 mit gleichmäßiger Verzögerung sB: Bremsweg Spezialfall: Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit Null h: Fallstrecke t: Fallzeit v: Fallgeschwindigkeit Spezialfall: senkrechter Wurf: v: Geschwindigkeit h: Höhe über Abwurfpunkt hmax: maximale Wurfhöhe (bei Wurf nach oben) in den Formeln gilt das + Zeichen beim Wurf nach oben und das - Zeichen beim Wurf nach unten

-4-

s B  12 v 0 t B  

1 2

v 20 a

h 21 g t 2 t 

2h g

v 

2gh

h

2

v  v 0  gt  v 0  2gh

h v 0 t  12 gt 2

hmax  12

v 20 g

h

2.4.3

Überlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung Spezialfall: waagerechter Wurf: horizontal x: gleichförmige Bewegung vertikal y: gleichmäßig beschl. Bewegung

x (t ) v 0 t

2h g

s v 0

Wurfweite: s

Spezialfall: schräger/schiefer Wurf horizontal x: gleichförmige Bewegung vertikal y: gleichmäßig beschl. Bewegung Bahnkurve: Wurfparabel y(x)

x (t ) v 0 t cos  v x (t ) v

0

cos 

y( t ) v 0 t sin  

1 2

gt 2

v y (t ) v 0 sin  gt

y ( x )  x tan  

h

mit Abwurf- und Auftreffpunkt auf gleicher Höhe:

t

2

gx 2 2v 0 cos2 

v20 sin2  2 g

2 v0 sin  g

s

v02 sin 2  g

maximale Wurfhöhe h Wurfdauer t horizontale Wurfweite s Spezialfall: schräger / schiefer Wurf, Abwurfpunkt um h0 höher als Auftreffpunkt h  h0 

v 02 sin 2  2g

t  Steigzeit  Fallzeit 

v 0 sin   g

s  tv0 cos 

maximale Steighöhe h Wurfdauer t horizontale Wurfweite s

-5-

2

 v 0 sin   2h   0  g g  

2.5 Herleitung der Bewegungsgleichungen Aufgabe ist das Berechnen der Zeitabhängigkeit von Ort s(t), Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t) einer beliebigen Bewegung, wenn bestimmte Beziehungen (im Folgenden als einzelne Fälle behandelt) gegeben sind. Lösungskonzept für den Fall der eindimensionalen Bewegung 1. Schritt: Verstehen des Problems, Zeichnen einer Skizze kann hilfreich sein 2. Schritt: Ansatz für funktionalen Zusammenhang erkennen, z.B. a(s) 3. Schritt: Berechnen der analytischen zeitabhängigen Funktionen von Ort s(t), Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t) der Bewegung, die Vorgehensweise ist fallspezifisch wie in der folgenden Tabelle gegeben Fall gegeben

Lösungsgang (der Index 1 kennzeichnet den Anfangszustand) 1. Teilschritt

1

a(t)

2

v(t)

3

s(t)

4 5 6

v(s) a(s) a(v)

v (t ) v1  s (t ) s 1 

v( t ) 

a(t ) dt t1 t

v (t ) dt t1

d s (t ) dt

t (s ) t 1  v (s ) 

2. Teilschritt

t

s

 s1

ds v( s)

v 12  2

t (v ) t 1 

v

v (t ) dt t1

a( t ) 

d v( t ) dt

a( t ) 

d v( t ) dt

umstellen nach s(t)

weiter bei Fall 3

s

ds a (s weiter bei Fall 4 s1

dv

 a( v) v1

s (t ) s 1 

3. Teilschritt

t

umstellen nach v(t)

weiter bei Fall 2

4. Schritt: Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen 5. Schritt: Angabe der gesuchten numerischen Funktionen 6. Schritt: graphische Darstellung des Bewegungsablaufs 7. Schritt: Angabe sonstiger gesuchter Größen 2.6 Föppl-Klammer

Beispiele zu Föppl:

für x  a  0 n x  a  n  (x  a ) für x  a d n n 1 x  a n x  a Ableitung: dx 1 n n 1 C Integral: d x x  a  n  1 x  a

Definition:

-6-

x a

0

x a

1

x a

2

a

x

a

x

a

x

3. Beliebige Bewegung eines Punktes in der Ebene Kartesische Koordinaten x-Geschwindigkeit y-Geschwindigkeit

dx  x dt dy vy   y dt vx 

dv x v x  x dt

x-Beschleunigung

ax 

y-Beschleunigung

ay 

dv y dt

v y  y

Polarkoordinaten Begriff „radial“:

Bewegung weg vom Ursprung

Begriffe „zirkular“ oder „Bahn“

Bewegung entlang des Kreises mit Radius r um Ursprung

radiale Geschwindigkeit

vr 

Bahn-Geschwindigkeit

v r  r 

radiale Beschleunigung

ar 

dr  r dt



r

2 r  



rein radial



zentripeta l



r



rein radial

r  2  zentripeta l

Bahn-Beschleunigung

a   2 r     

Natürliche Koordinaten Begriff „tangential“

in Bewegungsrichtung (Bahnrichtung)

Begriff „normal“

senkrecht zur Bewegungsrichtung

Bahn-Geschwindigkeit

v  r  r 

normale Beschleunigung

a n  r 2 

tangentiale Beschleunigung

at 

Coriolis

r    rein Umfang

2

v r

dv v dt

Kreisbahn r konst r 0

r 0

-7-

 2  v r     Coriolis

r 

rein Umfang

4. Bewegung des starren Körpers in der Ebene allgemeine Rotation Winkel



Anzahl der Umdrehungen

z=  2

Winkelgeschwindigkeit

  2  n

Drehzahl

n z 

Winkelbeschleunigung

    

Weg

s r 

Geschwindigkeit

v r 

tangentiale Beschleunigung

at = r 

normale Beschleunigung

an = r 

bei allgemeiner Drehbewegung gilt:

 d  d



 2

Spezialfall: gleichförmige Drehbewegung

=0  = konst.    d t  t  0

Spezialfall: gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung

 = konst.    dt  t  0    dt  1  t 2  0 t   0 2

d

d 

ferner gilt:



und

  2   1  1  2  12 2 2





Korrespondenz von Größen bei linearer und Dreh-Bewegung lineare Bewegung s Ort v Geschwindigkeit a Beschleunigung

lineare Größen bei Drehbewegung s r  v r  at = r  (tangential) an = r   (normal)

-8-

Drehbewegung

 Winkel  Winkelgeschwindigkeit  Winkelbeschleunigung

Herleitung der Bewegungsgleichungen Berechnen der Zeitabhängigkeit von Winkel (t), Winkelgeschwindigkeit (t) und Winkelbeschleunigung (t) einer beliebigen Bewegung, wenn bestimmte Beziehungen (im Folgenden als einzelne Fälle behandelt) gegeben sind. Lösungskonzept für den Fall der eindimensionalen Bewegung 1. Schritt: Verstehen des Problems, Zeichnen einer Skizze kann hilfreich sein 2. Schritt: Ansatz für funktionalen Zusammenhang erkennen, z.B.  ( ) 3. Schritt: Berechnen der analytischen zeitabhängigen Funktionen von Winkel (t), Winkelgeschwindigkeit  (t) und Winkelbeschleunigung (t). Die Vorgehensweise ist fallspezifisch wie in der folgenden Tabelle gegeben Fall gegeben

Lösungsgang (der Index 1 kennzeichnet den Anfangszustand) 1. Teilschritt

1

(t)

(t ) 1 

2

(t)

 (t ) 1 

3

(t)

 (t ) 

4

()

t( )  t1 

5

 ()

6

()

( ) 

2. Teilschritt

t

(t ) dt t1 t

 (t ) dt t1

d ( t ) dt 



1

d (  )

12  2

(t ) 1 

3. Teilschritt

t

(t ) t1

 (t ) 

d ( t ) dt

 (t ) 

d ( t ) dt

umstellen nach (t) weiter bei Fall 3



d  (   weiter bei Fall 4 1

t ( ) t1 



d

 ( ) 1

umstellen nach (t) weiter bei Fall 2

4. Schritt: Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen 5. Schritt: Angabe der gesuchten numerischen Funktionen 6. Schritt: graphische Darstellung des Bewegungsablaufs 7. Schritt: Angabe sonstiger gesuchter Größen

-9-

Zerlegung der Bewegung eines Körpers in Translation und Rotation Die allgemeine Bewegung eines Körpers von einer Anfangsposition 1 in eine Endposition 2 lässt sich zerlegen in zwei Schritte, nämlich dem ersten Schritt einer Translation (Schiebung) und dem zweiten Schritt einer Drehung: Bewegung = Translation (Schiebung) + Rotation Beispiel: geführter Stab:

Eindeutig ist der Winkel der Rotation. Dagegen ist der Drehpunkt A frei wählbar, seine Wahl bestimmt die Translation. Somit gibt es beliebig viele Möglichkeiten der Zerlegung. Addition der Geschwindigkeiten bei Zerlegung der Bewegung Geschwindigkeiten zweier Punkte A und B eines starren Körper:

vB 

 vA 



  aA 



Translatio n Translatio n von Punkt B von Punkt A

vBA 

Drehung von Punkt B um Punkt (Pol) A

Durch zeitliche Ableitung folgt für die Beschleunigungen:

a B

Translatio n Translatio n von Punkt B von Punkt A

aBA Drehung von Punkt B um Punkt (Pol) A

Die Beschleunigung a BA hat zwei Komponenten: a t   tangential an   2 normal Drehpol (Momentanpol) Die allgemeine Bewegung eines Körpers kann als reine Drehung ohne Translation dargestellt werden, wenn die Drehung um den Drehpol erfolgt. Der Drehpol kann während der Bewegung seinen Ort ändern. Der momentane Drehpol eines Körpers mit den Punkten A und B ergibt sich als Schnittpunkt der Senkrechten auf den Geschwindigkeitsvektoren vA und vB in den Punkten A und B. Winkelgeschwindigkeit der Körperdrehung und die Geschwindigkeiten der Punkte A und B sind verknüpft:

 Körper 

- 10 -

vA v  B AP BP

P

AP

BP

A vA

B

vB

Beispiel: Beim abrollenden Rad ist der Auflagepunkt der momentane Drehpol. Rotierendes Führungssystem (Index f): Beschleunigung des Führungssystems :

af 

a  ft tangential r

Beschleunigung des Körpers:

 a  fn normal r 2 a  a f  a rel  a Coriolis      2  v

- 11 -

rel

5. Dynamisches Grundgesetz Nach Newton (1642-1727)

Definition 1 Menge der Materie = Masse = Dichte x Volumen Definition 2 Bewegungsgröße = Impuls = Masse x Geschwindigkeit

m   V p  m v

Definition 3 Masse besitzt Widerstandsvermögen gegen Änderung ihrer Bewegung (Trägheit) Definition 4 Auf einen Körper einwirkende Kraft ist das Bestreben, seine Bewegung zu ändern. Axiom 1 Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern. F 0



v const

Axiom 2 Die Änderung der Bewegungsgröße eines Körpers ist der Einwirkung einer Kraft proportional. Die Änderung erfolgt in der Richtung der einwirkenden Kraft. p  F

Axiom 3 Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkung zweier Körper aufeinander ist stets gleich und von entgegen gesetzter Richtung. F'   F

Dynamisches Grundgesetz Die zeitliche Änderung der translatorischen Bewegungsgröße m v ist gleich der einwirkenden Kraft, die diese Änderung verursacht.   d F   m v   dt

dv m   dt



bei starrem Körper

 dm v   dt

bei kontinuier lichem Strom

Analog gilt bei der Drehbewegung, dass die zeitliche Änderung des Dralls gleich dem einwirkenden Drehmoment ist, das diese Änderung verursacht. Mit der Tangentialgeschwindigkeit v ergibt sich: M  F r 





d m v r  dt

dv  m r     dt

bei starrem Körper



dm v  r      dt

bei kontinuier lichem Strom

In vektorieller Form geschrieben:     d  M  r F   r m v   dt

 dv r m    d t bei starrem Körper



  dm r v dt     bei kontinuierlichem Strom

Korrespondenz von Größen lineare Bewegung (Schiebung) drehende Bewegung (Rotation) F Kraft M (Dreh-) Moment m Masse J Massenträgheitsmoment  Winkelbeschleunigung a Beschleunigung

- 12 -

d’Alembertsches Prinzip (ausführlicher behandelt Kapitel 7) Dieses lautet in einer für die Vorlesung Dynamik vereinfachten Version: Durch Einführung von Trägheitskräften können dynamische Probleme auf stati...