TM formelsammlung technische mechanik PDF

Preview

Summary

Studiengang EI
WS16/17
Formelsammlung für die Prüfung...

Description

Formelsammlung Technische Mechanik Inhaltsverzeichnis Statik..................................................................................................................................................................................... 2 Formeln zur Statik........................................................................................................................................................... 2 Freimachen des Systems............................................................................................................................................... 2 Aufstellen der Gleichgewichtsgleichungen, Bestimmung der Auflagerreaktionen...........................................................2 Schnittgrößenverläufe..................................................................................................................................................... 3 Schwerpunkt................................................................................................................................................................... 3 Reibung.......................................................................................................................................................................... 3 Statische Bestimmtheit und Unbestimmtheit................................................................................................................... 3 Festigkeitslehre................................................................................................................................................................... 5 Formeln zur Festigkeitslehre........................................................................................................................................... 5 Allgemeines zur Festigkeitslehre.................................................................................................................................... 6 Verzerrung und Verschiebung......................................................................................................................................... 6 Hooksches Gesetz.......................................................................................................................................................... 6 Zug- und Druckbeanspruchung...................................................................................................................................... 7 Lösen statisch unbestimmter Systeme........................................................................................................................... 7 Biegung........................................................................................................................................................................... 8 Weg zur Berechnung der Verschiebung......................................................................................................................... 8 Torsion kreiszylindrischer Stäbe..................................................................................................................................... 9 Verschiedene Flächenträgheitsmomente........................................................................................................................ 9 Kinematik........................................................................................................................................................................... 10 Allgemeines.................................................................................................................................................................. 10 Zusammenhänge zwischen den Basisgrößen.............................................................................................................. 10 Bewegung in karthesischen Koordinaten...................................................................................................................... 10 Bewegung in Bahnkoordinaten..................................................................................................................................... 11 Bewegung in Polarkoordinaten..................................................................................................................................... 11 Allgemeine Bewegung auf Kreisbahn........................................................................................................................... 12 Bewegung auf der Kreisbahn in karthesischen Koordinaten.........................................................................................12 Bewegung auf der Kreisbahn in Polarkoordinaten........................................................................................................ 12 Bewegung auf der Kreisbahn in Bahnkoordinaten........................................................................................................ 12 Translation, Rotation und Momentanpol....................................................................................................................... 13 Kopplungsarten von Körpersystemen........................................................................................................................... 13

Kinetik................................................................................................................................................................................ 14 Allgemeines.................................................................................................................................................................. 14 Lösungsprinzip von d’Alembert..................................................................................................................................... 14 Arbeit, Energie und Leistung in der Kinetik................................................................................................................... 15 Impulssatz, Impulserhaltungssatz................................................................................................................................. 15 Translation und Rotation von starren Körpern in einer Ebene......................................................................................16 Schwerpunkt von Massenpunktsystemen..................................................................................................................... 17 Widerstand gegen Gleiten und Rollen.......................................................................................................................... 17 Verschiedene Massenträgheitsmomente...................................................................................................................... 18 Beispiel zur Kinetik....................................................................................................................................................... 19

Statik Formeln zur Statik

 N L x  ; Q x   N  F? x ; F? y

M ? ; M x 

 Nm

q

 N  m 

FN ; FH ; FR N   0 ;  ; 0

Waagrechte und senkrechte Kraftkomponente Längs- und Querkraft im Schnittverlauf

M ?  F?? a ?

M x  Q x  x Fres  q a ?

Q x  q x FH  0 FN

FR  FN

tan  0   0

Moment im Auflager und im Schnittverlauf Streckenlast Normal-, Haftreibungs- und Gleitreibungskraft Haft- und Gleitreibungskoeffizient, Haftwinkel

Freimachen des Systems Das System wird von den Bindungen mit der Umgebung gelöst. Anstelle der Bindungen treten Auflagerreaktionen. Eingeprägte Kräfte wirken von Außen auf das System. Innere Kräfte treten stets paarweise auf, sie haben nach außen keine Wirkung. Sie werden zu äußeren Kräften durch Lösen eines Teilsystems vom Gesamtsystem.

Aufstellen der Gleichgewichtsgleichungen, Bestimmung der Auflagerreaktionen Aufstellen der drei Gleichgewichtgleichungen.  :  F? x 0 Summe des horizontalen Kräfteverlaufs   

 :  F? Y 0 Summe des vertikalen Kräfteverlaufs

? :  M ? 0 Summe der Momente in Bezug auf einen Punkt

Streckenlasten q können hier eine Einzelkraft umgerechnet werden, Fq q a . Aus den Gleichungen können die Auflagerreaktionen bestimmt werden. Mit der Anzahl der Unbekannten und der der Gleichungen kann die statische Bestimmtheit des System ermittelt werden.

Formelsammlung

Seite 2

Technische Mechanik

Schnittgrößenverläufe Zwischen den äußeren Belastungen und den Auflagern besteht ein Kraftfluss, der von inneren Kräften getragen wird. Diese inneren Kraftgrößen lassen sich durch die Schnittgrößen berechenbar machen. Dazu muss ein Teilsystem in Bereiche eingeteilt werden. Bereichsgrenzen bilden Auflagerkräfte oder geometrische Änderungen. Die Berechnung für jeden Bereich erfolgt mit den drei Gleichgewichtsgleichungen. Schnittgrößen sind Funktionen der Längskoordinate x . Streckenlasten q müssen hier allgemein aufgestellt werden Fq  x q x .  L L x  Längskraft  

Q Q x  M  x  Querkraft M  M x  Schnittmoment

Schlussfolgerungen:  Q 0  M ist Extremum Q konst  M verläuft linear   Senkrechte Einzelkraft  Querkraftsprung vom Betrag der Einzelkraft und Anstiegsänderung im  Freies, lastfreies Balkenende  M 0  Gelenk  M 0  Verzweigung  Sprung im Schnittverlauf

M -Verlauf

Schwerpunkt Der Schwerpunkt ist ein körperfester Punkt, in dem die gesammte Gewichtskraft als Einzelkraft angebracht ist. Oftmals bestehen Gebilde aus mehreren Einzelteilen, deren Schwerpunkte bekannt sind. Der Gesammtschwerpunkt ist dann

xS 

n 1 n 1 n x Si A i ; y S   ySi A i ; A   A i mit  A i1 A i1 i 1



x S ; y S  Koordinaten des Gesamtschwerpunks

 

A  Gesamtfläche des Gebildes i  Anzahl der Einzelgebilde



x Si ; y Si  Koordinaten der Schwerpunkte der Einzelgebilde



A i  Fläche der Einzelgebilde

Reibung Reibung ist allgemein Widerstand in Form einer Kraft, welche einer ziehenden oder drückenden Kraft entgegenwirkt. Wenn der Körper dabei in Ruhe ist, spricht man von Haftkraft FH . Wenn er in Bewegung ist von Gleitkraft FR . Die Größe dieser Kräfte wird durch die Reibzahl  0 und  , sowie durch die Normalkraft

FN senkrecht zur Auflagefläche bestimmt. FH  0 FN  FR  FN





tan  0   0

Statische Bestimmtheit und Unbestimmtheit An jedem Teilsystem sind nur drei Unbekannte bestimmbar. Das System ist statisch - bestimmt, wenn es gleich viel Unbekannte wie Gleichungen gibt. - unbestimmt, wenn es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt. - verschieblich, wenn es weniger Unbekannte als Gleichungen gibt. Ein statisch unbestimmtes System kann man dennoch mit Hilfe von Verschiebungsgleichungen aus der Festigkeitslehre lösen.

Formelsammlung

Seite 3

Technische Mechanik

Formelsammlung

Seite 4

Technische Mechanik

Beispiel zur Statik F

q



Fcos30° B a

qb

Fsin30° M1

b

Q1

M2 Q L2 2

By

x2

L1 Ax

A

x1 Ay

geg: F ; q ; a ; b ges: Auflagerreaktionen, Schnittgrößenverläufe Lösung: Auflagerreaktionen:

 : A x  F sin   0

 : A y  F cos    q b  B y 0

b A : F sin  a  q b   B y b 0 2 Nach dem Auflösen des Gleichungssystems ergeben sich die Auflagerreaktionen A x ; A y ; B y . Schnittgrößen: Bereich 1 0 x 1 a

Bereich 2 0 x 2 b

 : Q 1  A x 0 ; Q1  A x  : L 1  A y 0 ;

 : L 2 0

L1  A y

 : Q 2  B y  q x 2 0 ; Q 2 q x 2  B y

 1 : M 1  A x x 1 0 ; M1  A x x 1

x x 2 2 : M2  q x2  2  B y x 2  0 ; M 2 B y x 2  q 2 2 2

Schnittgrößenverläufe: L in N

Q in N

M in Nm

x1

Q2 x2

x2

Q,M,L M2

Formelsammlung

Seite 5

M2

Technische Mechanik

Festigkeitslehre Formeln zur Festigkeitslehre  p

ϭ



 N   mm2     N   mm2    N    mm2 

  F p A

Druck auf eine Fläche

F N M b z  A Iyy

Normalspannung senkrecht auf die Fläche, Hooke für einachsige Spannungszustände

FT A

Tangential- oder Schubspannung, Hooke für Schubbeanspruchung

ϭ E  

 G  

l   ϭ l E     2



 %



 

 v

 mm

 v  v x e x  v y e y  v z ez

Verschiebungsvektor

 N   mm2     N   mm2   

E  ϭ2 G1    

Elastitätsmodul

E G



G

 

 yy  xx

l

 mm

F l l  E A

 N   mm2   

ϭ

Mindestdurchmesser bei Zug- oder Druckbeanspruchung Längenausdehnung unter Krafteinfluss Kerbspannung bei Durchmesserverjüngung mit  K gegeben

 K ϭ

 EA ?

l th

 %  mm  N

 EA ? E ? A ?

I yy ; I p

 mm 

I yy 

4

Querkontraktionszahl

4 F  

d

 th

Schubmodul

 zz xx



 mm

K

Verzerrungswinkel

 E   21  

d

ϭK

Dehnungsmaß

 th  T

Relative thermische Längenausdehnung

l th  l T

Thermische Längenausdehnung

M b z ϭxx

Materialwiderstand, oft ist  EA 1  EA  2 EA gegeben

2 ; I p r A

EI yy

 mm   Nmm 

v x

 mm 

t  r 

 N   mm 2 

Mb ; Mt

 Nm 

G  2 M b Q x ; M t  r A l 



 1   mm   



Wb ; Wp

3

2

Wb 

I yy z

Ip

; Wp 

R

Flächenträgheitsmoment abhängig von der Form, meist gegeben Widerstandsmoment gegen Biegung und Torsion

EI yy  E Iyy

Biegesteifigkeit

v x  

Differenzialgleichung für die Verschiebung

M b  x E I yy M r  t  r  t Ip

Torsionsspannung

Mt G I p

Biegemoment und Torsionsmoment Drillung

Allgemeines zur Festigkeitslehre

Formelsammlung

Seite 6

Technische Mechanik

Aus den Ergebnissen von Längskraft, Querkraft, Biegemoment und Torsionsmoment der Schnittgrößen der Statik lässt sich nun überprüfen, wie ein Körper auf diese Einwirkungen reagiert. Die statischen Gleichgewichtsbedingungen werden am unverformten Bauteil angewendet.  A Der Spannungsvektor p wird hierfür in  eine Normalspannung ϭ und eine  p Tangential- oder Schubspannung  zerlegt. Die genaue Richtung im x,y,z Koordinatensystem wird mit Doppelindezies ermöglicht.

Verzerrung und Verschiebung Unter der Wirkung von Kräften erfährt ein Körper stets Formänderungen. Verzerrungen sind immer mit Verschiebungen  verbunden v  v x e x  v y e y  vz ez . Hierbei gibt es zwei Arten:  

l l  Gleitung:     wobei  der Winkel im Körper und  der Verzerrungswinkel ist 2

Dehnung:  

Zusammenhänge zwischen den Größen: 

1  v v  nm   n  m  2  m n 



nm 2  nm

Hooksches Gesetz Die Proportionalität zwischen der Normalspannung ϭ und der Dehnung 

ϭ E 

 yy

wird im Hookschen Gesetz ausgedrückt.

Einachsige Spannungszustände

 zz  xx



 



 G 

Schubbeanspruchung



E G 2 1  

Zusammenhang zwischen den drei Teilen

 xx





Querkontraktion

mit folgenden Größen Normalspannung Schubspannung Dehnungsmaß Winkeländerung Querkontraktionszahl Elastitätsmodul Schubmodul

ϭ

 





E G

Zug- und Druckbeanspruchung 

d

4F ϭ 

Mindestdurchmesser d eines mit der Kraft

F l E A

Längenänderung F.



l 

F belasteten Stabes.

l eines Teils mit der Urlänge l und dem Materialwiderstand  EA  unter der Kraft

Bei starken Querschnittsänderungen ist nicht mehr mit einem gleichmäßigen Spannungszustand zu rechnen. Es kommt zu Kerbspannungen ϭ K in Abhängigkeit von der Formzahl  K . 

ϭ

K

K ϭ

Lösen statisch unbestimmter Systeme Formelsammlung

Seite 7

Technische Mechanik

Die bei statisch unbestimmten Problemen fehlenden Kraftgleichungen lassen sich über Verformungsbetrachtungen an deformierbaren Bauteilen unter Nutzung des Materialgesetztes aufstellen. Es müssen meist elastische und thermische Verformungen an Stäben betrachtet werden. Hierbei gilt folgende Vorgehensweise mit Stabnummer i :

Fi l i E A i



li elast 

    

l i th li  T Verlängerungen werden immer positiv gezählt Elastische und thermische Längenänderungen müssen getrennt betrachtet werden Stabkräfte sind stets als Zugkräfte anzusetzen Eine Druckkraft ist mit einem Minus-Zeichen anzusetzen

Formelsammlung

Seite 8

Technische Mechanik

Biegung Unter dem Einfluss der Schnittgrößen L x hierfür nur das Schnittmoment.



, Q x  und M x  erfährt ein Körper eine Verformung. Meist interessiert

Stauchung y

Mb

x

Mb

xx(z)

A

Dehnung

z

Schnittgrößen sind die resultierenden der inneren Kraftgrößen 

M b  ϭxx  z  z A ist bei jeder Biegung vorhanden



M b ist null, wenn eine reine Biegung vorliegt Q x

A



L  ϭxx  z  A 0 außer bei einer Überlagerung aus Biegung und Streckung A

Daraus ergeben sich folgende Formeln mit Hilfe des Flächenträgheitsmoments und dem Elastitätsmodul des Bauteils:

Mb z für reine Biegung mit konstantem Moment oder schlanke Bauteile. I yy



ϭ xx  z  



ϭ xx  z 



Wb 



vx  

M b  z z für Querkraftbiegung, dies bedeutet Normal- und Schubbeanspruchung. I yy

I yy z max

bzw. Wb 

I yy z min

ist das Widerstandsmoment.

M b  x ist die Verformung bei gerader Biegung. E I yy

Die beim Integrieren der Verformungsformel auftretenden Konstanten werden mit den Übergangsbedingungen gelöst: Vorzeichenregel:

v x  

Mb  x E I yy

v x  

x

v

Mb  x  E Iyy x

v

Weg zur Berechnung der Verschiebung Beispiel: Drehteil mit abgesetzten Durchmessern 1. Einteilung des belasteten Systems in Schnittgrößenbereiche und Wahl von Zuordnungen (x,v,M). Bereichsgrenzen sind Sprünge im Verlauf...