Fórmulas especiales de integración PDF

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Un ejemplo de sustitución trigonométrica, otro ejemplo de evaluación de integral definida paso a paso y fórmulas especiales....

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05-junio-2020 Ejemplo 35 Sustitución trigonométrica: 𝒖 = 𝒂 𝒕𝒂𝒏 𝑼 Encuentre: ∫

𝑑𝑥

√4𝑥 2 + 1

Solución: Sea 𝑢 = 2𝑥, 𝑎 = 1 y 2𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃, como se muestra en la figura 6. Entonces: 1

𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃

y

√4𝑥 2 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 𝜃

Con la sustitución trigonométrica obtiene: ∫

𝑑𝑥

√4𝑥 2 + 1

=

1 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 ∫ 2 𝑠𝑒𝑐 𝜃

1 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝜃𝑑𝜃 2

1 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛 𝜃| + 𝐶 2

1 = 𝑙𝑛 |√4𝑥 2 + 1 + 2𝑥| + 𝐶 2

Sustituya Simplifique Aplique la regla de la secante Sustituya hacia atrás

Figura 6. 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 2𝑥 , 𝑠𝑒𝑐 𝜃 = √4𝑥 2 + 1. Cuando utilice la sustitución trigonométrica para evaluar integrales definidas, debe tener cuidado de comprobar que los valores de u están en los intervalos analizados al principio de esta sección. Por ejemplo, en el ejemplo 36 se había pedido evaluar la integral definida. Ejemplo 36 Evalué la integral definida Encuentre:

05-junio-2020 ∫

−√3

√𝑥 2 − 3 𝑑𝑥 𝑥

−2

Solución: Entonces, utilizando 𝑢 = 𝑥 y 𝑎 = √3 en el intervalo [−2, −√3] implicaría que 𝑢 𝟎) 1

1. ∫ √𝑎2 − 𝑢 2 𝑑𝑢 = 2 (𝑎2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 1

𝑢 𝑎

+ 𝑢√𝑎2 − 𝑢 2 ) + 𝐶

2. ∫ √𝑢2 − 𝑎2 𝑑𝑢 = (𝑢√𝑢 2 − 𝑎2 − 𝑎2 𝑙𝑛|𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2 |) + 𝐶, 2 1

3. ∫ √𝑢 2 + 𝑎2 𝑑𝑢 = 2 (𝑢√𝑢 2 + 𝑎2 + 𝑎2 𝑙𝑛|𝑢 + √𝑢 2 + 𝑎2 |) + 𝐶

𝑢>𝑎...