Funciones del solido de revolución PDF

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APLICACIONES DE LOS SOLIDO DE REVOLUCIÓN ...

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SÓLIDO DE REVOLUCIÓN TEMA: PIEZA DE AJEDREZ FORMADA SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

POR UN

OBJETVO:



Comprender una de las aplicaciones del cálculo integral, mediante el análisis de los sólidos tridimensionales, con el uso de software Matlab.

OBJETVOS ESPCÍFICOS:



Analizar los sólidos de revolución, creando una pieza de ajedrez que se forma al hacer girar una región plana (rectángulo) sobre un eje de revolución.



Realizar una simulación en Matlab para comprobar que se ha formado el sólido tridimensional deseado con las ecuaciones obtenidas,



Obtener el volumen de dicho sólido.

MARCO TEÓRICO

La integral definida es muy útil para resolver una gran variedad de complicaciones entre una de sus aplicaciones tenemos el volumen de solidos de revolución. El volumen de un objeto es importante para muchos de los problemas de las ciencias físicas, como por ejemplo para determinar centros de masa y momentos de inercia. Es muy complicado calcular el volumen de un objeto irregular por ello se ha implementado diversa formas para que el cálculo de los mismos sea mucho más simple, es ahí donde interviene la integral definida que como sabemos es una sumatoria de n divisiones que nos da como resultado un valor aproximado del área de una región plana. Si una región de un plano gira alrededor de una recta, genera un cuerpo geométrico sólido que se lo conoce como sólido de revolución y su recta se denomina eje de revolución eje de revolución. Si una región R acotada por la gráfica de una función f continua no negativa, con el eje en x y pasan por las rectas verticales x = a y x = b, gira alrededor del eje x, se genera un sólido como se muestra en la figuras. Por ejemplo, si f es una función constante f(x) = k, entonces la región R es rectangular y el sólido que se genera es un cilindro circular recto.[ CITATION Ear \l 12298 ]

Se dice que un sólido es un cilindro recto que está limitado por dos regiones planas proporcionadas R1 y R2 pertenecientes a dos planos paralelos y una superficie lateral generada por un segmento rectilíneo que tiene sus límites R1 y R. Si la base de un cilindro recto es A unidades cuadradas y su altura es h unidades y V es su volumen en unidades cúbicas, entonces[ CITATION Lou \l 12298 ]. V= Ah Esta fórmula nos permitirá encontrar un método para calcular el volumen de un sólido, el área de cualquier región plana perpendicular al eje es una función de distancia perpendicular de la sección plana desde un punto fijo del eje. A debe ser continua en un intervalo [a, b]. Siendo ∆ una partición en el intervalo [a, b] teniendo n subintervalos o n particiones.

Para encontrar el volumen del rey la pieza de ajedrez que se formó al girar la gráfica de las funciones en el eje y, dándonos un sólido de revolución vamos a calcular el volumen para cada función y sumaremos todos los volúmenes obtenidos para obtener el volumen total del sólido. Para ello usaremos el método de discos:

∆ iV = A ( Wi) ∆ i x n

n

i=1

i=1

∑ ∆iV =∑ A (Wi)∆ ix

Esta sumatoria se debe a los n elementos es una suma de Riemann y es una aproximación del volumen del sólido. Cuanto más pequeña sea ∆ la división mayor será n, y se aproximara aún más el valor de volumen. Por eso definimos que el volumen será igual: n

V = lim ∑ A (Wi)∆ ix ∆ →∞ i=1 b

V =∫ A (x)dx a

Esta definición se la puede usar tanto para el método de rebanadas que consiste en dividir en partes iguales un sólido de tal forma que al juntar todas las divisiones se forme la pieza original, para el reemplazo del área debemos tomar encuenta que figura se forma al cortar el sólido (triangular, rectángulo, circulo) y es la fórmula de área que usaremos. Por ejemplo s es un cuadrado aplicaremos V = Ah. Si al partir el sólido obtenemos un disco entonces aplicaremos la siguiente definición: n

Método de Discos

V = lim

∑ A (Wi)∆ ix

∆ →∞ i=1 h

h

h

V =∫ A (x)dx=∫ π R dx=π ∫(R (x)) dx 2

2

0

0

0

Este método de discos es el que aplicaremos para el cálculo del volumen de la pieza de ajedrez y los veremos más adelante. Método de Arandelas Ahora supongamos dos funciones f y g continuas en [a, b], f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x en [a, b], si una región gira alrededor del eje x, se genera

Al ser g(x) ¿ 0 se forma en hueco en el centro, el volumen se calcula restando el volumen del sólido generado por la región pequeña con respecto a la región más grande usando esta definición tenemos: f (x ) ¿ b

b

f ( x ) ¿2 dx−∫ π [ g ( x ) ] dx=∫ π { [ ¿ ¿ 2−[ g ( x ) ]2 } dx 2

a

a

π¿ b

V =∫ ¿ a 2

¿ Volumen de la arandela = π [(radio exterior radiointerior 2 ¿ −¿

b

]*(espesor)

f (Wk ) ¿

V =∫ π {[ ¿ ¿ 2− [ g (Wk ) ] } ∆ xk 2

a

Ejemplo.- La región acotada por las gráficas de las ecuaciones x 2= y −2 y 2 y − x −2=0 y por las rectas verticales x = 0 y x = 1 giradas alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido resultante.

W ¿ ¿ ∆ xk ¿ π¿

[

[(

x4 +

15 2 x −x +3 4 2

(

π ( x +2 ) − 2

) ]dx=¿

)]

❑

1

2 1 x +1 dx =¿ π ∫ ¿ 2 0 1

V =∫ ¿ 0

V =π

[

( )

]

79 π x5 + 15 x 3 x 2 − +3 x = ≈ 12.4 u3 5 4 3 2 20

CÁLCULO DE LAS ECUACIONES PARA LA PIEZA DE AJEDREZ. Para obtener las ecuaciones que nos darán como resultado las funciones que necesitamos para graficar el sólido tridimensional en matlab.

Designe puntos que corten en la gráfica para obtener la ecuación ya sea esta una parábola o recta, son las que principalmente use para formar el sólido. Como por ejemplo: 

Dados los puntos encontrar la ecuación de la recta (23.5, 2.5) y (27, 4.5). m=

4.5−2.5 4 = 27−23.5 7 4 y−2.5= ( x−23.5) 7 94 4 y= x− +2.5 7 7 153 4 y= x− [23.5 ≤ x ≤ 27] 7 14



Dados los puntos encontrar la ecuación de la parábola (27, 4.5), (28,4.5), (30,1). a(27)2 +b ( 27 ) +c=4.5 a(28)2 + b ( 28 ) +c=4.5 ¿ 729 a+27 b+ c=4.5 =784 a+ 28 b +c= 4.5

a ( 30 )2 +b ( 30) + c=1 ¿ 900 a+30 b+ c=1

729 a 27 b c ¿ 4.5 784 a 28 b c ¿ 4.5 900 a 30 b c ¿ 1 y=

−7 2 385 x−436.5 [ 27 ≤ x ≤ 30 ] x + 12 12

Usando graficas de rectas y parábolas halle las ecuaciones de la pieza de ajedrez dándome las siguientes funciones. FUNCIONES DEL SÓLIDO DE REVOLUCIÓN: f ( x )=

−9 2 19 x + x +3[0 ≤ x ≤ 3 ] 4 8

f ( x )=

−7 2 33 22 x + x + [ 3 ≤ x ≤8 ] 5 50 25

f ( x )=6 [ 8≤ x ≤ 9] f ( x )=15−x [ 9≤ x ≤ 10]

f ( x )=

29 2 149 181 [ 10 ≤ x ≤ 20] x+ x− 6 40 240

f ( x )=4 [20 ≤ x ≤ 21]

f ( x )=

1728 −4 2 167 [ 21 ≤ x ≤22] x− x + 5 5 5

f ( x )=2[ 22 ≤ x ≤22.5] f ( x )=

−9 2 833 x−961 [22.5 ≤ x ≤ 23.5] x+ 10 5

f ( x )=

4 153 [23.5 ≤ x ≤ 27] x− 14 7

f ( x )=

−7 2 385 x−436.5 [ 27 ≤ x ≤ 30 ] x + 12 12

f ( x )=

−2 2 124 x−639 [ 30 ≤ x ≤ 32 ] x + 3 3

f ( x )=− 4 x 2+260 x −4223[ 32 ≤ x ≤33 ] f ( x )=

31 1 x− [33 ≤ x ≤ 34] 2 2

f ( x )=

−4 2 271 x + x−916.5[ 34 ≤ x ≤ 35.23] 5 5

2 f ( x )=−1.25 x + 89.625 x −1606[ 35.2 ≤ x ≤ 36.5 ]

VOLUMEN DEL SOLIDO DE REVOLUCIÓN h

h

h

2 V =∫ A (x)dx=∫ π R dx=π ∫(R (x)) dx 2

0

0

0

Para calcular el volumen del solido de revolución aplique el método de discos como se muestra: 3

1.

(

)

−9 2 19 x+3 f ( x )=∫ dx x + 4 8 0 3

(

)

2

V =π ∫ −9 x2 + 19 x +3 dx 4 8 0

4 171 3 253 2 57 81 x −¿ x + x+ 9 x + 64 2 16 16 3

∫¿ 0

¿ V =π ¿

V =π

81 171 253 57 3 x− x + x + x + 9 x) ( 320 4 0 64 48

V =π

((

V=

5

2

3

) )

81 5 171 4 253 3 57 2 ( 3) − (3) + ( 3 ) + (3 ) +9 ( 3 ) −0 320 64 48 4

2853 π ≈ 142,65 π u3 20 8

2.

4

f ( x )=∫ 3 8

V =π ∫ 3

(

(−750 x + 3325 x+ 225 ) dx 2

)

−7 2 33 22 2 dx x + x+ 5 25 50

4

49 231 3 319 2 1452 484 x −¿ x+ x+ x + 2500 25 125 625 625 8

∫¿ 3

¿ V =π ¿ V =π

484 8 726 319 231 49 x+ x + x + x− x ( 12500 125 1875 2500 25 )3

V =π

((

V=

5

f ( x )=∫ (6 ) dx 8

V =π ∫ ( 6 )2 dx 8

2

) (

12763 π ≈ 255,26 π u3 50

9

3

49 49 231 4 319 231 4 319 5 3 726 2 484 5 3 726 (8 ) − ( 8) + (8 ) + (8) + ( 8 ) −¿ (3) − ( 3) + (3) + 12500 12500 2500 1875 125 25 2500 125 1875

9

3.

4

9

(

)

V =π 36 ∫ dx =π ( 36 x) 8

9 8

V =π ( 36( 9 ) −36 ( 8) ) V =36 π u3 10

4.

f ( x )=∫ (15−x ) dx 9 10

V =π ∫ ( 15−x ) 2 dx 9

225−¿ 30 x +x 2 10

∫¿ 9

¿ V =π ¿

(

2 V =π 225 x−15 x +

)

x 3 10 3 9

((

2 V =π 225 (10 )−15 (10 ) +

V=

91 π ≈ 30,33 π u3 3 20

5.

))

)(

3 (10)3 3250 2 (9) =π ( −1053) − 225 (9)−15(9) + 3 3 3

f ( x )=∫ 10 20

V =π ∫ 10

(

29 149 181 dx x− x+ ( 240 40 6 ) 2

)

2

29 2 149 181 dx x+ x− 6 40 240

4

4321 3 304789 2 26969 841 32761 x+ x− x+ x −¿ 36 120 14400 4800 57600 3

∫¿ 0

¿ V =π ¿

V =π

32761 3 26969 304789 4321 841 x) x + x− x + x− ( 288000 36 240 43200 19200 0 5

4

3

2

V =π

841 841 4321 304789 26969 32761 4321 (20 ) − (20 ) + ( 20) − ( 20 ) + ( 20 ) )−¿ ( ( 10 ) − (( 288000 288000 19200 43200 240 36 19200

V =π

−2959,98 ) ( 81830 27

5

4

3

2

5

V =70,76 π u3 21

6.

f ( x )=∫ 4 dx 20 21

V =π ∫ ( 4 )2 dx 20

(

)

21

V =π 16 ∫ dx =π ( 16 x) 20

21 20

V =π ( 16( 21 )−16 (20 )) V =16 π u3

22

7.

f ( x )=∫ 21 22

V =π ∫ 21

(

dx (−45 x + 1675 x − 1728 5 ) 2

)

2

1728 −4 2 167 dx x− x + 5 5 5

4 1336 3 41713 2 577152 2985984 16 x+ x− x + x −¿ 25 25 25 25 25 22

∫¿ 21

¿ V =π ¿

V =π

2985984 22 288576 41713 334 16 x + x− x + x− x) ( 125 21 25 75 25 25

V =π

((

5

4

3

2

) (

2985984 288576 41713 334 334 16 16 (22)2 + (22)3− (22)4 + (21)4 + (22)5− (21)5− (22) −¿ 25 25 75 25 25 125 125

V =π ( 492972,95 −492965,93)

V=

701 π ≈ 7,01 π u3 100 22,5

8.

f ( x )= ∫ 2 dx 22 22,5

V =π ∫ ( 2 ) dx 2

22

(

)

22,5

V =π 4 ∫ dx =π ( 4 x) 22

22,5 22

V =π ( 4 ( 22,5 ) −4( 22) ) V =2 π u 3 23,5

9.

f ( x )= ∫

2

22,5 23,5

V =π ∫

22,5

(

(

)

2

−9 2 833 x −961 dx x+ 10 5

23,5

V =π

x−961 ) dx ( −95 x + 833 10

∫

22,5

)

81 4 7497 3 1039849 2 800513 x− x− x+ x +923521 dx 25 25 100 5

V =π

800513 1039849 7497 81 23,5 x− x + x− x +923521 x ) ( 125 22,5 300 100 10

V =π

((

4

5

2

) (

81 81 7497 800513 2 4 1039849 3 (23,5) +923521 (23,5 ) −¿ (23,5)5− (22,5)5− (23,5) + (23,5) − 10 125 125 100 300

V =π ( 4257728,651−4257722,109)

V=

3

3271 π ≈ 6,542 π u 3 500 27

10. f ( x )= ∫ 23,5 27

V =π ∫ 23,5

(

dx ( 47 x− 153 14 )

)

2

4 153 dx x− 14 7

V =π

(

27

612 23409 2 x+ x− ∫ 16 196 49 49

23,5

)

dx

V =π

23409 612 16 x 27 x + x− ( 147 196 ) 23,5 98

V =π

((

2

3

))

)(

23409 (27) 612 612 16 16 − ( 23,5 )2+ 23409 (23,5) (27)2 + (27)3− (23,5)3 − 196 196 98 98 147 147

V =π (814,55−770,51) V=

1101 π ≈ 44,04 π u3 25 30

11. f ( x )=∫ 27 30

x−436.5 ) dx (−712 x + 385 12 2

(

)

2

V =π ∫ −7 x2 + 385 x− 873 dx 2 12 27 12 V =π

(

30

4

49 2695 3 221557 x + x− ∫ 144 72 144

x 2−

27

)

112035 762129 dx x+ 4 4

V =π

49 2695 221557 112035 762129 30 x) x− x + x − x+ ( 720 4 288 432 27 8

V =π

((

V=

5

4

3

) (

112035 2695 2695 49 49 4 2 762129 3 4 221557 5 5 (27) (30) + (30) − (30) + (30) − ( 27) − (30) −¿ 288 432 288 720 4 8 720

6871 π ≈ 42,94 π u3 160 32

12. f ( x )=∫ 30 32

V =π ∫ 30

2

(

(−23 x + 1243 x−639 ) dx 2

)

2

−2 2 124 x + x−639 dx 3 3

4 496 3 23044 2 4 x −¿ x −52824 x+ 408321 x+ 9 9 9 32

∫¿ 30

¿ V =π ¿

V =π

x −26412 x +408321 x ) 32 ( 454 x − 1249 x + 23044 27 30

V =π

((

3

4

5

2

) (

23044 23044 124 124 4 4 (32)3−26412 (32 )2 +408321 (32 ) −¿ (32)4 + (30)4 + (32)5− (30)5− 27 27 9 9 45 45

V =π ( 2522834,252−2522830)

V=

1063 π ≈ 4,252 π u3 250 33

2 13. f ( x )=∫ ( −4 x +260 x −4223) dx 32 33

2 V =π ∫ ( −4 x +260 x−4223 ) dx 2

32

(∫

)

33

V =π

16 x 4 −2080 x3 + 101384 x 2−2195960 x +17833729 dx

32

V =π

x −1097980 x +17833729 x) 33 ( 165 x −520 x + 101384 3 32

V =π

((

V=

5

4

) (

34

14. f ( x )=∫ 33

V =π ∫ 33

2

16 16 3 2 5 4 101384 5 4 1 (33) −1097980(33) +17833729(33) −¿ (32) −520 ( 32 ) + (33) −520 ( 33 ) + 3 5 5

29 π ≈ 2,9 π u3 10

34

3

(

( 12 x− 312 )dx )

1 31 2 x− dx 2 2

34

V =π

(

V =π

( 121 x − 314 x + 9614 x ) 3433

(

)

1 2 31 dx ∫ 4 x − 2 x+ 961 4 33 2

3

¿ 31 1 2 961 3 (34 ) − 1 (33)3 − 31 (33)2+ 961 (33) (34) − (34) + 4 4 4 4 12 12 ¿ V =π ¿

V=

)(

)

1583 π ≈ 1,583 π u3 1000 35,23

15. f ( x )= ∫ 34 35,23

V =π

∫( 34

(∫

35,23

V =π

34

(−45 x + 2715 x−916.5 ) dx 2

)

2

−4 2 271 x −916.5 dx x + 5 5

)

16 4 2168 3 110101 2 496743 3359889 x − dx x+ x− x+ 25 4 5 25 25

V =π

3359889 35,23 496743 110101 542 16 x) x+ x− x + x− ( 125 4 34 10 75 25

V =π

((

V=

3

4

5

2

) (

3359889 496743 110101 542 16 16 (35,23)2 + (35,23)3− (35,23)4 + (35,23)5− (35,23) −¿ (3 25 4 125 10 75 125

697 π ≈ 1,39 π u3 500 36.5

2 16. f ( x )= ∫ ( −1.25 x +89.625 x −1606 ) dx 35,2 36,5

V =π ∫

35,2

(

(

36,5

V =π

∫

35,2

)

2 −5 2 717 x + x−1606 dx 4 8

4

)

25 x 3585 3 771049 2 575751 x− x+ − x +2579236 dx 16 64 16 2

V =π

575751 771049 36,5 x +2579236 x ) x− x + ( 165 x − 3585 4 192 64 35,2

V =π

771049 575751 3 5 (36,5) +2579236 (36,5))−¿( (35,2) − (36,5) + ( 36,5) − (( 165 (36,5) − 3585 4 16 64 192

3

4

5

5

4

2

3

2

5

1 V = π ≈ 0,2 π u3 5 El volumen de a pieza de ajedrez es la suma de todos los volúmenes obtenidos. V =142,65 π +255,26 π + 36 π +30,33 π +70,76 π + 16 π +7,01 π +2 π +6,542 π +44,04 π + 42,94 π + 4,252

V =2085,57 u

3

RESULTADOS OBTENIDOS CON MATLAB Para es una herramienta de software que se usa para resolver problemas matemáticos. MATLAB es un entorno de cálculo técnico de altas prestaciones del cálculo numérico y visualización. Integra: Análisis numérico, Cálculo matricial, Procesamiento de señales, Gráficos. Cuenta con un lenguaje de programación propio. Para poder usar Matlab debemos realizar un script que me permia ingresar la funciones y me presente la gráfica de las funciones y el sólido de revolución formado. Para ello usamos el siguiente script clc; clear; close all x = 0:0.001:36.5; y = (-9/8*x.^2 + 19/4*x + 3).*((0...